【摘 要】本文從萌芽、發(fā)展的角度觀察、分析線性代數(shù)，剖析線性代數(shù)的應(yīng)用特性。由于不拘泥于教材，從歷史發(fā)展、思想方法、應(yīng)用性等方面娓娓道來(lái)，自有一種人文情懷蘊(yùn)含其中，帶領(lǐng)讀者領(lǐng)略線性代數(shù)的另一番學(xué)科文化面貌。

【關(guān)鍵詞】應(yīng)用性 線性方程組 坐標(biāo)幾何 結(jié)構(gòu)問(wèn)題

貫穿數(shù)學(xué)發(fā)展的思想有兩個(gè)，即希臘貴族學(xué)院式的論證數(shù)學(xué)與平民化的實(shí)用數(shù)學(xué)。線性代數(shù)可以說(shuō)是從應(yīng)用中來(lái)到應(yīng)用中去的一門學(xué)科，盡管其發(fā)展與表達(dá)形式，脫離不了歐幾里得經(jīng)典幾何的模式與影響。

1 從應(yīng)用中來(lái)

公元4世紀(jì)我國(guó)《孫子算經(jīng)》中有雞兔同籠問(wèn)題如下：

“今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問(wèn)雞兔各幾何？”

該問(wèn)題的求解方法有很多，不過(guò)，采用列方程組的方法求解是很方便的。設(shè)雞和兔的個(gè)數(shù)分別為和，則可建立如下一次方程組：

x+y=35

2x+4y=94

容易求得x=23，y=25.

無(wú)獨(dú)有偶，《張丘建算經(jīng)》中的百雞問(wèn)題：百錢買雞百只，小雞一錢三只，母雞三錢一只，公雞五錢一只。問(wèn)小雞、母雞、公雞各多少只？通過(guò)建立三元一次線性方程組，可類似求得解。

以上兩例表明，正是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題刺激了線性代數(shù)這一學(xué)科的誕生與發(fā)展。同時(shí)，我國(guó)古代天文歷法資料表明，一次同余問(wèn)題的研究，明顯地受到天文、歷法需要的推動(dòng)。可以說(shuō)，歷史上線性代數(shù)的第一個(gè)問(wèn)題是關(guān)于解線性方程組的問(wèn)題。

2 坐標(biāo)幾何促發(fā)展

線性代數(shù) （linear algebra） 作為代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，以向量空間與線性映射為研究對(duì)象的近代發(fā)展，則與法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬 （Fermat，1601 — 1665） 和笛卡兒 （Descartes，1596 — 1665） 創(chuàng)立的坐標(biāo)幾何工作直接相關(guān)。因此，線性代數(shù)基本上出現(xiàn)于 17 世紀(jì)。

從古希臘時(shí)代到1600年，幾何統(tǒng)治著數(shù)學(xué)，代數(shù)居于附庸的地位。1600年以后，代數(shù)成為基本的數(shù)學(xué)部門。笛卡爾與費(fèi)馬提出的坐標(biāo)幾何改變了數(shù)學(xué)的面貌，坐標(biāo)幾何把數(shù)學(xué)造成一個(gè)雙面的工具，幾何概念可用代數(shù)表示，幾何的目標(biāo)，可通過(guò)代數(shù)達(dá)到。反過(guò)來(lái)，給代數(shù)語(yǔ)言以幾何解釋，可以直觀地掌握那些語(yǔ)言的意義。坐標(biāo)幾何的顯著優(yōu)點(diǎn)，在于它提供了科學(xué)久已迫切需要的數(shù)量的工具。

笛卡爾批評(píng)希臘人的幾何過(guò)于抽象，而且過(guò)多地依賴于圖形。在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)家的實(shí)踐中，笛卡爾不僅掌握了專門的代數(shù)知識(shí)，并且看到了在提供廣泛的方法論方面，代數(shù)的力量，看到了代數(shù)作為一門普遍的科學(xué)方法的潛力。因此，他主張采取代數(shù)和幾何中一切最好的東西，互相以長(zhǎng)補(bǔ)短。他說(shuō)：“所有人們能夠知道的東西，也同樣是互相聯(lián)系著的。”

