本文就“任意兩個非零向量夾角問題”的教學(xué)實踐，談?wù)勼w現(xiàn)二期課改“以學(xué)生發(fā)展為本”的教學(xué)理念的做法與體會.

上海教育出版社高中二年級第一學(xué)期數(shù)學(xué)（試驗本）第十章“平面向量”的P48課后練習(xí)2：已知a=(x，2)，b=(-3，5)，a，b的夾角為鈍角，求x的取值范圍.筆者在批改學(xué)生作業(yè)時，學(xué)生們的解法都是a#8226;b=-3x+10<0x>103，到底這種解法完整嗎？課堂上在處理習(xí)題時，我又引導(dǎo)學(xué)生思考另一道題：已知a=(x，2)，b=(-3，-2)，a和b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是.

同學(xué)們一起探討解決：

學(xué)生1：a#8226;b=-3x-4<0x>-43，所以x的取值范圍是x>-43.

教師：同學(xué)們有沒有不同意見（鴉雀無聲）？請回憶非零向量夾角的定義.

學(xué)生2：任意兩個非零向量a，b，夾角θ，θ∈［0，π］，a#8226;b=|a||b|cosθ，∴cosθ=a#8226;b|a||b|.

教師：鈍角的取值范圍是什么？

學(xué)生3：π2，π.

學(xué)生4：老師我知道了，a，b的夾角為鈍角，則

θ∈π2，π，cosθ=a#8226;b|a||b|∈(-1，0)，

即-1

-3x-4(-3)2+(-2)2#8226;x2+4<0

-3x-4<0，-3x-4>-13#8226;x2+4，

∴x的取值范圍是x>-43且x≠3.

學(xué)生5：對的，若x=3，a=(3，2)，b=(-3，-2)，a，b的夾角為π，不是鈍角.

教師：很好，現(xiàn)在x的取值范圍是正確的.請同學(xué)們繼續(xù)思考，是否一定要解上面的那個不等式組呢？

學(xué)生6：老師我覺得可以這樣做，不用解上面的不等式組，這樣計算會簡捷：先求a#8226;b<0時x的取值范圍，再求a，b夾角為π的x值，然后從a#8226;b<0的x取值范圍中去掉夾角為π的x值就可以了.

教師：大家還有不同意見嗎？這名同學(xué)的想法很好.同學(xué)們看昨天課本作業(yè)P48課后練習(xí)2，想想你們的作業(yè)本為什么老師沒給你們批對號？學(xué)生們踴躍爭搶著回答，教師請一名學(xué)生回答.

學(xué)生7：老師我們的解法有點問題，應(yīng)該這樣解：a#8226;b<0，即-3x+10<0x>103.設(shè)a=kb(k<0)，則k不存在，綜上x>103.

教師：太好了，請同學(xué)們在作業(yè)旁邊補充完整吧.

筆者認為學(xué)生的錯解更應(yīng)得到教師的重視，學(xué)生是怎樣錯解的？為什么是錯的？錯在哪里？能改進得到正解嗎？只有弄清錯解的根源并真正消除，才能使學(xué)生達到掌握解決問題的方法，而不是教師簡單地暫時教會學(xué)生.當然，如果能以學(xué)生的錯解開展探究活動，從而固本清源則是最佳.總之，學(xué)生的錯解之中必定有“合理”的成分，我們一定要充分挖掘和利用.

一節(jié)數(shù)學(xué)課，要讓學(xué)生“動”，在“做”中學(xué)，師生互動起來，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，以學(xué)生為主體的教學(xué)理念.注重學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，創(chuàng)造機會和條件給學(xué)生參與課堂活動的機會，將教與學(xué)融為一體.

本節(jié)課緊緊圍繞課本，但又不死扣課本，對教學(xué)內(nèi)容作了一些改動和補充，在例題的選擇上，由易到難，層層推進，同時也培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力.

當然，這節(jié)課也存在著不足：（1）整堂課在調(diào)動學(xué)生的參與性上還不夠，學(xué)生比較拘束，討論沒有達到預(yù)期效果.（2）在板書設(shè)計上還不夠理想.（3）最后學(xué)生小結(jié)時比較倉促，沒有讓學(xué)生盡情地講出自己的體會.