一、問題的提出

本文試圖用運(yùn)籌學(xué)的層次分析法來建立一個(gè)評(píng)價(jià)高職學(xué)生綜合素質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，以全面反映學(xué)生的素質(zhì)水平和學(xué)校的教育質(zhì)量，為學(xué)校確立合理的教學(xué)目標(biāo)和人才培養(yǎng)模式提供借鑒。

二、問題的分析

1.評(píng)價(jià)體系的層次結(jié)構(gòu)

本文借用美國(guó)匹茲堡大學(xué)教授T.L.Saaty等人在20世紀(jì)70年代中期提出的層次分析法（nalytic Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱AHP），建立評(píng)價(jià)學(xué)生成績(jī)的層次結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

在第三層之下為第四層，它們表示具體的課程或科目，視不同的學(xué)校和專業(yè)各有差異。對(duì)第四層的每門課或科目都有一個(gè)百分制的成績(jī)?cè)u(píng)分，但考查方法因課程特點(diǎn)而不盡相同。不同的學(xué)校層次結(jié)構(gòu)的分支可適當(dāng)變通，應(yīng)召集專家、教師討論制定，使各層次的分支更為合理，便于操作。

2.確定權(quán)系數(shù)的方法

在層次分析法中，同一層中的各項(xiàng)成績(jī)對(duì)上一層的貢獻(xiàn)程度不是均等的，帶有不同的權(quán)重，總成績(jī)按加權(quán)平均計(jì)算。

設(shè)第k層某項(xiàng)的成績(jī)y由第k+1層的n項(xiàng)成績(jī)X1，X2…，Xn來確定，則有Y=W1X1+=W2X2+…+WnXn，其中Wi是第i項(xiàng)的權(quán)重，0＜Wi＜1，W1W2+…+Wn=1。為確定權(quán)系數(shù)Wi，本文采用了成對(duì)比較的方式。T.L.Saaty等人提出用1～9的尺度，如表1所示，解決了當(dāng)比較同一層次的兩個(gè)成績(jī)Xi與Xj對(duì)于上層y的貢獻(xiàn)程度時(shí)，采用何種相對(duì)尺度aij較好的問題。

表1 1～9尺度aij的含義

用此數(shù)據(jù)建立一個(gè)n階方陣，它的（i，j）元素與（j，i）元素互為倒數(shù)，故稱A為逆稱矩陣。若A是一致陣，那是最理想的；否則，應(yīng)使它的不一致盡量小。這樣可以請(qǐng)m位專家給成對(duì)比較矩陣賦值：k=1，2…，m。然后，計(jì)算出賦予這m個(gè)數(shù)幾何平均數(shù)，取逆稱矩陣A=[Cij]。

按下述方程構(gòu)造向量序列｛ek｝：

其中表示的n個(gè)分量之和。

用矩陣特征值理論可證明，迭代的n維向量序列收斂，記極限為e=(a1，a2，…，an)T。于是權(quán)系數(shù)可取作 Wi=ai，i=1，2，…，n)。這表明，成對(duì)比較的賦值蘊(yùn)涵了各項(xiàng)的貢獻(xiàn)程度。實(shí)際計(jì)算中，用有限次迭代，取e的近似即可。

三、模型的假設(shè)

該模型包括四個(gè)假設(shè)：一是智育、德育、體育和美育分別為評(píng)定學(xué)生是否優(yōu)秀的主要因素，二是各項(xiàng)因素在綜合素質(zhì)成績(jī)中的權(quán)重有可能因不同的學(xué)校和不同的專業(yè)而異，三是評(píng)定小組在評(píng)定同一學(xué)校同一專業(yè)的學(xué)生時(shí)各項(xiàng)因素的權(quán)重都是一樣的，四是評(píng)定優(yōu)秀學(xué)生時(shí)評(píng)定小組主要是參考有關(guān)專家給定各項(xiàng)因素的權(quán)重比例。

