王曉春

曲線運(yùn)動(dòng)在高中物理中既是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，又是學(xué)習(xí)的難點(diǎn). 因?yàn)榍€運(yùn)動(dòng)比直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程復(fù)雜，對(duì)空間感的要求高；而且在以后學(xué)習(xí)萬(wàn)有引力、機(jī)械能、電場(chǎng)、磁場(chǎng)時(shí)都有涉及，所以，每年高考題中曲線運(yùn)動(dòng)的內(nèi)容也比較多. 下面就近年出現(xiàn)在高考題中的曲線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和大家一起來(lái)賞析.

■ 一、 運(yùn)動(dòng)的合成

運(yùn)動(dòng)的合成和分解，是處理曲線運(yùn)動(dòng)的基本方法，遵循平行四邊形定則. 合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，而分運(yùn)動(dòng)之間又是相互獨(dú)立的，其運(yùn)動(dòng)的規(guī)律由該分運(yùn)動(dòng)方向上的受力情況決定.

■ 例1（2009廣東）船在靜水中的航速為v1，水流的速度為v2. 為使船行駛到河正對(duì)岸的碼頭，則v1相對(duì)v2的方向應(yīng)為（）

ABC D

■ 解析根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解的知識(shí)，可知要使船垂直達(dá)到對(duì)岸即要船的合速度指向?qū)Π? 根據(jù)平行四邊行定則，C正確.

■ 點(diǎn)評(píng)這條高考題說(shuō)明高考并非條條都是難題，要增強(qiáng)自信心.

■ 例2（2009江蘇）在無(wú)風(fēng)的情況下，跳傘運(yùn)動(dòng)員從水平飛行的飛機(jī)上跳傘，下落過(guò)程中受到空氣阻力，下列描繪下落速度的水平分量大小vx、豎直分量大小vy與時(shí)間t的圖象，可能正確的是（）

A BC D

■ 解析因?yàn)橛锌諝庾枇?，所以該運(yùn)動(dòng)員所做的不是平拋運(yùn)動(dòng)，其水平方向和豎直方向的運(yùn)動(dòng)由各個(gè)方向的受力情況決定. 水平方向只受空氣阻力，所以做減速運(yùn)動(dòng)，由于空氣阻力的大小隨速度的減小而減小，所以其加速度應(yīng)該減小，vx-t圖象正確的是B. 豎直方向所受重力大于空氣阻力，做加速運(yùn)動(dòng)，但空氣阻力的大小隨速度的增大而增大，其加速度減小，所以vy-t圖象上各點(diǎn)切線的斜率應(yīng)該隨時(shí)間減小，C、D兩選項(xiàng)都不對(duì). 本題正確的是B.

■ 點(diǎn)評(píng)這是條中等難度的高考題. 它要求考生理解分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，運(yùn)動(dòng)規(guī)律由該分運(yùn)動(dòng)方向的受力情況決定，并能用v-t圖象表示非勻變速運(yùn)動(dòng).

■ 例3（2011上海）如圖1，人沿平直的河岸以速度v行走，且通過(guò)不可伸長(zhǎng)的繩拖船，船沿繩的方向行進(jìn)，此過(guò)程中繩始終與水面平行. 當(dāng)繩與河岸的夾角為α，船的速率為（）

A. vsinα B. ■

C. vcosα D. ■

■ 解析以繩牽連的兩物體，其速度沿繩方向的分速度應(yīng)該相等. 因?yàn)榇乩K的方向行進(jìn)，其速率應(yīng)該等于人的速度沿繩方向的分量，所以v船=vcosα，故選C.

■ 點(diǎn)評(píng)這是一條易錯(cuò)題，要求考生真正理解以繩牽連的兩物體的速度關(guān)系.

■ 二、 平拋運(yùn)動(dòng)

平拋運(yùn)動(dòng)是曲線運(yùn)動(dòng)的主要實(shí)例，平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法就是運(yùn)動(dòng)的分解和合成.

■ 例4（2011海南）如圖2，水平地面上有一個(gè)坑，其豎直截面為半圓. ab為沿水平方向的直徑. 若在a點(diǎn)以初速度v0沿ab方向拋出一小球，小球會(huì)擊中坑壁上的c點(diǎn). 已知c點(diǎn)與水平地面的距離為圓半徑的一半，求圓的半徑.

■ 解析設(shè)圓半徑為r，質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，則：

x=v0t①

y=0.5r=■gt2②

過(guò)c點(diǎn)做cd⊥ab于d點(diǎn)，Rt△acd∽R(shí)t△cbd可得：

cd2=ad·db即為：■2=x（2r-x）③

由①②③得：r=■v20.

■ 點(diǎn)評(píng)本題出現(xiàn)兩解的原因是小球的落點(diǎn)c可能有落在圓心的左側(cè)或右側(cè)兩種情況. 在曲線運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)用幾何知識(shí)來(lái)解題是常見(jiàn)情況，所以平時(shí)學(xué)習(xí)要注重這方面的訓(xùn)練.

