【摘要】針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)線性空間的概念時(shí)存在的困難，從微觀角度與宏觀角度提出幾點(diǎn)學(xué)法建議.

【關(guān)鍵詞】線性空間；學(xué)法；概念

在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，不少學(xué)生認(rèn)為線性空間的概念是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等代數(shù)的一道很難逾越的門檻.究其原因，大多數(shù)學(xué)生對(duì)于比較抽象的高等代數(shù)概念難以理解，還依賴于中學(xué)代數(shù)中的數(shù)字運(yùn)算，還不能從先期學(xué)過的多項(xiàng)式、向量、矩陣等的運(yùn)算中體會(huì)文字的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，亦不能體會(huì)結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)的意義；還停留在只注重運(yùn)算，而不注重運(yùn)算規(guī)律的層面上，不能從整體上理解一個(gè)數(shù)學(xué)問題，只能從系統(tǒng)的某些元素進(jìn)行分析，注重系統(tǒng)的某些細(xì)節(jié)，不注重元素間的聯(lián)系及系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu).如果學(xué)習(xí)不好線性空間的概念，那么學(xué)生對(duì)今后線性變換、歐氏空間等概念的學(xué)習(xí)會(huì)形成一定的障礙，也直接影響著他們學(xué)習(xí)高等代數(shù)的興趣、信念，從而使他們不能更好地把握認(rèn)識(shí)論維度、自我維度、教學(xué)維度以及學(xué)習(xí)行為維度.要使學(xué)生從微觀角度與宏觀角度更好地學(xué)習(xí)理解線性空間的概念，下面給出幾點(diǎn)學(xué)法建議.

一、根據(jù)教師引導(dǎo)，積極回憶與概念相關(guān)的直觀模型

我們?cè)诮馕鰩缀沃杏懻摰娜S空間及空間中的向量、向量的基本性質(zhì)可以按平行四邊形法則相加，也可以與實(shí)數(shù)做數(shù)量乘法；矩陣構(gòu)成的集合，兩個(gè)同型矩陣可以進(jìn)行加法運(yùn)算，某個(gè)實(shí)數(shù)也可以與矩陣做數(shù)乘矩陣運(yùn)算.以上這些有助于幫助我們理解抽象的向量的加法與數(shù)乘向量的概念，同時(shí)，這些直觀模型的概念與抽象的數(shù)學(xué)概念又有較大區(qū)別，學(xué)會(huì)剔除具體概念中特殊的成分，注重具體概念中共同具有的一些性質(zhì).

二、把新概念的學(xué)習(xí)納入到已有熟悉的概念系統(tǒng)中去

考察新概念在概念系統(tǒng)中的地位和作用，熟悉它和相類似的概念的關(guān)系與區(qū)別，對(duì)新概念進(jìn)行再認(rèn)識(shí).

如線性空間概念中可以參考前面討論過的n元有序數(shù)組(a1，a2，…，an)作為元素的n維向量空間，對(duì)于n元有序數(shù)組也有加法和數(shù)量乘法，即(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)，k(a1，a2，…，an)=(ka1，ka2，…，kan).

同時(shí)n維向量的兩種運(yùn)算滿足如下運(yùn)算規(guī)律：

(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(3)α+0=+α；(4)α+(-α)=0；(5)k(α+β)=kα+kβ；(6)(k+l)α=kα+lα；(7)k(lα)=(kl)α；(8)1α=α.

可以看出上述運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律正是線性空間的概念應(yīng)用于n維向量空間中，但是顯然這些運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律也可應(yīng)用于其他系統(tǒng)，如實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、矩陣、線性方程組等，也就是說，線性空間的概念是存在屬于不同系統(tǒng)的共同的代數(shù)結(jié)構(gòu).

三、對(duì)于線性空間的定義，要字斟句酌，把握其準(zhǔn)確含義

如在線性空間的概念中，（1）“在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫作加法”中的“一種代數(shù)運(yùn)算”表示：一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，也就是一種映射或變換，而不是一種普通的數(shù)的加法運(yùn)算.（2）零向量、負(fù)向量、單位“1”同樣要引起足夠重視.

例1 全體正實(shí)數(shù)的集合R+，對(duì)加法和數(shù)量乘法ab=ab，ka(chǎn)=ak，構(gòu)成R上的向量空間，則此空間的零向量為1，a∈R+的負(fù)向量為1a.而有的同學(xué)誤認(rèn)為零向量為0，負(fù)向量為-a.此時(shí)只要看一下所討論的集合R+，0和-a∈R+，也就是沒有意義.

例2 全體正實(shí)數(shù)的集合R+，對(duì)加法和數(shù)量乘法ab=ab，k a=a-k，構(gòu)成R上的向量空間，則此空間中的單位元“1”=-1.在這個(gè)問題上，有同學(xué)誤認(rèn)為它不能夠構(gòu)成R上的線性空間.

出現(xiàn)以上狀況，都是不能準(zhǔn)確把握概念的表現(xiàn).

四、要從整體上把握線性空間的概念，不要只見樹木不見森林

在學(xué)習(xí)線性空間的概念時(shí)，我們同學(xué)只知道根據(jù)所給題目，將八條運(yùn)算規(guī)律驗(yàn)算正確，就認(rèn)為是大功告成，結(jié)果線性空間是什么，只記住了八條運(yùn)算規(guī)律，這是典型的只見樹木不見森林的學(xué)習(xí)方法.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)若僅僅限于微觀學(xué)習(xí)，是學(xué)不到真正的數(shù)學(xué)思想與方法的，更談不上應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)去創(chuàng)造性地解決實(shí)際問題了.我們要注意養(yǎng)成全面考慮問題的習(xí)慣，不僅要看到數(shù)學(xué)概念的某個(gè)局部，而且能看到整體和局部的關(guān)系，避免研究問題時(shí)的片面性.

五、體會(huì)線性空間概念中的運(yùn)動(dòng)思想，會(huì)用辯證法的思想把握概念

線性空間的概念和函數(shù)概念一樣體現(xiàn)著變化過程和各變化的量之間的依賴關(guān)系，同時(shí)又指導(dǎo)著一些具體的變化過程和變量，并不與哪個(gè)特別事物相關(guān).線性空間在高等代數(shù)中首先引入抽象的變量向量，有了變量，運(yùn)動(dòng)就進(jìn)入了線性空間的概念，整個(gè)概念體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)與變化的相互滲透，對(duì)于后繼抽象數(shù)學(xué)課程打下了一個(gè)良好的基礎(chǔ).

總之，線性空間的概念是抽象與具體、整體與局部、運(yùn)動(dòng)與變化完美結(jié)合的系統(tǒng)，初學(xué)者一定要深刻體會(huì)，參悟概念的美，以便更好地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)及后繼課程的興趣度、自信度、意志力和提高學(xué)習(xí)效率等.

【參考文獻(xiàn)】

［1］張順燕.從變量數(shù)學(xué)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2006(5):2-4;(6):7-11.

［2］張奠宙.微積分教學(xué):從冰冷的美麗到火熱的思考［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2006(2):2-4.

［3］曹之江.漫談如何教數(shù)學(xué)(二)［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2006(2):5.

［4］李尚志.從問題出發(fā)引入線性代數(shù)概念［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2006(5):6-8.

［5］北京大學(xué)代數(shù)幾何教研室.高等代數(shù)(第三版)［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［6］Carlson，M.P.The mathematical behavior of six successful mathematics graduate students influences leading to mathematical success. Educational Studies in Mathematics，1999，40:237-258.