四、符號(hào)的約定

Z—最終目標(biāo)（該學(xué)生的最后評(píng)定的成績(jī)）；A—德育成績(jī)；B—智育成績(jī)；C—體育成績(jī)；D—美育成績(jī)；a—德育成績(jī)所占的權(quán)重；β—智育成績(jī)所占的權(quán)重；γ—體育成績(jī)所占的權(quán)重；δ—美育成績(jī)所占的權(quán)重。

ai—德育的第i門課程的成績(jī)（i=1，2，3，…）

bi—智育的第i門課程的成績(jī)（i=1，2，3，…）

ci—體育的第i門課程的成績(jī)（i=1，2，3，…）

di—美育的第i門課程的成績(jī)（i=1，2，3，…）

ai—德育的第i門課程的成績(jī)所占的權(quán)重（i=1，2，3，…）

βi—智育的第i門課程的成績(jī)所占的權(quán)重（i=1，2，3，…）

γi—體育的第i門課程的成績(jī)所占的權(quán)重（i=1，2，3，…）

δi—美育的第i門課程的成績(jī)所占的權(quán)重（i=1，2，3，…）

e0—原始向量序列；ei—第i個(gè)向量序列；（i=1，2，3，…）

—逆稱矩陣（E）與第i-1個(gè)向量序列的乘積（i=1，2，3，…）

—ei的n個(gè)分量之和；E—逆稱矩陣。

五、模型的建立及求解

1.名次的確定和分制

不考慮待評(píng)人員的意愿，按待評(píng)人員總成績(jī)?cè)u(píng)定其在班級(jí)的名次。各科或者各項(xiàng)目都是以百分制為標(biāo)準(zhǔn)。

2.建立各因素的數(shù)學(xué)計(jì)算模型

（1）計(jì)算德育的數(shù)學(xué)模型。以某學(xué)年度學(xué)生所學(xué)的政治理論、法律知識(shí)和思想道德為主要的研究參照對(duì)象，其中每門課程的成績(jī)以期末總評(píng)的成績(jī)（ai）為準(zhǔn)，德育的每門課程的成績(jī)所占的權(quán)重（ai）由學(xué)校里面比較有權(quán)威的教師或?qū)＜疑套h決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計(jì)算德育的數(shù)學(xué)模型：其中而ai為第n個(gè)向量序列en的第i個(gè)分量。

（2）計(jì)算智育的數(shù)學(xué)模型。以某學(xué)年度學(xué)生所學(xué)的基礎(chǔ)課、專業(yè)課和所做的實(shí)踐創(chuàng)新為主要的研究參照對(duì)象，基礎(chǔ)課、專業(yè)課和實(shí)踐創(chuàng)新以期末總評(píng)的成績(jī)（bi）為準(zhǔn)。智育的每門課程的成績(jī)所占的權(quán)重（βi）由學(xué)校里面比較有權(quán)威的教師或?qū)＜疑套h決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計(jì)算智育的數(shù)學(xué)模型：其中)而βi為第n個(gè)向量序列en的第i個(gè)分量。

（3）計(jì)算體育的數(shù)學(xué)模型。以某學(xué)年度學(xué)生所學(xué)的體育理論、體育達(dá)標(biāo)為主要的研究參照對(duì)象，其中每門課程的成績(jī)以期末總評(píng)的成績(jī)（ci）為準(zhǔn)，體育的每門課程的成績(jī)所占的權(quán)重(γi)由學(xué)校里面比較有權(quán)威的教師或?qū)＜疑套h決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計(jì)算體育的數(shù)學(xué)模型：其中，而Υi為第n個(gè)向量序列en的第i個(gè)分量。

（4）計(jì)算美育的數(shù)學(xué)模型。以某學(xué)年度學(xué)生所學(xué)的文明禮貌和修養(yǎng)主要的研究參照對(duì)象，其中文明禮貌和修養(yǎng)的成績(jī)（di）由教師或者班主任評(píng)定。美育每門課程成績(jī)所占的權(quán)重（δi）由學(xué)校里面比較有權(quán)威的教師或?qū)＜疑套h決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計(jì)算美育的數(shù)學(xué)模型：其中而δi為第n個(gè)向量序列en的第i個(gè)分量。

