王高

處理曲線運動問題的基本方法是運動的合成與分解，而運動的合成與分解是在遵從等效性原則的前提下進行的，可見，等效是處理曲線運動的核心思想.

等效思想是在保證某一方面效果相同的前提下，用理想的、熟悉的、簡單的物理對象、物理過程、物理現(xiàn)象替代實際的、陌生的、復(fù)雜的物理對象、物理過程、物理現(xiàn)象，從而化繁為簡，化難為易，以實現(xiàn)問題的順利解決.

在運動學(xué)中，我們用一種（或兩種）運動代替另一種運動保持效果不變，就是等效思想的具體體現(xiàn). 例如，研究一個做變速直線運動的物體在某段時間內(nèi)的位移. 可以把它等效成一個勻速直線運動，這個勻速直線運動的速度就等于原來變速直線運動的平均速度，這兩個運動在同一時間內(nèi)的位移相同. 在v－t圖上，相當于一個矩形面積代替原來曲邊四邊形的面積，如圖1所示.

通常所說的運動的合成與分解，就是一種運動等效變換. 利用運動的合成與分解研究曲線運動的思維流程是：

曲線運動■兩個直線運動■曲線運動

對于平拋物體的運動，物體在水平方向不受外力，豎直方向僅受重力作用. 因此可以把平拋物體沿拋物線的運動等效成沿水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動.

斜拋物體的運動，同樣可以把它等效成兩個較簡單的運動，并且根據(jù)需要可以有不同的等效方法. 當物體在平面上斜拋時，常見的有兩種方法：① 把斜拋運動等效成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的上拋運動；② 把斜拋運動等效成沿拋射方向的勻速直線運動和豎直向下的自由落體運動. 當物體在斜面上斜拋時，也可等效成兩個勻變速直線運動.

這就告訴我們在研究復(fù)雜的曲線運動時，應(yīng)依實際情況先把它分解成為等效的兩個簡單的直線運動，應(yīng)用簡單的直線運動的規(guī)律來逐個研究，然后再把這些簡單的直線運動綜合為比較復(fù)雜的曲線運動.

等效思想在實際應(yīng)用中具體體現(xiàn)為等效法. 運用等效法處理問題的一般步驟可概括為：

（1） 分析研究對象的本質(zhì)特性；

（2） 尋找適當?shù)奶娲鷮ο?，以保留研究對象的本質(zhì)特性，摒棄非本質(zhì)特性；

（3） 研究替代對象的特性及規(guī)律；

（4） 將替代對象的規(guī)律遷移到研究對象上來；

（5） 利用替代對象遵循的規(guī)律、方法求解，得出結(jié)論.

等效法在物理解題中有著廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)結(jié)合《曲線運動》內(nèi)容介紹幾種具體的使用方法.

■ 1. 化曲為直

■ 例1如圖2所示，一輛小車質(zhì)量為m，在豎直圓筒內(nèi)沿螺旋線軌道上升，且每運動一周上升的高度為h. 已知運動速率為v，筒半徑為R. 試證明小車受到的向心力為Fn=mv2·■.

證明將螺旋面展開，螺旋線軌道等效為一傾斜軌道，見圖3. 可以看出：速度v的水平分量vx=vcos α為小車做勻速圓周運動的速率；豎直分量vy=vsin α為小車勻速上升的速率.

根據(jù)牛頓第二定律，向心力可以表示為

Fn=m■=m■.

根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系

cos α=■.

所以，向心力為

Fn=mv2·■.

■ 例2風(fēng)洞實驗室可產(chǎn)生水平方向的、大小可調(diào)節(jié)的風(fēng)力. 在風(fēng)洞中有一固定的支撐架BOC，該支撐架的上表面光滑，是一半徑為R的■圓弧面，如圖4所示，圓弧面的圓心在O點，O離地面高為2R，地面上的D處有一豎直的小洞，離O點的水平距離為R. 現(xiàn)設(shè)法將質(zhì)量為m的小球沿圓弧面從A點向上滑行，在無風(fēng)情況下，小球恰好能到最高點C時與圓弧面脫離，則

（1） 小球到最高點C的速度大小是多少？

（2） 當小球滑至圓弧面的最高點C時，讓風(fēng)洞實驗室內(nèi)產(chǎn)生的風(fēng)迎面吹來，通過調(diào)節(jié)水平風(fēng)力F的大小，使小球恰能與洞壁無接觸地落入小洞D的底部，此時小球經(jīng)過D點時的速度是多少？水平風(fēng)力F的大小是多少？

■ 解析小球離開圓弧面后，既要受水平方向風(fēng)力作用又要受豎直方向重力作用，所以做一般的曲線運動，運動軌跡難以確定. 但我們?nèi)绻捎没鸀橹钡乃枷雭硖幚?，問題就簡單了.

（1） 根據(jù)題意，小球恰好到最高點C與圓弧面脫離，則有mg=m■.

所以有v0=■.

