【摘要】對(duì)于天然腸衣搭配問(wèn)題，通過(guò)建立最大捆數(shù)和搭配方案的兩個(gè)通用模型，得出了三種規(guī)格的原料的最大捆數(shù)，以及在保證捆數(shù)最多的情況下的原料搭配的最優(yōu)方案，根據(jù)這個(gè)方案可以“照方抓藥”進(jìn)行生產(chǎn)，提高了勞動(dòng)效率和原料的使用率.

【關(guān)鍵詞】天然腸衣；搭配方案；捆數(shù)；模型

2011年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽D題：天然腸衣搭配問(wèn)題.要求解決的問(wèn)題是根據(jù)題目提供的成品規(guī)格表和原料描述表，設(shè)計(jì)一個(gè)原料搭配方案，工人根據(jù)這個(gè)方案“照方抓藥”進(jìn)行生產(chǎn).公司對(duì)搭配方案有以下具體要求：

(1)對(duì)于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好；

(2)對(duì)于成品捆數(shù)相同的方案，最短長(zhǎng)度最長(zhǎng)的成品越多，方案越好；

(3)為提高原料使用率，總長(zhǎng)度允許有±0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根；

(4)某種規(guī)格對(duì)應(yīng)原料如果出現(xiàn)剩余，可以降級(jí)使用.如長(zhǎng)度為14米的原料可以和長(zhǎng)度介于7~13.5米的進(jìn)行捆扎，成品屬于7~13.5米的規(guī)格；

(5)為了食品保鮮，要求在30分鐘內(nèi)產(chǎn)生方案.

請(qǐng)建立上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，給出求解方法，并對(duì)成品規(guī)格表、原料描述表給出的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，給出搭配方案.

一、問(wèn)題分析

假設(shè)某種規(guī)格對(duì)應(yīng)原料如果出現(xiàn)剩余，可以平移降級(jí)使用.如長(zhǎng)度為7米、7.5米、8米的原料出現(xiàn)剩余，可以向下一級(jí)平移降級(jí)為5.5米、6米、6.5米使用.

因?yàn)樵先粲惺Ｓ嗫梢越导?jí)使用，所以按照從長(zhǎng)到短的順序進(jìn)行，對(duì)三種規(guī)格的原料來(lái)說(shuō)：

1.每一捆的根數(shù)=該規(guī)格使用的總根數(shù)/該規(guī)格的總捆數(shù).

2.每一捆的長(zhǎng)度=該規(guī)格使用根數(shù)的總長(zhǎng)度/該規(guī)格的總捆數(shù).

以每一規(guī)格的最大捆數(shù)為目標(biāo)，每一捆的根數(shù)和長(zhǎng)度進(jìn)行約束，首先建立最大捆數(shù)的通用模型，分別就三種規(guī)格的具體數(shù)據(jù)，利用LINGO軟件編程，求出最大捆數(shù)和每一規(guī)格在最大捆數(shù)下使用的具體根數(shù)（若有剩余考慮降級(jí)）.

在最大捆數(shù)使用的具體根數(shù)確定的情況下，就每一捆的具體搭配建立通用的搭配模型，分別就三種規(guī)格的具體數(shù)據(jù)，利用LINGO軟件編程，求出三種規(guī)格成品的搭配方案.

二、模型建立與求解

1最大捆數(shù)的優(yōu)化模型

用i=1，2，3表示規(guī)格數(shù)，j=1，2，…，ni表示三種規(guī)格原料的分段個(gè)數(shù)（ni=8，14，24）.

設(shè)ki表示第i規(guī)格成品的最大捆數(shù)，pi表示第i規(guī)格成品的標(biāo)準(zhǔn)根數(shù)，xijaij，bij分別表示第i規(guī)格第j段原料使用的根數(shù)、原料的長(zhǎng)度、原料提供的根數(shù).

