【摘要】格點(diǎn)問(wèn)題借助坐標(biāo)，考查計(jì)數(shù)問(wèn)題，在高考命題中以格點(diǎn)為背景很有特色，成為2011年高考命題的一個(gè)亮點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】格點(diǎn)；計(jì)數(shù)；高考數(shù)學(xué)

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，高考中出現(xiàn)了很多以計(jì)算機(jī)為背景的試題，其中格點(diǎn)（整點(diǎn)）問(wèn)題成為一個(gè)熱點(diǎn).所謂格點(diǎn)（或整點(diǎn)）就是在坐標(biāo)平面上橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，這類試題注意以計(jì)數(shù)為主，借助坐標(biāo)概念，格點(diǎn)問(wèn)題解答都很有特色.

例1 （2011年北京）設(shè)A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R），記N（t）為ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整數(shù)點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則函數(shù)N（t）的值域?yàn)椋?）.

A{9，10，11} B{9，10，12}

C{9，11，12}D{10，11，12}

答案 C

例2 （2011年安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)(x，y)為整點(diǎn)，下列命題中正確的是（寫出所有正確命題的編號(hào)）.

①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)；

②如果k與b都是無(wú)理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)；

③直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)；

④直線y=kx+b經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)；

⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線.

答案 ①③⑤

例3 平面直角坐標(biāo)系中，縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫作整點(diǎn)，那么滿足不等式：(|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整點(diǎn)(x，y)的個(gè)數(shù)有（ ）.

A16個(gè)

B17個(gè)

C18個(gè)

D25個(gè)

解 ∵(x，y)是整點(diǎn)，∴x，y∈Z.

故|x|-1及|y|-1∈Z，且|x|-1≥-1，|-1|-1≥-1.

又由于(|x|-1)2+(|y|-1)2<2，故有

（1）|x|-1=0，|y|-1=0;

（2）|x|-1=0，|y|-1=1;

（3）|x|-1=1，|y|-1=0;

（4）|x|-1=0，|y|-1=-1;

（5）|x|-1=-1，|y|-1=0.

從而，不難得到(x，y)共有：（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1），（1，2），（1，-2），（-1，2），（-1，-2），（2，1），（2，-1），（-2，1），（-2，-1），（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），16個(gè)整點(diǎn).故選A.

例4 （2008年清華大學(xué)自主招生試題）（1）求三直線x+y=60，y=12x，y=0所圍成三角形上的整點(diǎn)個(gè)數(shù).

(2)求方程組y<2x，y>12x，x+y=60的整數(shù)解的個(gè)數(shù).

線段OA有21個(gè)整點(diǎn)，線段AB上有21個(gè)整點(diǎn)，線段OB上有61個(gè)整點(diǎn).因此所求三角形上有21+21+61-3=100（個(gè)）整點(diǎn).

注釋 對(duì)于問(wèn)題（1），△OAB及其內(nèi)部區(qū)域有(61+1)×212=31×21=651（個(gè)）整點(diǎn).

（2）考慮下右圖，△OCD及其內(nèi)部區(qū)域有(61+1)×212=31×21（個(gè)）整點(diǎn).

因此所求整數(shù)解的個(gè)數(shù)為612+612-2×31×21+1=61×31-42×31+1=590.



例5 xy平面上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）滿足1≤x≤4，1≤y≤4，且x，y是整數(shù)的三角形有多少個(gè)？

解 由題設(shè)知，在xy平面上有16個(gè)整點(diǎn)，共有C316=560（個(gè)）三點(diǎn)組，要從中減去那些三點(diǎn)共線的.

平面上有4條垂直線和4條水平線，每條上有4個(gè)點(diǎn)，這8條線上含有8C34=32（個(gè)）三點(diǎn)共線的三點(diǎn)組（如圖（1））.



類似的，在斜率為±1的線上三點(diǎn)共線的三點(diǎn)組有2C34+4C33=8+4=12（個(gè)）（如圖（2））.

此外，沒(méi)有其他的三點(diǎn)共線的三點(diǎn)組，所以，組成的三角形的個(gè)數(shù)是560-32-12=516（個(gè)）.

例6 （2011年江蘇）設(shè)整數(shù)n≥4，P(a，b)是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a>b.

（1）記An為滿足a-b=3的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，求An；

（2）記Bn為滿足13(a-b)是整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，求Bn.

解析 （1）因?yàn)闈M足a-b=3，a，b∈{1，2，3，…，n}，a>b的每一組解構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)P，所以An=n-3.

（2）設(shè)13(a-b)=k∈N*，則a-b=3k，0<3k≤n-1，

∴0