張瑞蓉

這幾年的中考后兩道的壓軸題，基本上都有一題出現(xiàn)“幾何動(dòng)態(tài)”問(wèn)題。所謂的幾何動(dòng)態(tài)指的是以運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問(wèn)題。這種題目包攬了知識(shí)的全面性，主要以中檔題與綜合題形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)以選擇題的形式出現(xiàn)。它的特點(diǎn)決定審題思考的復(fù)雜性和解題時(shí)的多樣性，突出了運(yùn)用知識(shí)的靈活性，能夠真實(shí)地考查學(xué)生的知識(shí)水平、理解能力，有較好的區(qū)分度，具有較好的選拔能力；同時(shí)依托圖形的變化，能很好地考查學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的探究能力和綜合素質(zhì)，體現(xiàn)開(kāi)放性。

動(dòng)態(tài)問(wèn)題在中考中占有相當(dāng)大的比重。就題目的動(dòng)來(lái)說(shuō)，可以分成三類(lèi):動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線(xiàn)、動(dòng)形；詳細(xì)一點(diǎn)地說(shuō)動(dòng)態(tài)問(wèn)題的“動(dòng)點(diǎn)”，是說(shuō)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。指的是在三角形、矩形、題型等等一些幾何圖形上，設(shè)計(jì)一個(gè)或者幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中產(chǎn)生的等量關(guān)系、變化關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究。動(dòng)態(tài)問(wèn)題的“動(dòng)線(xiàn)”通常講的是直線(xiàn)（線(xiàn)段），比較多的時(shí)候是考察直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系。通過(guò)直線(xiàn)的移動(dòng)跟圓形成的位置關(guān)系形成的特殊圖形，觀(guān)察所形成的等量或不等量關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題。動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的“動(dòng)形”主要指三角形、四邊形、圓等圖形，它的運(yùn)動(dòng)形式有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折（軸對(duì)稱(chēng)）等，它既可以是規(guī)則運(yùn)動(dòng)，也可以是不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。經(jīng)常是給定的圖形（或其中一部分）實(shí)行某種位置關(guān)系，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系，這類(lèi)問(wèn)題常與探究性、存在性等結(jié)合在一起，考查學(xué)生動(dòng)手能力、觀(guān)察能力、探索與實(shí)踐能力。不管是動(dòng)態(tài)問(wèn)題的哪一類(lèi)問(wèn)題，通常我們解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是“寓動(dòng)于靜”，即尋找運(yùn)動(dòng)中的不變量或圖形的特殊位置，把動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題來(lái)研究，從而找到解題的突破口。

在教學(xué)過(guò)程，每次碰到動(dòng)點(diǎn)的題目，有的學(xué)生就總是怕，甚至干脆就放棄。其實(shí)你不要把它想成是在動(dòng)的，就當(dāng)成是某個(gè)位置時(shí)的點(diǎn)?；蛘?，你就想象成一個(gè)人在那條路上走啊，人停留在路邊的某個(gè)點(diǎn)上，想成自己熟悉的東西，應(yīng)該會(huì)比較好理解些。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間、速度要轉(zhuǎn)化成線(xiàn)段的長(zhǎng)度問(wèn)題，所以運(yùn)動(dòng)過(guò)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度其實(shí)就是點(diǎn)“走”過(guò)的路程啊，這樣就可以用時(shí)間來(lái)表示線(xiàn)段的長(zhǎng)了。關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的題型，有時(shí)只是一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；有時(shí)說(shuō)的是兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況。現(xiàn)在，我們就舉些例子來(lái)看看。

一、單動(dòng)點(diǎn)型

例1：（2011年廈門(mén)中考試卷第25題）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形，（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止，則從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，△BEP為等腰三角形？