目標(biāo)函數(shù)為：maxki(i=1，2，3)

約束條件為：

s.t.pi-1≤∑nij=1xijki≤pi，對(duì)每捆根數(shù)的約束，

885≤∑nj=1aijxijki≤895，對(duì)每捆長(zhǎng)度的約束，

xij≤bij，使用的根數(shù)不超過(guò)提供的原料根數(shù)，

ki，xij均為整數(shù)（i=1，2，3；j=1，2，…，ni).(Ⅰ)

利用模型(Ⅰ)編制LINGO程序一，從第三規(guī)格開(kāi)始，分別對(duì)三種規(guī)格求解.

（1）在第三規(guī)格中，a3j=14，145，15，…，25，255；b3j=35，29，30，…，0，1，取n3=24，p3=5；利用程序一解得：第三規(guī)格最大捆數(shù)k3=137，使用根數(shù)x3j=b3j；第三規(guī)格原料全部用完無(wú)剩余.

（2）將程序中的數(shù)據(jù)改為第二規(guī)格的數(shù)據(jù)，利用程序一解得：第二規(guī)格最大捆數(shù)k2=37，使用根數(shù)為：x2j=0，0，10，25，21，23，21，18，31，23，22，59，18，25；第二規(guī)格原料剩余數(shù)為：b2j-x2j=24，24，10，0，0，…，0；剩余總數(shù)58根，根據(jù)假設(shè)可平移降級(jí)使用.

（3）同理，利用程序一解得：第一規(guī)格最大捆數(shù)k1=18，使用根數(shù)為：x1j=43，59，39，41，26，52，54，30；第一規(guī)格原料剩余數(shù)為：b1j-x1j=0，0，0，0，1，0，4，1；剩余總數(shù)6根.

2搭配方案的優(yōu)化模型

設(shè)wsj表示第s捆成品中使用的第j段原料的根數(shù)（s=1，2，…，ki；j=1，2，…，ni）.將上述模型中求出的三種規(guī)格成品使用的根數(shù)xij進(jìn)行搭配扎捆（i=1，2，3）.建立通用模型：

∑kis=1wsj=xij，扎捆中第j段總根數(shù)等于選定的根數(shù)(i=1，2，3)，

pi-1≤∑nij=1wsj≤pi，對(duì)每捆根數(shù)的約束，

885≤∑nij=1aijwsj≤895，對(duì)每捆長(zhǎng)度的約束(i=1，2，3)，

wsj均為整數(shù)，（s=1，2，…，ki；j=1，2，…，ni）.（Ⅱ）

利用模型（Ⅱ）編制LINGO程序二，分別對(duì)三種規(guī)格求解.

（1）在第一規(guī)格中，取k1=18，n1=8，p1=20，a1j=3，35，4，…，6，65，x1j=43，59，39，41，26，52，54，30；利用程序二解出第一規(guī)格成品的搭配扎捆方案（略），由方案可以看出，18捆成品全是19根的.

（2）將程序中的數(shù)據(jù)改為第二規(guī)格的數(shù)據(jù)，利用程序二解得：第二規(guī)格成品的搭配扎捆方案（略），由方案可以看出，37捆成品全是8根的.

（3）同理，利用LINGO程序解出第三規(guī)格成品的搭配扎捆方案（略），由方案可以看出，137捆成品中129捆是5根的，8捆是4根的.

三、結(jié)束語(yǔ)

兩個(gè)通用模型簡(jiǎn)單方便，根據(jù)不同情況，只要將數(shù)據(jù)改變代入兩個(gè)模型中，運(yùn)用LINGO程序即可求出多種結(jié)果.篩選出最短長(zhǎng)度最長(zhǎng)的搭配方案，工人根據(jù)這個(gè)方案“照方抓藥”進(jìn)行生產(chǎn)，提高了工作效率.將剩余原料平移降級(jí)使用，可以減少原料的剩余，最后僅剩余6根，大大提高了原料的使用率.該模型可推廣到不同材料的切割模式搭配、材料下料等問(wèn)題中.

【參考文獻(xiàn)】

［1］姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.

［2］肖華勇.實(shí)用數(shù)學(xué)建模大賽與軟件應(yīng)用.西北工業(yè)大學(xué)出版社，2008.