【摘要】引導(dǎo)學(xué)生通過對命題“已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列”進行一系列的探究推廣，得出命題：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，且公比q≠1，則Sk，S3k，S2k成等差數(shù)列的充要條件是an，an+2k，an+k成等差數(shù)列(其中n，k∈N+).

【關(guān)鍵詞】培養(yǎng)；學(xué)生；探究；意識；能力

2010年秋季，新課程改革在甘肅省全面實施，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，改進學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是新課改追求的基本理念.新課改提倡學(xué)生獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流的學(xué)習(xí)方式，因此越來越受到教育工作者的普遍重視.

人教版2006版全日制普通高級中學(xué)教科書﹙必修﹚數(shù)學(xué)課本第一冊（上）P142有一道這樣的例題：

已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列.

其證明如下:由S3，S9，S6成等差數(shù)列，得S3＋S6=2S9.

這里q≠1，事實上，如果q=1，則S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.由a1≠0，得S3＋S6≠2S9，與題設(shè)矛盾，所以q≠1.

由S3＋S6=2S9，得

a1(1-q3)1-q＋a1(1-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q.①

整理，得q3+q6=2q9.

由q≠0，得1+q3=2q6.②

因此，a1q+a1q4=2a1q7.③

即a2+a5=2a8.

所以a2，a8，a5成等差數(shù)列.

在引導(dǎo)學(xué)生完成上述證明的過程中由于逐漸意識到本題絕大多數(shù)證明步驟可逆，于是突然產(chǎn)生第一個疑問，并順便將自己的想法告訴了學(xué)生：這個命題的逆命題成立嗎？事實上，仔細觀察不難發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵在于①，②兩式之間，由②式推導(dǎo)①式時只需加條件q≠1即可.于是我們得到：

已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，且公比q≠1，則S3，S9，S6成等差數(shù)列的充要條件是a2，a8，a5成等差數(shù)列.

之后又注意到a2，a8，a5中序號的差異及由②到③的變形過程得到a1，a7，a4;a3，a9，a7;a4，a10，a7;a5，a11，a8…也成等差數(shù)列，于是又有了第二個疑問：an，an+6，an+3（n∈N+）是等差數(shù)列嗎？其實只要在②式的兩邊同時乘以an，即可得到an+an+3=2an+6（n∈N+）.所以若S3，S9，S6成等差數(shù)列，則an，an+6，an+3（n∈N+）成等差數(shù)列.反之，q≠1時逆命題也成立.

此時有些學(xué)生急忙喊出條件S3，S9，S6成等差數(shù)列也可推廣，其項數(shù)3，6，9也相差3，可推廣為Sk，Sk+6，Sk+3成等差數(shù)列，于是師生又共同證明了：若Sk，Sk+6，Sk+3成等差數(shù)列，則an，an+6，an+3（n∈N+）成等差數(shù)列.q≠1時逆命題也成立.

之后有些同學(xué)又注意到上述情況其實都是特殊情形，其一般情形應(yīng)是：若Sk，S3k，S2k成等差數(shù)列，則an，an+2k，an+k成等差數(shù)列.當q≠1時逆命題也成立，其中n，k∈N+.

綜上所述，已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，且公比q≠1，則Sk，S3k，S2k成等差數(shù)列的充要條件是an，an+2k，an+k成等差數(shù)列(其中n，k∈N+).

這樣，對該題的探究推廣也就得到了圓滿的解決.

臨下課了，我又想起了課本P144的習(xí)題3.5第7題：已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和，a1，a7，a4成等差數(shù)列，求證：2S3，S6，S12-S6成等比數(shù)列.請同學(xué)們思考，該題能否推廣，仿照此例課外進行探究.

我們發(fā)現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生通過這樣的探究，使學(xué)生獲得了自主探究的機會，經(jīng)歷了一個發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的學(xué)習(xí)過程.從學(xué)生的課堂表情看出，他們感受到了發(fā)現(xiàn)與成功的喜悅，學(xué)習(xí)的積極性得到了很好的發(fā)揚.課堂問題的解決方法并不是事先藏在教師頭腦中的謎底，而是師生共同探究的思維成果.因此，如果我們在平時的教學(xué)中不過分拘泥于長期形成的“規(guī)范”，而是善于捕捉課本例題或習(xí)題中學(xué)生的“金子般閃光”的“意外”想法，抓住其合理的成分引導(dǎo)學(xué)生進行自主探究，相信我們的課堂教學(xué)一定是優(yōu)質(zhì)高效的！

【參考文獻】

［1］刑永富.現(xiàn)代教育思想.北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2001.

［2］張汝新.數(shù)學(xué)探究性教學(xué)的現(xiàn)狀與改進建議.西安：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005（8）.