張齊華老師在不同的時(shí)間、不同的場(chǎng)合，分別執(zhí)教了蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊(cè)《用數(shù)對(duì)確定位置》，他兩種不同的教學(xué)取向，決定了迥然不同的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定、截然不同的教學(xué)過(guò)程與方法，最終學(xué)生的所得所獲也不盡相同，但都取得了很好的教學(xué)效果，正所謂“欲把西湖比西子，淡妝濃抹總相宜”。這里，我要評(píng)述的不在于探討張老師教學(xué)主張的轉(zhuǎn)變，而是試圖通過(guò)對(duì)張老師這兩次不同的教學(xué)處理的分析，尋找出對(duì)我們當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革，以及我們一線教師專業(yè)發(fā)展的一些有益啟示。下面，就與大家一起來(lái)分享我對(duì)張老師這兩次執(zhí)教的碎思斷想。

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，把數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師只有充分把握數(shù)學(xué)知識(shí)自身的結(jié)構(gòu)（主要包括數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈、縱橫聯(lián)系以及背后的精神、思想和方法等）、教材的編排結(jié)構(gòu)，以及學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，這樣才能幫助學(xué)生在進(jìn)一步的學(xué)習(xí)中不斷豐富和發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)有意義學(xué)習(xí)。就蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊(cè)《用數(shù)對(duì)確定位置》一課而言，在數(shù)學(xué)知識(shí)自身結(jié)構(gòu)上，用有序數(shù)對(duì)確定物體的位置，是點(diǎn)的坐標(biāo)的雛形，而坐標(biāo)的概念則是解析幾何的基本概念，解析幾何不僅是創(chuàng)立微積分的基礎(chǔ)，又與微分幾何、高維空間幾何等有著密切聯(lián)系，它們共同構(gòu)成坐標(biāo)幾何體系；在教材編配結(jié)構(gòu)上，學(xué)生在一、二年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“上、下、左、右、前、后”以及“第幾排第幾個(gè)”等相關(guān)知識(shí)，這里是在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)“用數(shù)對(duì)表示物體的位置”，而將來(lái)到了初中則要學(xué)習(xí)通過(guò)建立直角坐標(biāo)系來(lái)研究圖形的位置與運(yùn)動(dòng)；從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，學(xué)生不僅具有上述一、二年級(jí)學(xué)習(xí)的相關(guān)書(shū)本知識(shí)，在日常生活中他們已經(jīng)具有用數(shù)對(duì)確定物體的經(jīng)驗(yàn)，如確定教室里、電影院里的座位等。

張老師這兩次執(zhí)教《用數(shù)對(duì)確定位置》一課，在完善和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的有效做法，集中體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.充分利用學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)因素

在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的舊知識(shí)，就是學(xué)生建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的固著點(diǎn)。可見(jiàn)，原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對(duì)新的學(xué)習(xí)起固定作用的觀點(diǎn)的可利用性，則成了影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)特別重要的因素。張老師在這兩次教學(xué)中都折射出他對(duì)這方面的極其重視。比如，在2007年的教學(xué)中的“嘗試探索”環(huán)節(jié)，張老師明確提出“比如，二年級(jí)時(shí)我們已經(jīng)研究過(guò)用‘第幾排第幾個(gè)來(lái)確定位置，還記得嗎？”同樣，在2011年的教學(xué)中，張老師新課伊始就問(wèn)道：“今天這節(jié)課，我們一起來(lái)研究一個(gè)既陌生、又熟悉的問(wèn)題——用數(shù)對(duì)確定位置（板書(shū)課題）。為什么說(shuō)這個(gè)問(wèn)題既陌生，又熟悉？”學(xué)生答道：“要說(shuō)熟悉，是因?yàn)槲覀兌昙?jí)的時(shí)候好像學(xué)過(guò)確定位置的。但那時(shí)候好像不是用數(shù)對(duì)，而是第幾排、第幾個(gè)之類的。所以，數(shù)對(duì)對(duì)我們來(lái)說(shuō)又很陌生?！睆埨蠋熯@樣處理正是有效地促進(jìn)新舊知識(shí)之間的相互作用，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的擴(kuò)充和新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。