■ 例5（2010天津）如圖3所示，在高為h的平臺(tái)邊緣水平拋出小球A，同時(shí)在水平地面上距臺(tái)面邊緣水平距離為s處豎直上拋小球B，兩球運(yùn)動(dòng)軌跡在同一豎直平面內(nèi)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g. 若兩球能在空中相遇，則小球A的初速度vA應(yīng)大于_______，A、B兩球初速度之比vA ∶ vB為_(kāi)______.

■ 解析對(duì)A球，落地時(shí)間t落=■.

若兩球能在空中相遇，則：

A球射程xA=vAt落＞s，∴ vA>s■.

設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t后相遇，則：s=vAt.

yA+yB=h，即■gt2+vBt-■gt2=h，

得：t=■，

s=vA■，

所以■=■.

■ 點(diǎn)評(píng)兩個(gè)物體相遇問(wèn)題，對(duì)空間位置關(guān)系的分析是至關(guān)重要的. 而本題還由于地面位置的限制，要分析能否相遇的條件，所以有一定難度.

■ 例6（2010北京）如圖4，跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過(guò)一段加速滑行后從Ｏ點(diǎn)水平飛出，經(jīng)過(guò)3.0 ｓ落到斜坡上的Ａ點(diǎn). 已知Ｏ點(diǎn)是斜坡的起點(diǎn)，斜坡與水平面的夾角θ=37°，運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量m=50 kg. 不計(jì)空氣阻力. （取sin37°=0.60，cos37°=0.80；g取10 m/s2），求:

（1） A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離大??；

（2） 運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)O點(diǎn)時(shí)的速度大小.

■ 解析（1） 運(yùn)動(dòng)員在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，有A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離

Lsin37°=■gt2得tL=75 m.

（2） 設(shè)運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)O點(diǎn)的速度為v0，運(yùn)動(dòng)員在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即

Lcos37°=v0t

得v0=20 m/s.

■ 點(diǎn)評(píng)由于運(yùn)動(dòng)員的起落點(diǎn)都在斜面上，所以運(yùn)動(dòng)員的水平位移與總位移的夾角等于斜面的傾角.

■ 三、 圓周運(yùn)動(dòng)

運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律處理圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是高中物理的難點(diǎn).

■ 例7（2011安徽）一般的曲線運(yùn)動(dòng)可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來(lái)代替. 如圖5（a）所示，曲線上A點(diǎn)的曲率圓定義為：通過(guò)A點(diǎn)和曲線上緊鄰A點(diǎn)兩側(cè)的兩點(diǎn)作一圓，在極限情況下，這個(gè)圓就叫做A點(diǎn)的曲率圓，其半徑ρ叫做A點(diǎn)的曲率半徑. 現(xiàn)將一物體沿與水平面成α角的方向以速度v0拋出，如圖5（b）所示. 則在其軌跡最高點(diǎn)P處的曲率半徑是（）

（A） ■ （B） ■

（C） ■ （D） ■

■ 解析斜拋物體的運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)有

水平方向vx=v0cosα；豎直方向速度為零.

根據(jù)牛頓第二定律，mg=m■得：ρ=■，故選C.

■ 點(diǎn)評(píng)該題給出了一個(gè)沒(méi)有學(xué)過(guò)的物理模型，需要考生進(jìn)行知識(shí)的遷移，運(yùn)用學(xué)過(guò)的模型解決問(wèn)題，具有一定的難度.

■ 例8（2010南通模擬卷）豎直平面內(nèi)光滑圓軌道外側(cè)，一小球以某一水平速度v0從A點(diǎn)出發(fā)沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，至B點(diǎn)時(shí)脫離軌道，最終落在水平面上的C點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力. 下列說(shuō)法中不正確的是（）

A. 在B點(diǎn)時(shí)，小球?qū)A軌道的壓力為零

B. B到C過(guò)程，小球做勻變速運(yùn)動(dòng)

C. 在A點(diǎn)時(shí)，小球?qū)A軌道壓力大于其重力

D. A到B過(guò)程，小球水平方向的加速度先增加后減小

■ 解析在A點(diǎn)，mg-N=m■可知N

在B點(diǎn)，小球離開(kāi)球面，N=0，A正確；

在A、B兩點(diǎn)，水平方向不受力，水平方向加速度為零. 而從A到B的過(guò)程中，水平方向有力的作用，水平方向加速度不為零，所以D正確；

從B到C，小球只受重力，做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，B正確.

所以，該題選不正確的是C.

■ 點(diǎn)評(píng)物體的受力情況決定了運(yùn)動(dòng)的性質(zhì). 該題中由于物體在不同位置和不同過(guò)程中受力情況的不同，對(duì)考生的的能力有較高的要求. 另外，本題要求選不正確的選項(xiàng)，也是考生容易犯錯(cuò)的地方.