考點(diǎn)：考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)。

分析：（1）簡(jiǎn)單的一道證明題。根據(jù)全等三角形判定證△ABC≌△CDA即可。（2）這就是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。雖然是單動(dòng)點(diǎn)，但是這個(gè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)在不同的路線(xiàn)，所以要分不同的情況：當(dāng)P在BC上時(shí)，①BE=BP=2，②BP=PE，作PM⊥AB于M，根據(jù)cosB求出BP，③BE=PE=2，作EN⊥BC于N，根據(jù)cosB求出BN；當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形；當(dāng)P在AD上時(shí)，過(guò)P作PN⊥BA于N，證△NAP∽△ABC，推出PN：AN：AP=4：3：5，設(shè)PN=4x，AN=3x，在△EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）2+（4x）2=22，求出方程的解即可。

解答：如圖2. （1）證明：在△ABC和△CDA中，∠B=∠D，∠BAC=∠DCA，∴△ABC≌△CDA，∴AD=BC，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

（2）解：∵∠BAC=90°，BC=5，AB=3，由勾股定理得：AC=4，即AB、CD間的最短距離是4. 設(shè)經(jīng)過(guò)ts時(shí)，△BEP是等腰三角形。當(dāng)P在BC上時(shí)，①BE=BP=2，t=2時(shí)，△BEP是等腰三角形。

②BP=PE，作PM⊥AB于M，∵cosB===，∴BP=，t=時(shí)，△BEP是等腰三角形。

③BE=PE=2，作EN⊥BC于N，∴cosB==，∴=，BN=，∴BP=，t=時(shí)，△BEP是等腰三角形。

當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形，∵AB、CD間的最短距離是4，CA⊥AB，CA=4，當(dāng)P在AD上時(shí)，只能BE=EP=2，過(guò)P作PQ⊥BA于Q，∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BC，∴∠NAD=∠ABC，∵∠BAC=∠N=90°，∴△QAP∽△ABC，∴PQ：AQ：AP=4：3：5，設(shè)PQ=4x，AQ=3x，在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，∴x=，AP=5x=，∴t=5+5+3-=.

答：從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)2s或s或s或s時(shí)，△BEP為等腰三角形。

點(diǎn)評(píng)：本題利用動(dòng)點(diǎn)的多樣性、靈活性考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵。

例2：（2011年莆田中考試卷第24題）已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，且與x軸交于A、B兩點(diǎn).與y軸交于點(diǎn)C.其中A (1，0)，C(0，-3).（1）求拋物線(xiàn)解析式； （2）若點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P異于點(diǎn)A）.①如圖3.當(dāng)△PBC面積與△ABC面積相等時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②如圖4.當(dāng)∠PCB=∠BCA時(shí)，求直線(xiàn)CP的解析式。

解：（1）由題意，得a+b+c=0c=-3-=2，解得a=-1,b=4,c=-3，∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2+4x-3。

（2）①令-x2+4x-3=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3, 0），當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)BC的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，易求直線(xiàn)BC的解析式為y=x-3，∴設(shè)直線(xiàn)AP的解析式為y=x+n，∵直線(xiàn)AP過(guò)點(diǎn)A（1,0），代入求得n=-1。∴直線(xiàn)AP的解析式為y=x-1,解方程組y=x-1y=-x2+4x-3，得x1=1y1=0,x2=2y2=1,∴點(diǎn)p1（2，1）。當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí),設(shè)直線(xiàn)AP1交y軸于點(diǎn)E(0,-1)，把直線(xiàn)BC向下平移2個(gè)單位，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P2、P3，得直線(xiàn)P2、P3的解析式為y=x-5，解方程組y=x-5y=-x2+4x-3，得x1=y1=,x2=y2=,∴P2(,),P3(,)。綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1(2,1),P2(,),P3(,).