在2007年的教學(xué)中，張老師接著提出：“下面的照片中，哪一個(gè)才是張老師的兒子呢？大膽猜一猜，并用二年級(jí)學(xué)過(guò)的方法確定他的位置”。在幾個(gè)學(xué)生看似漫無(wú)目標(biāo)的猜測(cè)后，張老師又縮小范圍讓學(xué)生繼續(xù)猜，接著鎖定目標(biāo)。2011年的教學(xué)中，張老師同樣出示了這樣一張照片（如下圖），也讓學(xué)生猜測(cè)神秘嘉賓是哪一位。咋一看，張老師這兩次教學(xué)中的處理都是在拿學(xué)生尋開(kāi)心，或是在浪費(fèi)時(shí)間?？墒?，細(xì)細(xì)推敲，張老師不正是在加強(qiáng)學(xué)生對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的舊知識(shí)“第幾組第幾個(gè)”的認(rèn)識(shí)嗎？而這正是學(xué)生學(xué)習(xí)本課知識(shí)的重要依托。

2.凸顯新知識(shí)的本質(zhì)特征

在建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)時(shí)，學(xué)生不僅要能迅速在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到新知識(shí)的固著點(diǎn)，同時(shí)還必須能清楚地辨別出新舊知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別，由此實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)自身結(jié)構(gòu)向?qū)W生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化。

在2011年的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生提出：“光這樣猜，很難猜中。你總得給我們提供點(diǎn)線索吧”。于是，張老師告訴學(xué)生，除了用“第幾排第幾個(gè)”的方式告訴大家以外，還會(huì)有這樣一種更簡(jiǎn)潔的方法，來(lái)確定張老師孩子的位置，接著板書(shū)（４，２）。這時(shí)，學(xué)生的爭(zhēng)論集中在四個(gè)目標(biāo)上（如下圖）。

學(xué)生的困惑主要在于“……光說(shuō)（４，２）是不夠的，也是不準(zhǔn)確的（生笑）。因?yàn)樗麄儧](méi)有說(shuō)清楚，這兩個(gè)數(shù)到底哪一個(gè)是橫排，哪一個(gè)是豎排?！边@時(shí)，張老師接著分析：“現(xiàn)在看來(lái)，光有這兩個(gè)數(shù)組成的數(shù)對(duì)是不夠的，我們還得弄清兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，一個(gè)是順序（板書(shū)：順序），也就是哪個(gè)數(shù)是橫排，哪個(gè)數(shù)是豎排；另一個(gè)是方向（板書(shū)：方向），橫排或豎排究竟從哪兒數(shù)起。對(duì)嗎？”接著，再引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)有序數(shù)對(duì)的“前一個(gè)數(shù)表示列，后一個(gè)數(shù)表示行”等相關(guān)知識(shí)。張老師這樣處理，強(qiáng)調(diào)了本節(jié)課學(xué)習(xí)的新知識(shí)是“用數(shù)對(duì)確定位置”，與二年級(jí)學(xué)習(xí)的用“第幾排第幾個(gè)”來(lái)確定位置有聯(lián)系，也有很大的區(qū)別（特別是在表達(dá)的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性上），于是有效地凸顯了新知的本質(zhì)，幫助學(xué)生迅速建立新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。

3.立足當(dāng)前，著眼未來(lái)

為了更好地幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不僅要考察學(xué)生原有認(rèn)知基礎(chǔ)和現(xiàn)有認(rèn)知水平，也要為將來(lái)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展作孕伏鋪墊，這也是考量學(xué)生認(rèn)知水平的一個(gè)重要指標(biāo)。

在2011年的教學(xué)中，有學(xué)生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)家最終確定了先列后行，一定是有他們的考慮的?！睆埨蠋熛鄼C(jī)引導(dǎo)：“你的直覺(jué)很棒！數(shù)學(xué)上的很多規(guī)定，看起來(lái)都是人為設(shè)制的，好像很隨意。但有些的確是有它的道理的。至于數(shù)對(duì)中為何要先列后行，到了中學(xué)，研究了平面幾何以后，大家可能會(huì)對(duì)這一問(wèn)題有更深入的思考。”接著，有學(xué)生指出“…我覺(jué)得有可能需要三個(gè)數(shù)，因?yàn)槲覀兩畹氖侨S空間。（此語(yǔ)一出，全場(chǎng)愕然?。┤S空間，當(dāng)然需要三個(gè)數(shù)?！鄙踔猎谘芯磕Х綍r(shí)，有學(xué)生認(rèn)為：“魔方一共有好幾層，先要確定它在第幾層，然后再確定它在第幾列、第幾行，這樣正好需要3個(gè)數(shù)?！庇钟袑W(xué)生補(bǔ)充說(shuō)：“但是，我們覺(jué)得4個(gè)數(shù)就不可能了?！边€有學(xué)生認(rèn)為：“我覺(jué)得可能，還可以加上時(shí)間??！”這里，學(xué)生的交流互動(dòng)，無(wú)疑將對(duì)部分學(xué)生將來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生不同程度的影響。