3.建立計(jì)算該學(xué)生總成績(jī)的數(shù)學(xué)模型

以上述所算得的智育、德育、體育和美育的成績(jī)?yōu)橹饕难芯繀⒄諏?duì)象，其中智育、德育、體育和美育的成績(jī)分別記為A、B、C和D，并且這四門課程的成績(jī)所占的權(quán)重分別記為a、β、y和δ，也是由學(xué)校里面比較有權(quán)威的教師或?qū)＜疑套h決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計(jì)算總成績(jī)的數(shù)學(xué)模型：Z=Aa+Bβ+Cy+Dδ，其中，，，而a、β、y、δ為第4個(gè)向量序列e4的4個(gè)分量。

六、模型的應(yīng)用

1.計(jì)算智育的成績(jī)

例1：設(shè)有一專家對(duì)智育的三個(gè)變量a1(基礎(chǔ)課）、a2 (專業(yè)課）、a3（實(shí)踐創(chuàng)新能力）作了成對(duì)比較，賦值為：。

于是得逆稱矩陣:

同理可得：

取e4的分量作權(quán)，得評(píng)價(jià)智育成績(jī)的公式：B=0.185b1 +0.659b2+0.156b3（其中b1、b2、b3分別為智育的基礎(chǔ)課、專業(yè)課、實(shí)踐創(chuàng)新的成績(jī)）。

若某學(xué)生的基礎(chǔ)課、專業(yè)課和實(shí)踐創(chuàng)新成績(jī)經(jīng)測(cè)試分別為80、85、90分，則他的智育成績(jī)?yōu)椋築=0.185×80+

0.659×85+0.156×90=84.855。

2.計(jì)算總成績(jī)

例2：某學(xué)校請(qǐng)兩位專家F和G對(duì)德、智、體、美四個(gè)變量A、B、C、D作了成對(duì)比較，其賦值見表2.。

由此可得兩個(gè)逆稱矩陣：

同理可得:易得es=e4，故停止迭代。

由此得全面評(píng)價(jià)學(xué)生成績(jī)的公式:Z=0.336A+0.475B +0.133C+0.056D 。

設(shè)有三名學(xué)生經(jīng)各種考查，其德、智、體、美的成績(jī)見表3。

可用前述的公式對(duì)三人作出綜合的評(píng)價(jià)：

Z1=0.336×90+0.475×80+0.133×75+0.056×90=83.26

Z2 =0.336×80+0.475×95+0.133×80+0.056×70=86.57

Z3=0.336×85+0.475×90+0.133×70+0.056×80=85.10

三人的綜合成績(jī)排名為：乙、丙、甲。若按總分排名，則甲第一、乙和丙并列第二。層次分析法的關(guān)鍵在于，層次結(jié)構(gòu)要合理，成對(duì)比較的逆稱陣要可信，這需要對(duì)具體問題進(jìn)行細(xì)心調(diào)查研究。要盡量使求權(quán)系數(shù)有較大的計(jì)算量，一旦求出來，便可在一定范圍內(nèi)普遍適用。

七、評(píng)價(jià)

為了檢驗(yàn)評(píng)價(jià)體系和數(shù)學(xué)模型，筆者以06機(jī)電高1班和06計(jì)美高1班作為對(duì)象，使用上述評(píng)價(jià)體系進(jìn)行測(cè)評(píng)。測(cè)評(píng)結(jié)果見表4。

表4 測(cè)評(píng)成績(jī)分布

測(cè)評(píng)顯示的結(jié)果與學(xué)生實(shí)際情況比較相符。從表4的測(cè)評(píng)結(jié)果得出：此評(píng)價(jià)體系從各個(gè)層面反映了學(xué)生的素質(zhì)狀況，反映出不同學(xué)生在德育、智育、體育和美育等方面的差異性，比較全面地體現(xiàn)了素質(zhì)教育的綜合性。該學(xué)生評(píng)價(jià)體系具有三個(gè)特點(diǎn)：一是具有一定的科學(xué)性，二是具有較好的可操作性，三是具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

本文評(píng)價(jià)方法中的德育、智育、體育和美育所占的權(quán)重卻是經(jīng)過工作者利用層次分析法計(jì)算而得到的，這樣就使我們可以根據(jù)不同的學(xué)校、不同的專業(yè)確定不同的德育、智育、體育和美育的權(quán)重，總成績(jī)按加權(quán)平均計(jì)算。

（作者單位：廣州市輕工技師學(xué)院）