有這樣一道很著名的題：

問(wèn)題1 求橢圓的內(nèi)接矩形的最大面積.

本題的解法也很“有名”：

解 設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由對(duì)稱(chēng)性可知，內(nèi)接矩形的邊平行于坐標(biāo)軸.設(shè)內(nèi)接矩形ABCD在第一象限的頂點(diǎn)為A(acosα，bsinα)，則SABCD=4acosα#8226;bsinα=2absin2α≤2ab.

結(jié)論是正確的，但深層次的原因沒(méi)有找到.

本文先給出三角形的一個(gè)面積公式，然后解決更一般的問(wèn)題.

圖 1

定理 如圖1，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

S△OAB=12|x1y2-x2y1|.（1）

證明 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，有x1=x2，結(jié)論顯然是成立的.

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，直線AB的方程是

y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)，

即(y2-y1)x-(x2-x1)y+x2y1-x1y2=0.

原點(diǎn)到直線AB的距離d=|x2y1-x1y2|(x1-x2)2+(y1-y2)2，

∴S△OAB=12d#8226;|AB|

=12#8226;|x2y1-x1y2|(x1-x2)2+(y1-y2)2#8226; (x1-x2)2+(y1-y2)2

=12|x1y2-x2y1|.



綜上所述，結(jié)論成立.

這個(gè)公式可稱(chēng)為三角形的坐標(biāo)面積公式.當(dāng)三角形沒(méi)有一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，可用平移方法得到面積公式，本文不作討論.

注 已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，其面積可由三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的行列式算出，由于教材中沒(méi)有這部分內(nèi)容，所以我們采用了一個(gè)變通的方法.

下面用公式（１）解決更一般的問(wèn)題.

問(wèn)題2 求橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的內(nèi)接平行四邊形的最大面積.

解 引理：橢圓的一組平行弦的中點(diǎn)的軌跡是一條過(guò)中心的弦（直徑），并且若平行弦的斜率不存在，則軌跡就是長(zhǎng)軸；若平行弦的斜率為０，則軌跡就是短軸；若平行弦的斜率為k(k≠0)，則軌跡所在直線的斜率為-b2a2k.

圖 2

現(xiàn)設(shè)ABCD為橢圓的內(nèi)接平行四邊形，設(shè)一組對(duì)邊AB，CD中點(diǎn)為M，N，由引理知，中位線MN所在直線過(guò)橢圓的中心，同理，另一條中位線PQ所在直線也過(guò)橢圓中心，而兩條中位線的交點(diǎn)恰是平行四邊形的中心，故平行四邊形的中心與橢圓的中心重合.

如圖2，ABCD是橢圓的內(nèi)接矩形，則SABCD=4S△OAB.

設(shè)A(acosα，bsinα)，B(acosβ，bsinβ)，則

S△OAB=12|acosα#8226;bsinβ-acosβ#8226;bsinα|

=ab2|cosαsinβ-sinαcosβ|

=ab2|sin(α-β)|≤ab2，



從而SABCD≤2ab（當(dāng)且僅當(dāng)|sin(α-β)|=1取等號(hào)）.

現(xiàn)設(shè)ABCD是橢圓的內(nèi)接矩形，若對(duì)邊AB和CD的斜率為k(k≠0)，則這兩邊中位線的斜率為-b2a2k，而這正是鄰邊AD的斜率.∵AB⊥AD，∴-b2a2k#8226;k=-1，即a2=b2，此不可能，所以AB的斜率為０，因此，橢圓的內(nèi)接矩形的邊平行于對(duì)稱(chēng)軸.由上面的解答可知，其最大面積為2ab（取到最大面積的充要條件同上）.

由以上分析可知，橢圓的內(nèi)接矩形的邊平行于對(duì)稱(chēng)軸不能由橢圓的對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)單推出.

【參考文獻(xiàn)】

張澤湘.二次曲線.上海：上海教育出版社，1981.