【摘要】人們對高等數(shù)學(xué)的印象通常是復(fù)雜的公式和繁雜的計(jì)算，事實(shí)上通過用心的總結(jié)和歸納，高等數(shù)學(xué)中的許多知識點(diǎn)是有規(guī)律可循的.本文就以多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)，通過一些實(shí)例，對高等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法進(jìn)行了探討，希望能給讀者以啟迪.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；不等式；證明方法

不等式在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位，也是解題的一種重要思想方法.無論是在大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程考核中，還是在研究生入學(xué)考試中，不等式的證明都是極其重要的一類考題.不等式的證明方法多種多樣，本文通過實(shí)例探討了一些運(yùn)用高等數(shù)學(xué)證明不等式的方法，以供大家參考.

一、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

若不等式中含有“變量為自然數(shù)”的條件，可以嘗試用數(shù)學(xué)歸納法.

例1 證明不等式n!1，n為自然數(shù).

證明 當(dāng)n=2時(shí)，因?yàn)?+122=94>2=2!，

故不等式成立.

設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即k!

則對于n=k+1時(shí)，有

(k+1)!

由于k+2k+1k+1=1+1k+1k+1>2(k=1，2，…由貝努力不等式)，從而有

(k+1)!

故原式獲證.

二、利用取對數(shù)法證明不等式

若不等式中含有冪指函數(shù)，可以考慮用取對數(shù)法.

例2 證明不等式nen1，n為自然數(shù).

證明 由i(n-i)≤n2(i=1，2，…，n-1)，不等式的兩邊取對數(shù)，得

12lni(n-i)≤lnn2，∑n-1i=112lni(n-i)≤∑n-1i=1lnn2，即

12ln［1#8226;(n-1)］#8226;［2#8226;(n-2)］#8226;…#8226;［(n-2)#8226;2］#8226;［(n-1)#8226;1］≤(n-1)lnn2.

所以ln(n-1)!≤lnn2n-1，(n-1)！≤n2n-1，12n!≤n2n.

于是n!≤2n2n

下面證明nen

設(shè)xn=nen，則有

xnxn-1=nn(n-1)n-1e=1+1n-1n-1#8226;ne

所以（注意到x1=1e<1）xn=x1#8226;x2x1#8226;…#8226;xnxn-1

三、利用無窮小的性質(zhì)證明不等式

若x→+∞時(shí)，f(x)g(x)為無窮小，即limx→+∞f(x)g(x)=0，且g(x)>0(x>M1>0)，則存在M2>0，當(dāng)x>M2時(shí)，有f(x)g(x)<1，從而f(x)

例3 試證：當(dāng)x充分大時(shí)，x10ex

證明 因?yàn)楫?dāng)x→+∞時(shí)，x10exe2x=x10ex→0，

所以，當(dāng)x充分大時(shí)，有x10exe2x<1，即x10ex

四、利用拉格朗日中值定理證明不等式

若f(x)在［a，b］上連續(xù)、在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a(ξ∈(a，b)).利用ξ與a，b的關(guān)系，對ξ進(jìn)行合理縮放即可得不等式.

例4 若0

證明 顯然等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b>0時(shí)成立.

下面證0

作輔助函數(shù)f(x)=lnx，則f(x)在［a，b］上滿足拉格朗日中值定理，即存在ξ∈(a，b)使lnb-lnab-a=1ξ成立.

由于01ξ>1b，

由上述兩式可得1b

所以b-ab

五、利用泰勒定理證明不等式

泰勒定理的適用范圍是不等式中含有的函數(shù)易求出它的泰勒展開式（或麥克勞林展開式），從而利用它的局部展開式證明不等式.

例5 證明：ln(1+x)≤x-x22+x33(-1

證明 令f(x)=ln(1+x)，則

f(0)=0，f′(0)=1，f″(0)=-1，f(0)=2，

f(4)(ξ)=-3!(1+ξ)4.

于是f(x)在x=0處的三階泰勒展開式為：

ln(1+x)=x-x22+x33-x44(1+ξ)4(-1

由于x44(1+ξ)4≥0，

所以ln(1+x)≤x-x22+x33(-1

六、利用函數(shù)的凹凸性證明不等式

通過函數(shù)在某區(qū)間上的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定在該區(qū)間上的凹凸性，從而證明一些不等式，特別是含兩個(gè)或兩個(gè)以上變元的.

例6 證明：x+y2n0，y>0，x≠y，n>1.

證明 設(shè)f(t)=tn，t>0，則

f′(t)=ntn-1，f″(t)=n(n-1)tn-2.

當(dāng)n>1，t>0時(shí)，有f″(t)>0，所以f(t)在(0，+∞)內(nèi)是凹函數(shù).

根據(jù)凹凸性的定義，x，y∈(0，+∞)，x≠y，

有fx+y2

七、利用變上限積分證明不等式

在不等式的兩端取變上限積分，可以得到新的不等式.

例7 設(shè)f(x)在(0，+∞)上具有連續(xù)的可微函數(shù)，且f(0)=1.當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)>|f′(x)|.試證：ex>f(x)，(x>0).

證明 由已知可得-f(x)0時(shí)，f(t)>0，故有f′(t)f(t)<1.

兩邊從0到x積分，得∫x0f′(t)f(t)dt<∫x0dt，其中x>0.

注意到f(0)=1，從而得到lnf(x)f(x).

不等式的證明因題而異，靈活多變.只有在多思考、多總結(jié)的基礎(chǔ)上，才能迅速把握問題的本質(zhì)，靈活運(yùn)用各種證明技巧，提高解題水平.

【參考文獻(xiàn)】

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