笛卡爾在用代數(shù)解決幾何作圖的問(wèn)題中，提出了用方程表示并研究曲線的思想，根據(jù)方程的次數(shù)對(duì)曲線分類，取消了希臘人關(guān)于判定曲線是否存在以是否可以畫(huà)出為判別的標(biāo)準(zhǔn)；接著又提出用同一個(gè)坐標(biāo)軸來(lái)寫(xiě)出兩個(gè)不同曲線的方程，并且聯(lián)立地解出這兩個(gè)方程來(lái)求出這兩條曲線的交點(diǎn)。笛卡爾把代數(shù)提高到重要地位，這個(gè)關(guān)鍵思想使人們能夠認(rèn)識(shí)典型的幾何問(wèn)題并且能夠把幾何形式上互不相關(guān)的問(wèn)題歸在一起，代數(shù)給幾何帶來(lái)最自然的分類原則和最自然的方法層次，意義重大。因此，體系和結(jié)構(gòu)就從幾何轉(zhuǎn)移到代數(shù)，代數(shù)比幾何變得更為重要。當(dāng)然， 隨后，微積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)進(jìn)入數(shù)學(xué)，牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leibniz）都認(rèn)為微積分是代數(shù)的擴(kuò)展。比如微積分中研究曲線的各種性質(zhì)時(shí)往往采用“以直代曲”的思想，這里的“直”，自然是一次線性函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線，說(shuō)明了線性方法應(yīng)用的普遍性。

如果所研究的關(guān)聯(lián)性是線性的，那么稱這個(gè)問(wèn)題為線性問(wèn)題。線性代數(shù)起源于對(duì)二維和三維直角坐標(biāo)系的研究。 在這里，一個(gè)向量是一個(gè)有方向的線段，由長(zhǎng)度和方向同時(shí)表示。這樣向量可以用來(lái)表示物理量，比如力。這就是實(shí)數(shù)向量空間的第一個(gè)例子。 現(xiàn)代線性代數(shù)已經(jīng)擴(kuò)展到研究任意或無(wú)限維空間。一個(gè)維數(shù)為 n 的向量空間叫做 n 維空間。在二維和三維空間中大多數(shù)有用的結(jié)論可以擴(kuò)展到這些高維空間。盡管許多人不容易想象 n 維空間中的向量，這樣的向量（即 n 元組）用來(lái)表示數(shù)據(jù)非常有效。由于作為 n 元組，向量是 n 個(gè)元素的“有序”列表，大多數(shù)人可以在這種框架中有效地概括和操縱數(shù)據(jù)。比如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可以使用 9 維向量來(lái)表示 9 個(gè)國(guó)家的國(guó)民生產(chǎn)總值。當(dāng)所有國(guó)家的順序排定之后，比如 （中國(guó)， 美國(guó)，日本，英國(guó)， 法國(guó)， 德國(guó)，澳大利亞，西班牙， 印度），可使用向量 （v1， v2， v3， v4， v5， v6， v7， v8， v9） 顯示這些國(guó)家某一年各自的國(guó)民生產(chǎn)總值。這里，每個(gè)國(guó)家的國(guó)民生產(chǎn)總值都在各自的位置上。

因此，線性代數(shù)處理的是幾何對(duì)象，它的研究對(duì)象是向量、向量空間、線性變換和有限維的線性方程組，具體來(lái)說(shuō)是討論矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科。從這個(gè)角度來(lái)看的話，可以說(shuō)線性代數(shù)正是代數(shù)方法應(yīng)用于幾何問(wèn)題的產(chǎn)物。

3 到應(yīng)用中去

科學(xué)以自然規(guī)律作為研究對(duì)象，亞歷山大·蒲柏有詩(shī)贊：

自然和自然法則在黑暗中隱藏。

上帝說(shuō)，牛頓誕生！于是一片光明。

由于牛頓揭示了自然法則，因此對(duì)人類來(lái)說(shuō)，牛頓簡(jiǎn)直就是光明的使者。

人們通常將自然問(wèn)題分為三類：變化問(wèn)題、結(jié)構(gòu)問(wèn)題、或然性問(wèn)題。變化問(wèn)題就是研究事物變化的規(guī)律，研究變化問(wèn)題的是微積分；或然性問(wèn)題是研究事物發(fā)生的可能性大小，比如買彩票中獎(jiǎng)的可能性，或然性問(wèn)題用概率研究；結(jié)構(gòu)問(wèn)題就是當(dāng)時(shí)間固定的時(shí)候事物之間的關(guān)系，結(jié)構(gòu)問(wèn)題就是代數(shù)研究的對(duì)象，線性代數(shù)是代數(shù)中基本也是最重要的內(nèi)容。因此，為理工科大學(xué)生開(kāi)設(shè)的高等數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)、線性代數(shù)等三門數(shù)學(xué)課程，正是為了分別研究這三類自然問(wèn)題的。