著名認(rèn)知心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾提出了三個(gè)主要的影響有意義學(xué)習(xí)和遷移的認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量，即原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中觀念的可利用性、新舊認(rèn)知結(jié)構(gòu)中觀念的可辨別性和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中觀念的穩(wěn)定性與清晰性，在張老師這兩次教學(xué)中，都很好地得到了體現(xiàn)。

利用人類一切有效的學(xué)習(xí)方式

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是全面的、豐富的，也是多種形式并用的，觀察學(xué)習(xí)、替代經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)、體驗(yàn)學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)與接受學(xué)習(xí)，甚至包括模仿與記憶等等，都各有長(zhǎng)短。要幫助學(xué)生在盡可能短的時(shí)間內(nèi)為終身發(fā)展打下基礎(chǔ)，就不能拒絕人類一切有效的學(xué)習(xí)方式。

在2007年的教學(xué)中，張老師將“教學(xué)目標(biāo)”預(yù)設(shè)為“1．在二年級(jí)‘第幾排第幾個(gè)的基礎(chǔ)上，自主建構(gòu)‘用數(shù)對(duì)確定位置的方法，體會(huì)它的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性；2．感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造的價(jià)值?！币簿偷於俗灾魈剿?、合作交流等學(xué)習(xí)方式是這節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的重要方式。同時(shí)，從“教學(xué)過(guò)程”的主要環(huán)節(jié)來(lái)看，學(xué)生經(jīng)歷了猜測(cè)、推理、驗(yàn)證、運(yùn)用等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程。特別是在張老師板書(shū)出學(xué)生7種典型確定位置的方法后，師生、生生互動(dòng)交流建構(gòu)新的認(rèn)知時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)更是突出體現(xiàn)在以上幾個(gè)方面。

在2011年的教學(xué)中，張老師將“教學(xué)目標(biāo)”預(yù)設(shè)為“1．在具體情境中，體會(huì)‘用數(shù)對(duì)確定位置規(guī)則的合理性，會(huì)根據(jù)相應(yīng)規(guī)則，用數(shù)對(duì)確定平面內(nèi)物體或點(diǎn)的位置；2．感受數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)謹(jǐn)與美?！痹倏疾爝@一教學(xué)的主要環(huán)節(jié)，張老師在直接板書(shū)出“（4，2）”這一有序數(shù)對(duì)后，學(xué)生是個(gè)“接受學(xué)習(xí)”的過(guò)程，接下來(lái)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，在認(rèn)真思考、主動(dòng)探索、互動(dòng)交流中，將這一新知與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成了“非人為”的“本質(zhì)”的聯(lián)系，進(jìn)而給通過(guò)言語(yǔ)講解的“接受學(xué)習(xí)”賦予了“意義”，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)用多種學(xué)習(xí)方式達(dá)到學(xué)習(xí)的高效。

目前，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》已經(jīng)頒布，該《課標(biāo)》對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、師生關(guān)系等涉及的課程基本理念已有所調(diào)整，我們一線教師在認(rèn)真學(xué)習(xí)、實(shí)踐的同時(shí)，要作出理性的思考，“讓學(xué)生在通過(guò)有限知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，掌握探索無(wú)限世界之本領(lǐng)”是我們仰望的那片“星空”，是我們追求的目標(biāo)。張老師兩次不同的教學(xué)，在學(xué)生學(xué)習(xí)方式的選擇方面有明顯差異，我要表達(dá)的不是要分一分兩種處理孰優(yōu)孰劣，但“尊重知識(shí)、尊重兒童、審視課標(biāo)、審視教材”應(yīng)該作為我們作出正確判斷的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)。

簡(jiǎn)言之，我們不僅要倡導(dǎo)學(xué)習(xí)方式的多樣化，更要根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生的情況選擇合適的學(xué)習(xí)方式，以獲得最佳的學(xué)習(xí)效果。

