【摘要】文章對(duì)橢圓中△PF1F2的形狀、∠F1PF2的范圍、∠F1PF2的余弦值的最小值及△PF1F2的面積的最大值進(jìn)行了討論.

【關(guān)鍵詞】焦點(diǎn)三角形；直角三角形；直角；鈍角；銳角

在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，以兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2及其上任意一點(diǎn)P（長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)除外）為頂點(diǎn)的△PF1F2叫橢圓的焦點(diǎn)三角形.由橢圓的第一定義知△PF1F2的三邊滿足|PF1+PF2|=2a(2a>2c)，|F1F2|=2c(c>0).下面就橢圓中焦點(diǎn)三角形的幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行討論：

一、焦點(diǎn)三角形是直角三角形的個(gè)數(shù)

在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，

(1)當(dāng)b>c時(shí)，在所有焦點(diǎn)三角形中有4個(gè)是直角三角形，過(guò)焦點(diǎn)F1或F2，作x軸的垂線與橢圓的交點(diǎn)即為頂點(diǎn)P，焦點(diǎn)F1或F2為直角頂點(diǎn).以原點(diǎn)O為圓心，半徑為c的圓在橢圓的內(nèi)部與橢圓無(wú)交點(diǎn)，故∠F1PF2是銳角.

(2)當(dāng)b=c時(shí)，在所有焦點(diǎn)三角形中有6個(gè)是直角三角形，其中4個(gè)同（1）.另外兩個(gè)的直角頂點(diǎn)P分別是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，因?yàn)橐栽c(diǎn)O為圓心，半徑為c的圓在橢圓的內(nèi)部與橢圓相切于短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，故∠F1PF2是直角.

(3)當(dāng)b

二、焦點(diǎn)△PF1F2中cos∠F1PF2的最小值及△PF1F2的面積的最大值

在△PF1F2中，由余弦定理，得

cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|#8226;|PF2|

=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|#8226;|PF2|-|F1F2|22|PF1|#8226;|PF2|

=4a2-2|PF1|#8226;|PF2|-4c22|PF1|#8226;|PF2|

=2a2-2c2|PF1|#8226;|PF2|-1.



又 |PF1|+|PF2|=2a，由均值不等式，得

|PF1|#8226;|PF2|≤2a22=a2(當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=a時(shí)，等號(hào)成立).

于是(cos∠F1PF2)min=2a2-2c2a2-1=a2-2c2a2=1-2e2.

因cos∠F1PF2取最小值時(shí)，|PF1|=|PF2|=a，即點(diǎn)P是橢圓的短軸的端點(diǎn).

此時(shí)，焦點(diǎn)△PF1F2的面積有最大值，即S△PF1F2=bc.

三、焦點(diǎn)△PF1F2中∠F1PF2的取值范圍與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的關(guān)系

已知點(diǎn)P(x，y)(-ab>0)上.

下面給出兩種方法來(lái)討論：

1運(yùn)用以焦距為直徑的圓與橢圓的位置關(guān)系

以橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距|F1F2|=2c(c>0)為直徑作圓O：x2+y2=c2，則

(1)當(dāng)c

(2)當(dāng)c=b時(shí)，圓O在橢圓的內(nèi)部與橢圓相切于短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，故當(dāng)x=0時(shí)，∠F1PF2是直角；x∈(-a，0)∪(0，a)時(shí)，∠F1PF2是銳角.

(3)當(dāng)c>b時(shí)，圓O與橢圓有四個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閳A的方程為x2+y2=c2，于是由方程組x2+y2=c2，x2a2+y2b2=1，消去y，得關(guān)于x的方程：

1a2-1b2x2=1-c2b2，解得x=±ac2-b2c，

即x=±c2-b2e.

于是，當(dāng)x=±ac2-b2e時(shí)，∠F1PF2是直角；

當(dāng)x∈-a，-c2-b2e∪c2-b2e，a時(shí)，∠F1PF2是銳角；

當(dāng)x∈-c2-b2e，c2-b2e時(shí)，∠F1PF2是鈍角.

2運(yùn)用焦半徑公式和余弦定理

在△PF1F2中，由余弦定理，得

cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|#8226;|PF2|.

于是，當(dāng)|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2<0時(shí)，∠F1PF2是鈍角；當(dāng)|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=0時(shí)，∠F1PF2是直角；當(dāng)|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2>0時(shí)，∠F1PF2是銳角.

因?yàn)閨PF1|=a+ex，|PF2|=a-ex，|F1F2|=2c，所以|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=(a+ex)2+(a-ex)2-4c2=2e2x2+2a2-4c2.于是，

(1)當(dāng)c0，得x∈R，-a

(2)當(dāng)c=b時(shí)，由2e2x2+2a2-4c2=0，得x=0，即x=0時(shí)，∠F1PF2是直角.由2e2x2+2a2-4c2>0，得x<0或x>0，即x∈(-a，0)∪(0，a)時(shí)，∠F1PF2是銳角；

(3)當(dāng)c>b時(shí)，2e2x2+2a2-4c2>0，得x<-c2-b2e或x>c2-b2e，即x∈-a，-c2-b2e∪c2-b2e，a時(shí)，∠F1PF2是銳角.

由2e2x2+2a2-4c2=0，得x=±ac2-b2e，

即x=±ac2-b2e時(shí)，∠F1PF2是直角.

由2e2x2+2a2-4c2<0，得-c2-b2e

即x∈-c2-b2e，c2-b2e時(shí)，∠F1PF2是鈍角.