（2） 根據(jù)小球的受力情況和初速度特點，可以把小球的曲線運動等效轉(zhuǎn)化為水平方向的勻減速運動和豎直方向的自由落體運動，由于小球恰能與洞壁無接觸地落入小洞D的底部，可知在水平方向運動到D點時速度減為0，水平方向的加速度大小為a=■.

水平方向v20=2aR，解得F=■mg.

豎直方向v′2=2g×3R解得v′=■.

■ 2. 等效代換

■ 例3如圖5所示，一個人站在地面上，用槍瞄準樹上的猴子，當子彈從槍口射出時，猴子聞聲立即從樹上做自由落體運動，討論一下猴子能否避開子彈的射擊？

■ 解析將子彈的運動分解，即用沿v0方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動來等效代換子彈的實際運動，猴子同時做自由落體運動，則在豎直方向上子彈與猴子保持相對靜止；在瞄準方向上，子彈相對猴子以v0做勻速運動，所以只要子彈瞄準猴子則相對運動不受地面限制，在不計聲音傳播時間和空氣阻力條件下，用大于某一值的速度（保證在猴子落地前）一定會擊中猴子.

■ 例4如圖6所示，在光滑水平桌面ABCD中央固定有一邊長為0.4 m的光滑小方柱abcd. 長為L=1 m的細線，一端拴在a上，另一端拴住一個質(zhì)量為m=0.5 kg的小球. 小球的初始位置在ad連線上a的一側(cè)，把細線拉直，并給小球以v0=2 m/s的垂直于細線方向的水平速度使它做圓周運動. 由于光滑小方柱abcd的存在，使線逐步纏在abcd上. 若細線能承受的最大張力為7N，那么從開始運動到細線斷裂應(yīng)經(jīng)過多長時間？小球從桌面的哪一邊飛離桌面？

■ 解析小球做的是一種半徑在不斷變小的曲線運動. 不是我們熟悉的圓周運動模型，但我們可以用等效圓來處理，即用等效圓來代換曲線運動，在運動過程中，小球速度的大小是不變的.

設(shè)當細線纏繞到長為L0時，線將斷裂. 據(jù)向心力公式得：T0=m■.

解得L0=0.29 m.

繞a點轉(zhuǎn)動是做半徑為R1=1 m的圓周運動■周直至b點的時間t1=■T1=■×■=0.785 s；

繞b點轉(zhuǎn)動是做半徑為R2=0.6 m的圓周運動■周直至c點的時間t2=■T2=■×■=0.471 s；

繩接觸c點后，小球應(yīng)做圓周運動的半徑為r=0.2 m，小于L0=0.29 m，所以繩立即斷裂.

所以從開始運動到繩斷裂經(jīng)過t=t1+t2=1.256 s，小球從桌面的AD邊飛離桌面.

■ 3. 變動為靜

升降機中用一輕彈簧豎直懸掛一個質(zhì)量為m的物體，升降機以加速度a做向上的勻加速運動，地面上的人看到彈簧的彈力T=mg+ma，這是大家熟悉的超重現(xiàn)象. 但站在升降機里的人看到物體是靜止的，即處于平衡狀態(tài). 彈簧長度的變化又是客觀存在的，這時，我們可以視為是地球的重力場突然間發(fā)生了變化，即T=mg′=mg+ma，這里的g′=g+a稱為等效重力加速度. 于是，一個等效關(guān)系自然地建立起來了：

從而實現(xiàn)了“變動為靜”的等效變換.

■ 例5一長為L的細線的一端固定于升降機中的O點，另一端拴住質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)設(shè)法讓小球在豎直平面內(nèi)繞O點做圓周運動，在最高點的速度是v0. 在下列幾種情況下分別求出小球運動到最高點時繩對小球的拉力大小.

（1） 升降機以a=g的加速度勻加速向下運動；

（2） 升降機以a=2g的加速度勻加速向下運動；

（3） 升降機以a=g的加速度勻加速向上運動.

■ 解析升降機在運動，小球又相對于升降機在做圓周運動，這時以地面為參考系來研究就比較困難了，我們不妨以升降機為參考系，即等效變換到變化的重力場g′中來研究.

（1） 升降機以a=g的加速度勻加速向下運動（完全失重），等效重力加速度g′1=0，小球做的是勻速圓周運動，所以最高點時繩對小球的拉力大小為T1=m■.

（2） 升降機以a=2g的加速度勻加速向下運動，等效重力加速度g′2=－g，這就意味著等效重力大小為mg ，方向豎直向上，這時的最高點相當于地面上做圓周運動的最低點——我們稱之為物理最低點. 所以在最高點（物理最低點）時T2+mg′2=m■繩對小球的拉力大小為T2=mg+m■.

（3） 升降機以a=g的加速度勻加速向上運動時，等效重力加速度g′3=2g，方向向下. 小球到最高點時，T3+mg′3=m■繩對小球的拉力大小為T3=m■－2mg.