【摘要】本文給出了初等幾何研究教材習(xí)題中的一道幾何證明題的四種證明方法，即旋轉(zhuǎn)變換法、勾股定理、三角法、斯蒂瓦特定理.

【關(guān)鍵詞】幾何證明；旋轉(zhuǎn)變換；三角法；勾股定理

有這樣一道幾何證明題：

圖 1

設(shè)D為等腰直角三角形ABC斜邊BC上任一點(diǎn)（如圖1），求證：BD2+CD2=2AD2.

通過分析，我們得到了該題的四種不同的證法.

1旋轉(zhuǎn)變換法

圖 2

分析 由于△ABC是等腰直角三角形，即兩直角邊AB，AC相等，則其中一條直角邊經(jīng)過某個(gè)旋轉(zhuǎn)之后可以與另一條直角邊重合，為此，考慮把△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.

證明 把△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ACD′(如圖2)，連接DD′，則有

∠DAD′=90°，AD=AD′，BD=CD′，∠ABD=∠ACD′，

由已知∠ABD=∠ACD=45°，

∴∠ACD+∠ACD′=90°.

∴AD2+AD′2=DD′2，CD2+CD′2=DD′2.

即CD2+CD′2=AD2+AD′2，

∴BD2+CD2=2AD2，結(jié)論得證.

旋轉(zhuǎn)變換，可以改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小.對(duì)于圖形具有等邊特征的幾何題，可以考慮用旋轉(zhuǎn)變換遷移元素的位置.施行旋轉(zhuǎn)變換時(shí)要注意確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角的大小和旋轉(zhuǎn)方向.

2利用勾股定理

圖 3

由于題目要證的結(jié)論是邊的平方的一個(gè)等式關(guān)系，易想到勾股定理.

簡要證明 若AD⊥BC，由已知△ABC是等腰直角三角形，易知結(jié)論成立.

若AD不垂直于BC，則

BD≠CD，不妨設(shè)BD

如圖3，作AE⊥BC，交BC于E點(diǎn)，則AE=BE=CE，

∴BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2

=BE2-2BE#8226;DE+DE2+CE2+ 2CE#8226;DE+DE2

=2AE2+2DE2=2AD2.



命題得證.

3三角法

所謂三角法，就是將幾何命題中的邊、角等元素之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)關(guān)系，然后應(yīng)用三角恒等變形或解三角方程等知識(shí)來給出幾何證明的一種方法.

分析 要證的結(jié)論是邊的一個(gè)等式關(guān)系，且邊是二次方，在三角函數(shù)關(guān)系中我們可以想到余弦定理.

在△ABD中，AD2=AB2+BD2-2AB#8226;BDcos45°.

在△ACD中，AD2=AC2+CD2-2AC#8226;CDcos45°.

兩式相加，化簡右端，即可得到所證結(jié)論.

4斯蒂瓦特定理

斯蒂瓦特定理是關(guān)于三角形中邊的關(guān)系的一個(gè)定理，此題所要證明的也是邊的等式關(guān)系，可以從斯蒂瓦特定理出發(fā)，尋求所要證的等式關(guān)系.

證明 由斯蒂瓦特定理知，

AB2#8226;CD+AC2#8226;BD=AD2#8226;BC+BD#8226;CD#8226;BC，

且已知AB=AC，化簡上式，

得AB2(CD+BD)=AD2#8226;BC+BD#8226;CD#8226;BC，

即AB2#8226;BC=AD2#8226;BC+BD#8226;CD#8226;BC，

∴2AB2=2AD2+2BD#8226;CD.

由已知BC2=AB2+AC2=2AB2，

∴BC2=2AD2+2BD#8226;CD，

即(BD+CD)2=2AD2+2BD#8226;CD，

化簡得BD2+CD2=2AD2.

在幾何證明的教學(xué)中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生多角度考慮問題，尋求不同的證法，這不僅可以培養(yǎng)學(xué)生思維的開闊性，還可以鞏固學(xué)過的知識(shí)，以及靈活運(yùn)用各種知識(shí)解決問題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

趙振威，章士藻.中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法第三分冊初等幾何研究(修訂版)［M］.上海:華東師范大學(xué)出版社，2009.