【摘要】微積分是高等數學教學的重要課程內容之一，是高等數學繼續(xù)學習與深造的基礎課程，它的思想方法是學生學習后繼課程的重要工具和基礎.本文主要分析大學微積分教學中存在的問題，運用建構主義學習理論，討論微積分課程的知識建構、教學方法、教學手段和實際應用，并以典型案例介紹如何以學生為中心進行積極高效的微積分教學.

【關鍵詞】微積分教學；建構主義；多媒體輔助教學

國內調查表明，目前工科院校高等數學教學存在以下幾個突出問題：（1）學生的數學學習處于被動狀態(tài)，80%的學生認識到數學的重要性，但對其又不感興趣；（2）高等數學教學質量和教學效率有待提高，不管數學試卷出的多么容易，不及格人數將近30%，有的學校高達40%.如何在講解數學知識的同時，傳授數學思想，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，如何發(fā)展學生的創(chuàng)新意識等，都亟待實踐研究.

微積分是高等數學的主要內容，微積分的思想方法是學生學習后繼課程的重要工具和基礎.從各類文獻可以看出，現有的微積分教學大致可以分為以下幾類：（1）某類具體問題的題解研究，或將已有定理的條件、結論略作改動推廣；（2）介紹國外微積分教材、教學研究動態(tài)，并與我國進行對比研究；（3）以體系為突破口，提出新的微積分理論.如張景中院士采用“先無窮大，后無窮小”的方式，采取了“（遞增+無上界）標準無窮大→無窮大→標準無窮小→無窮小→（常數+無窮?。O限”的方式建立了新的非ε極限理論.彭厚富等人從測度的觀點重新認識微積分的本質，建立了測度微積分.已有文獻資料中，借鑒先進的教學理論展開微積分教學改革的研究很少.

數學建構主義學習，是主體對客體進行思維構造的過程；“自主活動”和“個人體驗”是數學建構主義指導下總結出的數學經驗性教學模式.涂榮豹先生提出“數學知識的學習應當是意義建構性的、經驗積累性的、目標引領性的、問題定向與診斷性的、問題解決情景性與反思性的學習，是數學知識的經驗化與數學經驗的意義化學習”.

目前，建構主義已成為熱點話題，關于它的長短，人們有頗多評論，為取其所長避其所短，本文將探討怎樣利用建構主義之長，彌補傳統教學之不足，旨在提高微積分教學的有效性，并為建構主義的深化研究積累實踐依據.

一、微積分教學存在的問題

傳統的微積分教學存在許多問題，主要集中在微積分的課程內容、教材編寫、教學模式和學習態(tài)度與方法四個方面：①微積分是從初等數學進入高等數學的紐帶，其本身具有相當的深度，微積分的學科發(fā)展歷經了兩千余年，要在一個學期內完成全部的教學存在客觀的難度；②為了邏輯上的嚴謹性，微積分教材幾乎都按“集合實數系映射→極限連續(xù)函數→微分→積分”的順序來編寫，這樣的編寫順序與微積分的歷史發(fā)展順序正好相反，而逆序講授則人為增加了教學的抽象度與困難度；③微積分的傳統教學模式只按“公理、定義、定理、證明”的步驟講述邏輯演繹系統，而對于提出問題的藝術、概念的形成、公式和定理的發(fā)現，乃至理論的創(chuàng)造與發(fā)展過程，以及運用數學知識解決實際問題等更實際有趣的部分往往只字不提，結果使微積分學習顯得枯燥乏味；④很多教師缺乏現代化教學意識，沒有充分利用先進的教學設備進行教學，仍然采用一塊黑板、一支粉筆和一本教案的傳統教學方式，不少學生沒有養(yǎng)成良好的學習習慣，缺乏正確的數學思維和理解方法，害怕數學乃至討厭數學.

二、建構主義學習理論

建構主義是數學學習心理學的一項新進展，它認為學習不是一種被動的“復制”活動，而是學習者認知結構的主動建立、重組、改造和發(fā)展.建構主義把學習當成是學生主動的建構活動，教師是學生學習活動的促進者，通過探求知識發(fā)生和發(fā)展的脈絡，找出適應學生原有知識結構的處理方式.課題怎樣引入才最激發(fā)學生的興趣？問題如何設置才既具有開放性又符合學生的“最近發(fā)展區(qū)”？采用什么方式最有利于學生原有的認知結構對型新概念的同化或順應？在教學中，教師設置必要的情景和背景材料，引導學生提出問題，猜想結果，再驗證、論證，激發(fā)學生去思考，通過思考得出結論，建構符合自己的知識體系.建構主義主張教師必須知道學生正在想什么和對所呈現的材料有何反應，重視診斷學生的工具——揭示思維模式、系統錯誤和誤解暫留.在建構主義指導下的課堂教學中，教師必須建立學生的數學理解模式，發(fā)展學生的反省過程，辨認和商榷嘗試性的解題途徑，設計出有利于發(fā)展學生能力的種種教學模式，以發(fā)展學生的思維能力，培養(yǎng)學生善于提出問題、分析問題和解決問題的良好思維品質.