在科技實(shí)踐中，從實(shí)際中來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)非分為兩類：一類線性問(wèn)題；一類非線性問(wèn)題。線性問(wèn)題是研究最久、理論最完善的，我們可以簡(jiǎn)單地說(shuō)數(shù)學(xué)中的線性問(wèn)題是最容易被解決的，如微分學(xué)研究很多函數(shù)線性近似的問(wèn)題。而非線性問(wèn)題則可以在一定基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題求解。因此遇到一個(gè)問(wèn)題，首先判定是線性問(wèn)題還是非線性問(wèn)題；其次如果是線性問(wèn)題如何處理，若是非線性問(wèn)題如何轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題?？梢?jiàn)線性代數(shù)作為研究線性關(guān)聯(lián)性問(wèn)題的代數(shù)理論的重要性。隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái)，線性代數(shù)正是解決這些問(wèn)題的有力工具。

法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾通過(guò)三條途徑來(lái)研究數(shù)學(xué)：作為哲學(xué)家，作為自然的研究者，作為一個(gè)關(guān)心科學(xué)的用途的人。所以，笛卡爾的科學(xué)工作的一個(gè)重要之點(diǎn)，就是把科學(xué)成果付之應(yīng)用，為了人類的幸福而去掌握自然。正是由于他的這種思想觀，才會(huì)有將代數(shù)方法應(yīng)用于幾何的坐標(biāo)幾何的誕生，而正是由于坐標(biāo)幾何的創(chuàng)立，才迎來(lái)了數(shù)學(xué)的新階段，線性代數(shù)也才得以發(fā)展，因此線性代數(shù)具有廣泛的應(yīng)用特性，也就不足為怪了。

1973年第五屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主為哈佛大學(xué)的教授Wassily Leontief ，他于1949年提出的投入產(chǎn)出模型 （Input-output Analysis） ，就是用線性方程組描述投入產(chǎn)出表所反映的經(jīng)濟(jì)內(nèi)容的。作為一種科學(xué)的方法來(lái)說(shuō)，投入產(chǎn)出法，是研究經(jīng)濟(jì)體系（國(guó)民經(jīng)濟(jì)、地區(qū)經(jīng)濟(jì)、部門經(jīng)濟(jì)、公司或企業(yè)經(jīng)濟(jì)單位）中各個(gè)部分之間投入與產(chǎn)出的相互依存關(guān)系的數(shù)量分析方法。

總之，線性代數(shù)方法是指使用線性觀點(diǎn)看待問(wèn)題，并用線性代數(shù)的語(yǔ)言描述它、解決它的方法。這是數(shù)學(xué)與工程學(xué)中最主要的應(yīng)用之一。

舉個(gè)例子，線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念是線性空間：

定義 非空集合中的元素，若對(duì)“加法”和“數(shù)乘”運(yùn)算滿足八條規(guī)律，則稱該集合為線性空間，其元素稱為向量，滿足八條規(guī)律的運(yùn)算稱為線性運(yùn)算。

也就是說(shuō)，只要滿足那么幾條公理，我們就可以對(duì)一個(gè)集合進(jìn)行線性化處理?？梢园岩粋€(gè)不太明白的結(jié)構(gòu)用已經(jīng)熟知的線性代數(shù)理論來(lái)處理，如果我們可以知道所研究的對(duì)象的維數(shù)（比如說(shuō)是n），我們就可以把它等同為。足見(jiàn)線性代數(shù)作為結(jié)構(gòu)工具的威力！

線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴(kuò)大。線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支，在各種代數(shù)分支中占據(jù)首要地位。在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無(wú)不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分。

總之，隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái)，因此，線性代數(shù)成為解決這些問(wèn)題的有力工具。

值得強(qiáng)調(diào)的是，線性代數(shù)所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來(lái)的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對(duì)于強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練、增益科學(xué)智能是非常有用的。

瑞典著名數(shù)學(xué)家L.戈定（Garding）說(shuō)過(guò)，沒(méi)有掌握線性代數(shù)的人簡(jiǎn)直就是文盲。他在自己的名著《數(shù)學(xué)概觀》中說(shuō)：要是沒(méi)有線性代數(shù)，任何數(shù)學(xué)和初等教程都講不下去。按照現(xiàn)行的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，線性代數(shù)是通過(guò)公理化來(lái)表述的。它是第二代數(shù)學(xué)模型，其根源來(lái)自于歐幾里得幾何、解析幾何以及線性方程組理論。如果不熟悉線性代數(shù)的概念，像線性性質(zhì)、向量、線性空間、矩陣等等，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來(lái)就和文盲差不多，甚至學(xué)習(xí)社會(huì)科學(xué)也是如此。

【參考文獻(xiàn)】

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［3］ （瑞典）L.戈定，胡作玄譯. 數(shù)學(xué)概觀.科學(xué)出版社，2001.