三次函數(shù)的一般形式為y=f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0，a，b，c，d∈R).近幾年的全國各省市高考試卷以導數(shù)為工具，有重點地考查了有關(guān)三次函數(shù)的單調(diào)性、極值、在閉區(qū)間上的最值等函數(shù)性態(tài)，凸顯“在知識網(wǎng)絡交匯點上命題”的理念.三次函數(shù)的導數(shù)為二次函數(shù)，因此，三次函數(shù)交匯了函數(shù)、不等式、方程等眾多知識點以它為載體的試題，背景新穎獨特，選拔功能強.如果學生對三次函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及三次方程根的情況有所了解，那就更加得心應手了.

一、三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1定義域：R

2值域：R

3單調(diào)性

易證 三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，導函數(shù)為二次函數(shù)f′(x)=3ax2+2bx+c(a>0)，導函數(shù)的判別式化簡為Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).

(1)若b2-3ac≤0，則f(x)在(-∞，+∞)上為增函數(shù)（如圖1）.

(2)若b2-3ac>0，則f(x)在(-∞，x1)和(x2，+∞)上為增函數(shù)，f(x)在(x1，x2)上為減函數(shù)，其中x1=-b-b2-3ac3a，x2=-b+b2-3ac3a（如圖2）.



三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d（a<0）的情況為圖3、圖4.

4極 值

三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，

(1)若b2-3ac≤0，則f(x)在R上無極值（如圖1）.

(2)若b2-3ac>0，則f(x)在R上有兩個極值，且f(x)在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值（如圖2）.

三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a<0)，

(1)若b2-3ac≤0，則f(x)在R上無極值（如圖3）.

(2)若b2-3ax>0，則f(x)在R上有兩個極值，且f(x)在x=x1處取得極小值，在x=x2處取得極大值（如圖4）.

5對稱性

函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是中心對稱圖形，其對稱中心是-b3a，f-b3a.

證明 設函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱中心為（m，n）.

按向量a=(-m，-n)將函數(shù)的圖像平移，則所得函數(shù)y=f(x+m)-n是奇函數(shù)，所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0.

化簡得(3ma+b)x3+am3+bm2+cm+d-n=0.

上式對x∈R恒成立，故3ma+b=0，

得m=-b3a，n=am3+bm2+cm+d=f-b3a.

所以，函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱中心是-b3a，f-b3a.

可見，y＝f(x)圖像的對稱中心在導函數(shù)y＝f′(x)的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點.

二、三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a>0)實根的個數(shù)

分析 函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的圖像與x軸有幾個交點，方程便有幾個根.

1當Δ=4b2-12ac≤0時，由于不等式f′(x)≥0恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以原方程僅有一個實根.

2當Δ=4b2-12ac>0時，由于方程f′(x)=0有兩個不同的實根x1，x2，不妨設x1

此時，若f(x1)#8226;f(x2)>0，即函數(shù)y=f(x)的極大值點和極小值點在x軸同側(cè)，圖像均與x軸只有一個交點，所以原方程有且只有一個實根（如圖5，6）.



若f(x1)#8226;f(x2)<0，即函數(shù)y=f(x)的極大值點與極小值點在x軸異側(cè)，圖像與x軸必有三個交點，所以原方程有三個不等實根（如圖2）.

若f(x1)#8226;f(x2)=0，即f(x1)與f(x2)中有且只有一個值為0，所以，原方程有三個實根，其中兩個相等（如圖7，8）.

下面讓我們來體會一下如何應用三次函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及三次方程根的情況快速、準確地解答問題.

例 已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍？

解 求函數(shù)f（x）的導數(shù)：f′(x)=3ax2+6x-1.

（1）當f′(x)＜0（x∈R）時，f（x）是減函數(shù).

3ax2+6x－1＜0（x∈R）a＜0且Δ=36+12a＜0a＜－3.

所以，當a＜－3時，由f′(x)＜0，知f（x）（x∈R）是減函數(shù).

（2）當a=-3時，f（x）=-3x3+3x2-x+1=-3x-133+89，由函數(shù)y=x3在R上的單調(diào)性，可知當a=－3時，f（x）（x∈R）是減函數(shù).

（3）當a＞－3時，在R上存在一個區(qū)間，其上有f′(x)＞0，所以，當a＞－3時，函數(shù)f（x）（x∈R）不是減函數(shù).

綜上所述，所求a的取值范圍是（－∞，－3］.

如果用三次函數(shù)性質(zhì)，我們就可以這樣解答：

解 若a=0，f(x)=3x2-x+1為二次函數(shù)，在R上不是減函數(shù)；

若a≠0，f(x)=ax3+3x2-x+1為三次函數(shù)，在R上是減函數(shù)，只需a<0且9+3a≤0，即a≤-3.

綜上所述，a的取值范圍是a≤-3.

綜觀以上事例，只要我們了解了三次函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及三次方程根的情況，無論是容易題、中檔題還是難題，都能找到明確的解題思路，解題過程也簡明扼要.盡管高中教學強調(diào)利用導數(shù)解決這類問題，但我們了解了這些知識就會拓寬解題思路，而且有利于知識的系統(tǒng)性，有利于高中數(shù)學和高等數(shù)學的銜接.