三、建構主義在微積分教學中的應用

1微積分教學內容的建構順序

數學的發(fā)展大多先有創(chuàng)造或發(fā)現，然后才整理成邏輯系統.數學教學既要重視邏輯系統教學，又要重視創(chuàng)造和發(fā)現.因此，在微積分教學中，教師要按微積分發(fā)展順序，精選一些具有代表性的教學例子.如講述從古希臘開始，一直到牛頓與萊布尼茲發(fā)明微積分的歷程，重點介紹微積分研究方法的進展、定理的發(fā)現和知識的演化.在此基礎上探究微積分的邏輯基礎，包括實數系的建構、連續(xù)函數有關定理的證明、極限的ε-δ和ε-N定義式，等等.這樣的教學安排符合由簡單、直觀逐步進入復雜、抽象的學習原則，學生也能時時刻刻清楚自己身在何處，在干什么，有明確的學習方向感，不會在微積分學習中迷失方向.

2基于建構主義的微積分問題教學法

問題是數學的發(fā)源地.微積分起源于要解決一些古老而實用的問題，人們才創(chuàng)造出解決問題的概念與方法，經過長期的改進與演化，終于發(fā)展成一門漂亮的學問.微積分的基本問題是：①求積問題，即求面積、體積、表面積和曲線的長度等等；②求切問題，即求曲線的切線與法線；③求極值問題，即求函數的極大值或極小值；④研究物體的運動，即一個質點運動時，已知路程是時間的函數，反過來，已知速度函數，如何求出路程函數.事實上，這四類問題歸結起來只有求積與求切這兩類而已.在教學過程中，可從實際的背景出發(fā)提出問題，然后進行相應分析和論證，得出所需要的結論，最后應用到實際中去，突出培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維.

3案例分析

教學目的：鞏固所學知識，培養(yǎng)學生思維品質.

教學內容：三角函數有理式的積分，深刻理解原函數和不定積分的概念.

教學方法：啟發(fā)式教學，師生互動.

教學手段：多媒體.

教學過程：

步驟一：復習三角函數有理式積分的有關理論知識.

步驟二：多媒體展示《數學分析》（高等教育出版社，1991）第262頁例5：

求不定積分∫dxa2sin2x+b2cos2x.

解 由于∫dxa2sin2x+b2cos2x=∫sec2xdxa2tan2x+b2=∫d(tanx)a2tan2x+b2，令u=tanx，有：∫dxa2sin2x+b2cos2x=∫dua2u2+b2=1abarctanaub+C=1abarctanabtanx+C.

步驟三：分組討論，介紹例題出處，請學生分析評判例題解法.因為是教材中的例題，又是著名大學編寫的教材，很多學生沒想到解法的錯誤，討論中暴露類似的思維過程.

步驟四：

提問1：原函數的定義是什么？同學們立即回答：設F(x)與f(x)在區(qū)間I上都有定義，若F′(x)=f(x)，則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數.

提問2：不定積分的定義是什么？學生能準確回答.

提示1：f(x)=1a2sin2x+b2cos2x與F(x)=1ab#8226;arctanabtanx不是定義在同一區(qū)間上的，從而F(x)不是f(x)在某個區(qū)間上的一個原函數.

提示2：教材中從∫dxa2sin2x+b2cos2x變?yōu)椤襰ec2xdxa2tan2x+b2是被積函數分子分母同除以cos2x得到的，但是無形中就限制了cos2x≠0，這就導致F(x)與f(x)的定義區(qū)間不同.

上述案例依據建構主義理論，以學生為中心，讓學生參與到教學中去自己發(fā)現錯誤、糾正錯誤，充分發(fā)揮了學習者的積極性、主動性，教師則充當引導者，并借助現代化的教學手段，實施積極高效的課堂教學，培養(yǎng)學生的數學思維品質和數學知識的系統建構.

4微積分課程的多媒體教學

在傳統的數學教學中，教師總是把大量的教學時間用在板書和講解上，學生忙于囫圇吞棗地埋頭記筆記，師生之間疲于趕進度而缺乏交流和思考的時間，師生互動在大學數學課堂上難得一見.在微積分概念的講授過程中，教師常常用自己的演講代替學生的“建構”過程，使學生沒能參與其中.而建構主義的數學課堂教學可以運用計算機多媒體課件形象直觀地展示微積分的發(fā)展史，創(chuàng)設大量富有啟發(fā)性的教學情境，培養(yǎng)學生數形結合的思維方式，實現歷史異地的師生互動.計算機能將文字、圖形、動畫和聲音有機地編排在一起，以多媒體的形式靈活地展示教學內容，激發(fā)學生的興趣，增強學生學習的積極性.多媒體課件能調動多種感官參與，達到學習的最佳效果；能以超文本、超媒體的形式非線性地組織教學內容，使教學內容以網狀結構的方式一步一步地呈現，能提高信息的傳遞效率.如在數形結合中繁雜數據的圖表化、靜態(tài)問題的動態(tài)化、復雜圖形的繪制、動點軌跡的跟蹤、函數圖像的比較分析、運動過程的展現、運動速度的控制、截面問題、旋轉問題、側面展開、從不同的角度觀察圖形、空間圖形的分解與組合、迭代問題，等等，依靠傳統教具、語言描述等方式總顯得蒼白無力.若結合Mathead、幾何畫板或其他數學軟件以及計算機語言和作圖工具制作課件進行教學，由“聽得懂”和“想得出”，變?yōu)椤翱吹靡姟痹俚健跋氲贸觥?，其教學能起到事半功倍的效果.

【參考文獻】

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［4］朱春浩.以應用能力培養(yǎng)為主線建立高職數學課程體系［J］.職業(yè)技術教育，2001，22（4）：24-26.