殷光偉 高麗峰 付岱山 萬志華

[摘 要]基于小波包變換和混沌理論提出了一種人民幣匯率建模及其預測的方法。首先，應用小波包變換對人民幣兌美元日匯率收益序列進行三層分解，得到從低頻到高頻八個頻率成分的時序，并在此基礎上作進一步分析，以確認它們都存在混沌特性；然后，應用混沌理論分別建立從低頻到高頻八個時序的預測模型，進行預測；最后，基于小波包理論對混沌模型預測的結(jié)果予以重構(gòu)，實現(xiàn)對人民幣兌美元日匯率收益序列的預測。與現(xiàn)有方法比較，結(jié)果表明該方法具有較高的精度, 有極大的應用范圍。

[關鍵詞]小波包變換 匯率 混沌 預測

2005年7月21日,中國人民銀行宣布了改變?nèi)嗣駧艆R率形成機制的公告，我國開始實行以市場供求為基礎、參考一籃子貨幣進行調(diào)節(jié)、有管理的浮動匯率制度。由于人民幣匯率不再盯住單一美元，因此，人民幣匯率的變動趨勢更加復雜化，匯率波動帶來的風險也大大超過以往，而匯率的頻繁波動及由此帶來的外匯風險對于國際金融、貿(mào)易和投資都具有關鍵性的影響作用，因此，正確預測人民幣匯率的變化也變得越來越重要。

人民幣匯率預測問題屬于時間序列預測范疇, 傳統(tǒng)的時間序列分析模型主要是基于線性自回歸(Auto Regression, AR)模型和線性自回歸滑動平均(Auto Regression Moving Average, ARMA)模型，如矢量自回歸模型、雙線性模型以及門限自回歸模型等。這些模型對線性系統(tǒng)具有較好的預測效果，但用于預測人民幣匯率這樣的非線性系統(tǒng)時，準確性較差。神經(jīng)網(wǎng)絡預測方法雖然具有逼近非線性的能力，然而，當用它來預測人民幣匯率系統(tǒng)時，其結(jié)果并不理想，而且還存在著算法收斂速度、網(wǎng)絡推廣能力等目前難以突破的障礙和困難。匯率系統(tǒng)是混沌的，由于混沌的一定的確定性，使得它具有有限的預測能力，因此，匯率系統(tǒng)的長期演化行為是不可預測的，而短期預測是可行的。然而用混沌模型對匯率系統(tǒng)進行短期預測時，效果也不盡如人意。究其原因在于匯率系統(tǒng)是一個復雜系統(tǒng)，由于各種因素交織在一起，使得匯率時序變得復雜，因此難以預測。

預測這樣復雜的匯率市場要有特殊的方法。匯率市場是受多種因素相互作用影響的，而影響匯率市場的不同因素又是在不同的時間尺度上發(fā)揮作用的，因而這些不同因素所引起的匯率價格波動特征也是不同的，分散反映在相應的不同時間尺度上。這也是造成匯率市場是混沌的原因。小波變換由于其獨特的多尺度分析能力而成為提取這類序列變化特征的有力工具。它的最大的優(yōu)點是能將時間序列按不同尺度分解成不同的層次，這就使問題變得簡單，便于分析和預測。然而，缺憾的是，小波變換只能在固定的頻率空間上分解，缺乏靈活性，存在著在時間分辨率高時頻率分辨率低的缺陷，這就可能丟失某些頻率空間中的重要價格波動特征的信息；而小波包能夠克服上述缺陷。據(jù)此，本文應用小波包變換對人民幣匯率預測進行研究，以期提高人民幣匯率預報的精度。

一、小波包簡介

設{Vj；jZ}（Z是整數(shù)集）構(gòu)成L2（R）（R是實數(shù)）上的正交多分辨分析，其尺度函數(shù)、母波函數(shù)分別為（t）和 （t），它們滿足下述二尺度方程

(1)

其中，系數(shù)滿足下面條件

(2)

雙尺度方程式表明：小波基（t）可以由尺度函數(shù) （t）的平移和伸縮的線性組合獲得，其構(gòu)造歸結(jié)為濾波器（hk的頻域表示）和 （ 的頻域表示）的設計。

對于固定尺度情況，定義一列遞歸函數(shù)如下

(3)

則稱由(3)式所確定的函數(shù)序列 （n =0,1,2,…, N）為由 =

確定的小波包。

小波包概念是在小波變換的基礎上發(fā)展而來的。因此，有必要回顧一下小波變換。

圖1為小波變換示意圖。圖1中，L表示經(jīng)分解得到的低頻部分，H表示經(jīng)分解得到的高頻頻部分。下標表示分解的層數(shù)。

由圖1可知，小波變換就是只對每一次分解得到的低頻部分作進一步分解，而高頻部分保留不變，其過程是 ，

，… 。分解的最終結(jié)果是 ，即將原始序列 分解為一系列反映細節(jié)的高頻部分 和一個反映概貌的低頻部分 。由于其分解尺度是按照二進制方式變化，所以這種分解在高頻段的頻率分辨率較差，而在低頻段的時間分辨率較差。它實質(zhì)上是對信號頻帶進行指數(shù)等間隔劃分；而小波包變換，如圖2所示，不但對每一次分解得到的低頻部分作進一步分解，而且對高頻部分也作同樣的進一步分解。這就有效地彌補了小波變換的不足。

圖2 小波包變換示意圖

圖2中L表示低頻，H表示高頻，下標表示小波包分解的層數(shù)。則分解具有如下關系：

小波包變換的最大特點是：能將信號頻帶進行多層次劃分，對信號提供一種更加精細的分析方法，對小波變換中沒有細分的高頻部分進一步分解，同時能根據(jù)被分析信號的特征，自適應地選擇相應頻帶，使之與信號譜相匹配。

