大家都非常熟悉圓，也知道它的一個重要定理——垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.就弦和直徑，轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，可變?yōu)椋喝绻鼈兯谥本€斜率都存在，那么可以得到它們的斜率之積為常數(shù)-1.這個結(jié)論在其他類似的曲線中是否也類似存在呢？若存在，則常數(shù)是-1還是其他數(shù)，與曲線方程中的系數(shù)有沒有關(guān)系？

例 已知P是橢圓x24+y23=1上不同于左頂點A、右頂點B的任意一點，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求k1k2的值.

解 設(shè)P（x0，y0），又因為A(-2，0)，B(2，0)，

則k1=y0x0+2，k2=y0x0-2，

所以k1k2=y0x0-2×y0x0-2=y20x20-4=31-x204x20-4=-34，與原方程的未知數(shù)系數(shù)有關(guān).

現(xiàn)在我們把直線AB改變過原點的其他直線（如圖）:若PA，PB的斜率存在且不為0，設(shè)M(xM，yM)是PA的中點，P（x0，y0），A(x1，y1)，B(x2，y2).則由中位線可知OM∥PB，故k2=kOM=yMxM，M是PA中點，所以，xM=x0+x12，yM=y0+y12，

則可得k2=kOM=y0+y1x0+x1.

又 k1=y0-y1x0-x1，所以k1k2=y0-y1x0-x1#8226;y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21.

又 因為A，P是橢圓上的點，故有x204+y203=1，x214+y213，

所以k1k2=-34，與原題相同，是個定值，與原方程的系數(shù)有關(guān).

我們發(fā)現(xiàn)滿足上述條件下，斜率之積是一個常數(shù)，但不是-1，與原方程的系數(shù)有關(guān)系，那究竟有什么關(guān)系呢？下面我們一起來探討一下.我們先來看橢圓：

已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，不垂直坐標(biāo)軸直線交橢圓于A，B兩點，M為線段AB的中點，設(shè)A（x1，y1），B(x2，y2)，M(x0，y0).由題意可知AB，OM的斜率都存在且不為零，則可得kAB=y2-y1x2-x1，kOM=y0x0，則由于A，B是橢圓上的點，代入橢圓方程得到x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1.由點差法可以求得y1-y2x1-x2#8226;y1+y2x1+x2=-b2a2，即y1-y2x1-x2#8226;y0x0=-b2a2，∴kAB#8226;kOM=-b2a2=-1a21b2=-x2的系數(shù)y2的系數(shù).

同理，如果橢圓方程為y2a2+x2b2=1(a>b>0)，其他條件不變，同樣我們可以得到y(tǒng)21a2+x21b2=1，y22a2+x22b2=1.

由點差法得y1-y2x1-x2#8226;y1+y2x1+x2=-a2b2，即y1-y2x1-x2#8226;y0x0=-a2b2，

所以kAB#8226;kOM=-a2b2=-1b21a2=-x2的系數(shù)y2的系數(shù).

我們再來看看雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，直線AB不垂直坐標(biāo)軸，且交雙曲線于A，B兩點，M為AB中點，設(shè)A（x1，y1），B(x2，y2)，M(x0，y0).由題意可知AB，OM的斜率都存在，且kAB=y2-y1x2-x1，kOM=y0x0，則由于A，B是雙曲線上的點，代入得到x21a2-y21b2=1，x22a2-y22b2=1.

由點差法可求得y1-y2x1-x2#8226;y1+y2x1+x2=b2a2，即y1-y2x1-x2#8226;y0x0=b2a2，

故kAB#8226;kOM=b2a2=-1a2-1b2=-x2的系數(shù)y2的系數(shù).

同理可得：當(dāng)雙曲線方程為y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)時，kAB#8226;kOM=a2b2=--1b21a2=-x2的系數(shù)y2的系數(shù).

如果曲線為圓x2+y2=r2(r>0)，我們已知斜率之積為-1，而-1=-x2的系數(shù)y2的系數(shù).

歸納上述各類曲線，可以發(fā)現(xiàn)它們有以下共同特征：原點為對稱中心，坐標(biāo)軸為對稱軸，我們可以給統(tǒng)一表達(dá)式：mx2+ny2=1(m>0，n>0或mn<0).

我們現(xiàn)在用語言對圓的垂徑定理來進(jìn)行推廣：

結(jié)論1 對于曲線mx2+ny2=1(m>0，n>0或mn<0)，不垂直于坐標(biāo)軸的直線與曲線相交，那么這條弦的中點與圓心所確定的直線的斜率與原直線的斜率之積等于x2的系數(shù)與y2的系數(shù)之比的相反數(shù).

結(jié)論2 對于曲線mx2+ny2=1(m>0，n>0或mn<0)，過原點的直線與曲線交于兩點，則過曲線上任意不同于該兩點的點與這兩點作直線，若斜率存在，那么斜率之積也等于x2的系數(shù)與y2的系數(shù)之比的相反數(shù).