【摘要】通過分析分部積分公式的理論依據(jù)與推導過程，得出運用公式時要按照“反、對、冪、三、指”的優(yōu)先順序選取u，其余的湊微分作為dv，并歸納分部積分法的具體步驟.

【關鍵詞】分部積分法；分部積分公式；u和dv選取

當不定積分的被積函數(shù)是兩種不同類型的函數(shù)的乘積（如∫xexdx，∫x2sinxdx等）時，就要運用分部積分公式∫udv=uv-∫vdu進行積分求解.然而，在教學中發(fā)現(xiàn)初學者往往無法恰當選取u與dv，造成積分計算困難，甚至無法積分.本文結(jié)合多年的教學經(jīng)驗，總結(jié)了在運用分部積分公式時恰當選取u與dv的關鍵和技巧，以幫助初學者能夠快速掌握分部積分公式和分部積分法.

1分部積分公式的理論依據(jù)和推導過程

分部積分公式可由乘積微分公式推導而得，過程如下：

設函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導數(shù)，那么兩個函數(shù)的乘積微分公式為d(uv)=udv+vdu，移項整理，得udv=d(uv)-vdu.對這個等式兩邊求不定積分，得∫udv=uv-∫vd，這個公式稱為分部積分公式，是一種基本積分運算的法則.利用此公式求積分的方法就稱為分部積分法，它可以將求∫udv的積分問題轉(zhuǎn)化為求∫vdu的積分，當∫vdu較容易積分時，分部積分公式就有化繁為簡，化難為易的效果，順利求出不定積分.

2運用分部積分公式時如何恰當選取u與dv

例1 求∫xcosxdx.

解 設u=x，dv=cosxdx=d(sinx)，則du=dx，v=sinx，代入分部積分公式有

∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.

本題若設u=cos，dv=xdx，則有du=-sinxdx及v=12x2，代入分部積分公式有∫xcosxdx=12x2cosx+12∫x2sinxdx，顯然，新得到的積分∫x2sinxdx反而更難求.因此，運用分部積分公式的關鍵是恰當選取u和dv，選取時主要考慮以下兩點：（1）v用湊微分法容易求得；（2）∫vdu要比∫udv更容易進行積分.

根據(jù)以上兩點，u的選取順序為“反、對、冪、三、指”，即u應該按照反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的優(yōu)先順序進行選取.如例1，求∫xcosxdx時，被積函數(shù)是冪函數(shù)和三角函數(shù)的乘積，所以選取冪函數(shù)x作為u，將cosdx進行湊微分得到d(sinx)作為dv，代入分部積分公式繼續(xù)積分即可.

歸納起來，分部積分法的步驟如下：第一步，根據(jù)“反、對、冪、三、指”的優(yōu)先順序確定u，剩下所有的都是dv，將它們進行湊微分；第二步，求出v和du，為代入分部積分做準備；第三步，將u，v，du，dv代入分部積分公式計算.

例2 求∫xexdx.

分析 被積函數(shù)是冪函數(shù)x和指數(shù)函數(shù)ex的乘積，根據(jù)“反、對、冪、三、指”的優(yōu)先順序可確定選取冪函數(shù)x作為u，將exdx湊微分作為dv.

解 設u=x，dv=exdx=d(ex)，則有du=dx，v=ex.

代入分部積分公式，得

∫xexdx=∫xd(ex)=xex-∫exdx=xex-ex+C.

例3 求∫arccosxdx.

分析 被積函數(shù)可視為常數(shù)1與反三角函數(shù)arccosx乘積，常數(shù)1可視為冪函數(shù)x0，根據(jù)“反、對、冪、三、指”的優(yōu)先順序可確定選取反三角函數(shù)arccosx作為u，將1#8226;dx湊微分作為dv.

解 設u=arccosx，dv=1#8226;dx=dx，則有

du=d(arccosx)=11-x2dx，v=1，

代入分部積分公式，得

∫arccosxdx

=xarccosx-∫xd(arccosx)

=xarccosx+∫x1-x2dx

=xarccosx+∫(1-x2)-12-12d(1-x2)

=xarccosx-1-x2+C.



例4 求∫exsinxdx.

分析 被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)ex和三角函數(shù)sinx的乘積，根據(jù)“反、對、冪、三、指”的優(yōu)先順序可確定選取三角函數(shù)sinx作為u，將exdx湊微分作為dv.

解 設u=sinx，dv=exdx=d(ex)，則有du=d(sinx)=cosxdx，v=ex，代入分部積分公式，可得

∫exsinxdx

=∫sinxd(ex)

=exsinx-∫exd(sinx)

=exsinx-∫excosxdx

=exsinx-∫cosxd(ex)

=exsinx-excosx-∫exd(cosx)

=exsinx-excosx-∫exsinxdx.



所以有∫exsinxdx=exsinx-excosx-∫exsinxdx，出現(xiàn)了循環(huán)現(xiàn)象，移項整理得∫exsinxdx=12ex(sinx-cosx)+C.

【參考文獻】

［1］侯風波.高等數(shù)學［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［2］馬紀英，薛力峰.分部積分法的應用技巧.青海師專學報，2009（5）.