數(shù)學(xué)“四基”協(xié)調(diào)發(fā)展

“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是當(dāng)前數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)之一。因此，學(xué)生“四基”的獲得是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要任務(wù)之一。張老師兩次執(zhí)教中對(duì)于“基礎(chǔ)知識(shí)”和“基本技能”的關(guān)注與落實(shí)情況，前面已經(jīng)評(píng)述，這里著重分析張老師如何幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)的“基本思想”、獲得數(shù)學(xué)的“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。

1.感受數(shù)學(xué)的基本思想

數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線。數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，它被明明白白地寫(xiě)在教材里；而數(shù)學(xué)思想則是一條暗線，需要教師挖掘、提煉，并在教學(xué)中凸顯。數(shù)學(xué)思想相比數(shù)學(xué)知識(shí)，具有更高的概括性和包容性，所以數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，以及學(xué)生的成長(zhǎng)和發(fā)展具有更重要的影響，它應(yīng)成為數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容。張老師在這兩次執(zhí)教中，都先后把要確定位置的對(duì)象從照片上的按行列排列的某一個(gè)人（如下圖），轉(zhuǎn)化為點(diǎn)陣中的某一個(gè)點(diǎn)（如下頁(yè)圖），這樣的處理使學(xué)生初步感受了“數(shù)學(xué)抽象”的思想，也為學(xué)生將來(lái)平面直角坐標(biāo)系概念的建立打下必要基礎(chǔ)。

在2011年的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生面對(duì)（４，２）這個(gè)數(shù)對(duì)，對(duì)這兩個(gè)數(shù)到底哪一個(gè)是橫排，哪一個(gè)是豎排疑惑不解時(shí)，張老師透露：“我孩子最要好的朋友小鄧，他所在的位置如果也用這樣的數(shù)對(duì)來(lái)表示的話，應(yīng)該是（2，1）……”同時(shí)出示左下圖：

于是，學(xué)生很快明確了數(shù)對(duì)（４，２）所確定的位置。這樣的處理，使學(xué)生初步感受了“數(shù)學(xué)推理”的思想。

２.獲得數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)的教育意義，是讓學(xué)生在親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，能獲得具有個(gè)體特征的情感體驗(yàn)、感性認(rèn)識(shí)以及數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。讓學(xué)生獲得“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”,就是培養(yǎng)學(xué)生在活動(dòng)中從數(shù)學(xué)的視角進(jìn)行思考，直觀地、合理地獲得一些結(jié)果，這是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的根本。

在2007年的教學(xué)中，張老師引導(dǎo)學(xué)生“嘗試探索”獲得7種典型確定位置的方法后，師生、生生互動(dòng)交流建構(gòu)新的認(rèn)知時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷了猜測(cè)、推理、驗(yàn)證、運(yùn)用等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，獲得了數(shù)學(xué)思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在2011年的教學(xué)中，在“質(zhì)疑，拓展思維空間”的教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生列舉出：教室的座位；地球儀上的經(jīng)線和緯線；圍棋、中國(guó)象棋或者國(guó)際象棋上類似的數(shù)字；電影院的座位；航班上的座位；魔方等多種生活中的相關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)大多不是課堂現(xiàn)場(chǎng)獲得的，一般稱為延時(shí)反思的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

張老師的這兩次執(zhí)教，使我們感受到“四基”不是四個(gè)事物簡(jiǎn)單的累加、混合，它們相輔相成，相互促進(jìn)：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是重要的教學(xué)內(nèi)容，是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的有效載體；數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的靈魂；數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中不可或缺的重要形式，它們統(tǒng)一于、服務(wù)于學(xué)生有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。

張老師對(duì)于同一教學(xué)內(nèi)容，給我們呈現(xiàn)了兩種不同的教學(xué)風(fēng)景，這種常教常新的做法值得提倡，他給我們展現(xiàn)了一線教師專業(yè)發(fā)展的一條有效的、可行的、獨(dú)具優(yōu)勢(shì)的路徑。同時(shí)，也使我們更加深刻地認(rèn)識(shí)到，一線教師雖不是思想家，但要做個(gè)思想者；不能僅僅做個(gè)實(shí)踐者，要成為實(shí)踐家。

（湯雪峰，揚(yáng)州市廣陵區(qū)教育局教研室，225000）