②∵B(3,0),C(0,-3),∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，設(shè)直線(xiàn)CP的解析式為y=kx-3，延長(zhǎng)CP交x軸于點(diǎn)Q，設(shè)∠OCA=α，則∠ACB=45°-α，∵∠PCB=∠BCA ， ∴∠PCB=45°-α，∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°-α）=α，∴∠OCA=∠OQC，又∵∠AOC=∠COQ=90°，∴Rt△AOC∽R(shí)t△COQ，∴=，∴=，∴OQ=9，∴Q(9,0)，∵直線(xiàn)CP過(guò)點(diǎn)Q(9,0)，∴9k-3=0，∴k=，∴直線(xiàn)CP的解析式為y=x-3。

點(diǎn)評(píng)：本題以靜制動(dòng)，考慮P所在不同位置出現(xiàn)的不同情況分類(lèi)處理，利用平行線(xiàn)間距離處處相等，把面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化成線(xiàn)段相等的問(wèn)題，輕松利用兩直線(xiàn)平行求直線(xiàn)解析式，再求函數(shù)交點(diǎn)即可；在②中同時(shí)也把P當(dāng)成在某一個(gè)特殊位置，轉(zhuǎn)化成相似三角形來(lái)解決問(wèn)題，這是很常用的一個(gè)解題思路。

二、雙動(dòng)點(diǎn)

例3：（2011年泉州中考試卷第26題）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)A， 與y軸交于點(diǎn)B， 且OA = 3，AB = 5．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AO返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線(xiàn)QB－BO－OP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．（1）求直線(xiàn)AB的解析式；（2）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求△APQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出t的取值范圍）；（3）在點(diǎn)E從B向O運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，完成下面問(wèn)題：①四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出t的值．

解：（1）在Rt△AOB中，OA = 3，AB = 5，由勾股定理得OB==4.∴A（3，0），B（0，4）．設(shè)直線(xiàn)AB解析式為y=kx+b.∴3k+b=0b=4 ,解得k=-,b=4 ,∴直線(xiàn)AB解析式為y=-x+4．

（2）如圖6，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AO于點(diǎn)F，∵ AQ = OP= t，∴AP=3-t,由△AQF∽△ABO，得=． ∴=,∴QF=t，∴S=(3-t)·t，∴S=-t2+t.

（3）四邊形QBED能成為直角梯形。①如圖6，當(dāng)DE∥QB時(shí)， ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．此時(shí)∠AQP=90°．由△APQ∽△ABO，得=.∴= ． 解得t=． ②如圖6，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，∵DE⊥PQ，∴DE⊥BO，四邊形QBED是直角梯形．此時(shí)∠APQ =90°．由△AQP∽△ABO，得=,即=．解得t=．

（4）t=或t=．

解決此類(lèi)動(dòng)點(diǎn)幾何問(wèn)題常常用的是“類(lèi)比發(fā)現(xiàn)法”，也就是通過(guò)對(duì)兩個(gè)或幾個(gè)相類(lèi)似的數(shù)學(xué)研究對(duì)象的異同，進(jìn)行觀(guān)察和比較，從一個(gè)容易探索的研究對(duì)象所具有的類(lèi)似性質(zhì)，從而獲得相關(guān)結(jié)論。當(dāng)然，解題前一定要好好理解圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，了解運(yùn)動(dòng)前后邊、角之間的數(shù)量關(guān)系，盡量抓住特殊位置，在動(dòng)中取靜，抓住變化中的“不動(dòng)量”，以不變應(yīng)萬(wàn)變，使問(wèn)題得到解決。類(lèi)比發(fā)現(xiàn)法大致可遵循如下步驟：① 根據(jù)已知條件，先從動(dòng)態(tài)的角度去分析觀(guān)察可能出現(xiàn)的情況；② 結(jié)合某一相應(yīng)圖形，以靜制動(dòng)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)（常用三角形相似或全等，有時(shí)也會(huì)用到平行四邊形邊的性質(zhì)等）得出相關(guān)結(jié)論。③ 類(lèi)比猜想出其他情況中的圖形所具有的性質(zhì)。

（晉江市英林中學(xué)）