■ 例9（2010蘇南四市調(diào)查卷）如圖7所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)高1.25 m，半徑0.2 m，可繞通過(guò)圓心處的豎直轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng). 轉(zhuǎn)臺(tái)的同一半徑上放有質(zhì)量均為0.4 kg的小物塊A、B（可看成質(zhì)點(diǎn)），A與轉(zhuǎn)軸間的距離為0.1 m，B位于轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣處，A、B間用長(zhǎng)0.1 m的細(xì)線相連，A、B與水平轉(zhuǎn)臺(tái)間最大靜摩擦力均為0.54 N，取g=10 m/s2.

（1） 當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度達(dá)到多大時(shí)細(xì)線上出現(xiàn)張力？

（2） 當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度達(dá)到多大時(shí)A物塊開(kāi)始滑動(dòng)？

（3） 若A物塊恰好將要滑動(dòng)時(shí)細(xì)線斷開(kāi)，此后轉(zhuǎn)臺(tái)保持勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求B物塊落地瞬間A、B兩物塊間的水平距離. 不計(jì)空氣阻力，計(jì)算時(shí)取π=3.

■ 解析（1） 由 f =mω2r可知，B先達(dá)到臨界狀態(tài)，當(dāng)滿足 f m=mω21r時(shí)線上出現(xiàn)張力，

解得ω1=■=■■ rad/s.

（2） 當(dāng)角速度繼續(xù)增大，A受力也達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，A開(kāi)始滑動(dòng)，

此時(shí) f m-T=mω′2■ f m+T=mω′2r

解得ω′=■=3 rad/s.

（3） 細(xì)線斷開(kāi)后，B沿水平切線方向飛出做平拋運(yùn)動(dòng).

由h=■gt2得t=0.5s，且vB=ω′r=0.6 m/s.

所以B的水平射程xB=vBt=0.3 m.

細(xì)線斷開(kāi)后，A相對(duì)靜止在轉(zhuǎn)臺(tái)上，t時(shí)間轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ=ω′t=1.5 rad，即■.

故AB間水平距離l=■=0.28 m.

■ 點(diǎn)評(píng)臨界狀態(tài)的確定，要求對(duì)物體受力情況的變化進(jìn)行仔細(xì)的分析. 該題出現(xiàn)了兩處臨界狀態(tài)的分析，在第三問(wèn)還要求建立三維的空間關(guān)系，所以難度較大.

平拋運(yùn)動(dòng)自測(cè)題參考答案

1. A2. C3. C4. B5. C6. C7. D

8. 豎直，自由落體

9. （1） 10（2） 1.5（3） 2.5

10. 37.5 m/s，3.2 m

11. （1） 2000 m（2） 224 m/s，與水平方向的夾角為arctan 2

12. 1 m/s≤v≤1.4 m/s

13. 17.3 m/s，2 s

圓周運(yùn)動(dòng)自測(cè)題參考答案

1. B2. D3. C4. C5. C6. AC7. AC8. ABC9. C

10. 2 ∶ 2 ∶ 1；2 ∶ 1 ∶ 1；4 ∶ 2 ∶ 1

11. 100，200

12. （1） 0.16 N（2） 略

13. 5×103 N、4×103 N、10■ m/s

14. 2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s；0.27 N、1.09 N

曲線運(yùn)動(dòng)自測(cè)題參考答案

1. C 2. D 3. D 4. C 5. B6. B 7. D 8. C 9. A 10. B

11. 解析：對(duì)上方小球，有mg-N1＝mlω2/2，對(duì)下方小球，又有N2-mg＝mlω2/2. 將ω=■代入，解得N1＝mg/2，N2＝3mg/2. N1是壓力，N2是拉力.

12. 解析：（1） 由mgl＝■mv20，T1-mg＝mv20/l，N-Mg-T1＝0，解得N＝Mg+3mg.

（2） 由T2+mg＝mv2/l，T2-Mg＝0，解得v=■.

13. B14. ABC 15. BC 16. C17. BD18. AD19. A 20. AC

21. 解析：（1） 由tan45°＝gt/v0＝20/v0，得v0＝20 m/s.

（2） 由cos60°＝■，得v＝40 m/s.

（3） 由■=gt′，h=■gt2，得h＝60 m.

（4） 由x＝v0 t′，得x＝40■ m.

22. 解析：（1） 對(duì)A、B兩物塊，分別有：

0.4m1g-T＝m1rω2；0.4m2g+T＝m2（r+l）ω2.

可得ω=■≈4.08 rad/s.

（2） A、B均相對(duì)于圓盤(pán)滑動(dòng)時(shí)，對(duì)A來(lái)說(shuō)是最大靜摩擦力與拉力的差值等于所需向心力，對(duì)B來(lái)說(shuō)是最大靜摩擦力與拉力的和等于所需向心力.燒斷A、B間的線，A、B受的拉力立即減為零，這樣最大靜摩擦力充當(dāng)A的向心力將偏大而立即變?yōu)閿?shù)值較小的靜摩擦力，使A仍相對(duì)靜止；而最大靜摩擦力充當(dāng)B的向心力將不足而使B相對(duì)于圓盤(pán)做離心運(yùn)動(dòng).