李文俊

蘇科版教材八上第38頁第9題：如圖（1），點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，AB′交l于點(diǎn)P.

（1）AB′與AP+PB相等嗎？為什么？

（2）在l上再取一點(diǎn)Q，并連接AQ和QB，比較AQ+BQ與AP+PB的大小，并說明理由.

這個(gè)數(shù)學(xué)模型是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型模型，可以歸納為“兩定點(diǎn)，直線上一動(dòng)點(diǎn)”的數(shù)學(xué)模型.

條件為：如圖（2），A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).

問題是：①在直線上確定一點(diǎn)P，使∠APC=∠BPD.

②在直線上確定一點(diǎn)P，使PA+PB最小.

方法：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交l于點(diǎn)P，則∠APC=∠BPD；PA+PB=PA+PB′=AB′的值最小.

這一數(shù)學(xué)模型在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，若學(xué)生掌握了這一數(shù)學(xué)模型，則對(duì)于他們解決相關(guān)問題會(huì)有很大幫助.

例1：如圖（3）所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？

模型應(yīng)用：作出點(diǎn)B的軸對(duì)稱點(diǎn)B1，連接AB1交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的奶站位置.

例2：如圖（4）所示，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2，EM+CM的最小值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.

模型應(yīng)用：要求線段和最小值，關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱思想，找出這條最短的線段，后應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)求出這條線段的長度即可.

例3：如圖（5）所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PD的和最小時(shí)，求PB的長.

模型應(yīng)用：在這里有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法.

例4：如圖（6），等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底、下底中點(diǎn)連線EF上的一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.

模型應(yīng)用：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知道，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).而運(yùn)用好直角三角形的性質(zhì)是解題的又一個(gè)關(guān)鍵.

例5：如圖（7），菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.

模型應(yīng)用：根據(jù)菱形的性質(zhì)知道，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

例6：如圖（8）所示，已知正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)M在DC上，且DM=2，N是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.

模型應(yīng)用：根據(jù)正方形的性質(zhì)知道，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

例7：如圖（9），在邊長為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖cm.

模型應(yīng)用：在這里△PBQ周長等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形邊長的一半，是一個(gè)定值1，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉(zhuǎn)化成使得PB+PQ的和最小問題.因?yàn)轭}目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，兩個(gè)定點(diǎn)B，Q符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以解答時(shí)可以應(yīng)用該模型.

例8：如圖（10），MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.

模型應(yīng)用：根據(jù)圓的對(duì)稱性，作出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DB，則線段和的最小值就是線段DB的長度.

例9：如圖（11），正比例函數(shù)y=x的圖像與反比例函數(shù)y=（k≠0）在第一象限的圖像交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知三角形OAM的面積為1.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖像上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小.

模型應(yīng)用：利用三角形的面積和交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的第一個(gè)關(guān)鍵.要想確定出PA+PB的最小值，關(guān)鍵是明白怎樣才能保證PA+PB的和最小，同學(xué)們聯(lián)想我們以前學(xué)過的對(duì)稱作圖問題，明白了最小的內(nèi)涵，解題的過程就迎刃而解了.

例10：如圖（12），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），△AOB的面積是.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△AOC的周長最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

模型應(yīng)用：在這里△AOC周長等于AC+CO+AO，而A，O是定點(diǎn)，所以AO是一個(gè)定長，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉(zhuǎn)化成使得AC+CO的和最小問題.因?yàn)轭}目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，兩個(gè)定點(diǎn)A，O符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法.

例11：如圖（13），在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).

（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).

模型應(yīng)用：本題的最大亮點(diǎn)是將一個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最小值和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最小值問題糅合在一起，并很好地運(yùn)用到平面直角坐標(biāo)系中.

例12：求函數(shù)y=+的最小值.

模型應(yīng)用：本題是一道求函數(shù)最大值的問題，可以利用平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題.如圖（14），A（2，3），B（0，1），在x軸上有一點(diǎn)P，則PA+PB的最小值就是y=+的最小值，所以作出B（0，1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B′（0，-1）最小值等于AB′的長度.

通過對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型的分析我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)模型可以放在諸如三角形、直角梯形、等腰梯形、菱形、正方形、圓、函數(shù)等問題中，來解決線段和最小的問題.在這一數(shù)學(xué)模型中關(guān)鍵是抽象出“兩定點(diǎn)，直線上一動(dòng)點(diǎn)”的基本模型，然后就利用這一數(shù)學(xué)模型解決相應(yīng)問題.若學(xué)生不理解掌握這一數(shù)學(xué)模型，解決上述問題就很困難，而且會(huì)出現(xiàn)老師反復(fù)講，學(xué)生還是不理解的情況，使教學(xué)效果事倍功半.

因此，在平時(shí)的教學(xué)過程中要積極滲透數(shù)學(xué)模型思想，講清講透每個(gè)數(shù)學(xué)模型，這樣有利于拓展數(shù)學(xué)知識(shí)面，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、廣闊性和靈活性，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，為創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力的培養(yǎng)提供廣闊的空間、打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).