從圖1和圖2比較可以看出，小波變換其實只是小波包變換的一個特例，小波包變換比小波變換能更加精細地刻劃時序的局部特征。因此，應用小波包對人民幣匯率進行預測，能得到更好的預測效果。

二、人民幣匯率預測研究

本文以人民幣兌美元日匯率的收益序列為樣本，進行建模和預測研究。實證分析的數(shù)據(jù)選取2005-07-21-2010-12-30的人民幣兌美元日匯率數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于http://fx. Sauder. Ubc. ca/data.html。

人民幣兌美元日匯率的收益序列需經(jīng)如下處理得到，即

對價格序列 取對數(shù)，然后再進行一階差分，可得：

通過上述處理，將價格序列 轉(zhuǎn)換成對數(shù)收益序列 。 序列即為人民幣兌美元日匯率的收益序列。

1.小波包分解及特征分析

應用小波包變換對人民幣兌美元日匯率收益序列建模和預測，首先要對其進行三層小波包分解（分解示意圖如圖2所示），這樣就將原始時間序列分解成從低頻到高頻八個頻率成分的時序，分解層數(shù)的選擇是根據(jù)預測誤差最小而定。分解后得到的各頻率部分的波形圖如圖3所示。

若用表示原始時間序列，用 （ ）分別表示應用小波包分解后得到的從低頻到高頻八個頻率成分的時序，則有如下關系

(4)

人民幣兌美元匯率系統(tǒng)是一個具有混沌特性的系統(tǒng)，因此，人民幣兌美元日匯率的收益序列經(jīng)小波包分解后的各頻率部分很可能仍然具有混沌特征，需要進行判斷。判斷一個序列是否具有混沌特征，要看這個序列的最大Lyapunov 指數(shù)是否為正。如果為正，則此序列是混沌的。本文采用小數(shù)據(jù)量方法來求取各頻率部分的最大Lyapunov指數(shù)，其結(jié)果都為正，因此，可以判斷各頻率部分都具有混沌特性，可通過建立各自的混沌模型進行預測。

2.混沌建模

2005-07-21-2010-12-30人民幣兌美元日匯率的收益序列，其樣本數(shù)量1371個，將其進行三層小波包分解后，得到八個頻率成分的時序。由于分解后的時間序列都具有混沌特性，因此，對它們應分別建立混沌模型，再進行預測。混沌時間序列預測的基礎是相空間的重構(gòu)理論，首先要通過重構(gòu)相空間矢量來重構(gòu)相空間。

小波包分解得到的各混沌時間序列可表示為， ，則重構(gòu)的相空間矢量為

(5)

式中為時滯時間； 為嵌入維數(shù)，可由零階近似法確定；

，且 ， 為樣本值個數(shù)。由嵌入理論可知，存在一映射：使得

(6)

當時間序列的觀察函數(shù)是光滑的且嵌入維數(shù)足夠大時，式（6）的動力學行為與重構(gòu)前原系統(tǒng)的動力學行為是拓撲等價的。在實際應用中，使用一標量方程來代替式（6）的矢量方程，即

(7)

式（7）就是對分解后的時間序列建立的混沌模型，根據(jù)此模型就可由 預測出 。

3.預測研究

2005-07-21-2010-12-30人民幣兌美元日匯率的收益序列，其樣本數(shù)量1371個，將其進行三層小波包分解后，得到八個頻率成分的時序，每個頻率成分的時序均有1371個數(shù)據(jù)。對各時序分別建立形如式（7）的混沌模型后，即可用于預測。具體的做法是，每個時序的前1350個數(shù)據(jù)用于確定預測模型和優(yōu)化模型參數(shù)，后面21個數(shù)據(jù)用于實際預測。對各時序分別建立混沌模型，并進行預測，即可得到各時間序列的混沌預測結(jié)果。

各時間序列的混沌預測結(jié)果得到之后，再采用小波包重構(gòu)方法將它們進行合成即可得到最終的預測結(jié)果，即人民幣兌美元日匯率收益序列的預測結(jié)果，其預測結(jié)果如圖4所示。圖中實線為實際值，虛線為預測值。預測均方根誤差為1.6320e-004，方向精度為1。

本文也采用式（7）所示的混沌模型以及小波變換的方法對人民幣兌美元日匯率收益序列進行了預測，預測結(jié)果如下：（1）混沌模型的預測均方根誤差為0.0014，方向精度為0.6；（2）小波變換的預測均方根誤差為3.9197e-004，方向精度為1。

由預測指標分析可知，應用小波包變換的預測和應用小波變換的預測明顯優(yōu)于直接采用混沌模型預測，這表明了多尺度分解的有效性；而小波包變換，由于克服了小波變換在時間分辨率高時頻率分辨率低的缺陷，使預測精度比混沌模型的預測和小波變換的預測都有了很大的提高，表明小波包變換能比小波變換更好地提取了匯率價格分散在不同尺度上的特征。

三、結(jié)論

本文應用小波包變換和混沌理論提出了一種人民幣匯率建模及其預測的小波包與混沌理論相結(jié)合的方法。同單獨采用混沌預測方法或小波預測方法相比，它既能更好地刻劃時間序列的規(guī)律，克服小波固定分解方式提取多尺度特征的缺陷，更好把握匯率價格變化的所有特征，又能更好捕捉混沌狀態(tài)的特征。通過把它用于人民幣兌美元日匯率收益序列的實證預測表明，對于匯率這一類復雜的時間序列的預測問題，本文所提的方法能夠達到預測均方根誤差為1.6320e-004的高精度，優(yōu)于目前已有的其他多數(shù)預測方法。因此，可以說，本文所提的方法具有極廣的應用領域。

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