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        一般三次方程的簡(jiǎn)明新求根公式和根的判別法則

        2012-04-29 03:49:42謝國(guó)芳
        關(guān)鍵詞:判別式

        謝國(guó)芳

        【摘要】本文推導(dǎo)出了遠(yuǎn)比卡丹公式簡(jiǎn)明快捷的可直接用來求解一般三次方程ax3+bx2+cx+d=0的新求根公式,進(jìn)而又針對(duì)實(shí)系數(shù)的情形討論了根的情況,得到了方便的根的判別法則.

        【關(guān)鍵詞】三次方程;求根公式;判別法;判別式

        一、一般三次方程的簡(jiǎn)化

        對(duì)于一般形式的三次方程ax3+bx2+cx+d=0 (a≠0), 兩邊同除以a,即可化為首項(xiàng)系數(shù)為1的三次方程

        x3+bax2+cax+da=0.

        作變量代換

        x=y-b3a.(1)

        可消去二次項(xiàng),得

        y3+py+q=0.(2)

        其中p=-b2-3ac3a2,q=-9abc-2b3-27a2d27a3.(3)

        下面我們把形如式(2)的三次方程稱為簡(jiǎn)約三次方程,并約定其一次項(xiàng)系數(shù)p≠0.

        二、簡(jiǎn)約三次方程的三角函數(shù)解法和求根公式

        在方程(2)中作變量代換琜1琞

        y=2-p3cosz.(4)

        利用三倍角公式 cos3z=4cos3z-3cosz, 方程(2)變?yōu)?/p>

        cos3z=-q/2(-p/3)3.(5)

        定義參數(shù)χ=-q/2(-p/3)3.(6)

        稱之為三次方程y3+py+q=0的關(guān)鍵比(key ratio),式(5)即

        cos3z=χ.(7)

        利用歐拉公式 cosz=e琲z+e-iz2.(8)

        可將方程(7)化為一個(gè)以e3iz為元的二次方程 (e3iz)2-2χ(e3iz)+1=0, 解得e3iz=χ±χ2-1.

        定義參數(shù) W=χ+χ2-1, 由上式可得 e琲z = 3W 或 13W, 再由式(8),(4)即得方程y3+py+q=0的根為

        y=-p33W+13W.(9)

        其中 W=χ+χ2-1, χ=-q/2(-p/3)3. (10)

        復(fù)立方根3W的三個(gè)值正好對(duì)應(yīng)于方程的三個(gè)根.

        三、簡(jiǎn)約三次方程的另一個(gè)求根公式

        定義參數(shù) λ = -q/2(p/3)3, 亦稱之為三次方程y3+py+q=0的關(guān)鍵比,對(duì)比χ的定義式(6),若規(guī)定平方根的取值滿足(參見注1和附錄1)-p/3=ip/3, 則χ=iλ, 于是

        W=χ+χ2-1=iλ+(iλ)2-1=iλ+-(λ2+1)=i(λ+λ2+1).

        定義參數(shù)Z=λ+λ2+1, 則W=iZ, 故 3W=eπi/6·3Z(參見附錄1), 代入式(9)可得

        y=p3e2πi/3·3Z -1 e2πi/3·3Z.

        因?yàn)閑2πi/3乘以立方根3Z的三個(gè)值后仍得到3Z的三個(gè)值,所以上式即

        y=p33Z-13Z.(12)

        其中

        Z=λ+λ2+1, λ=-q/2(p/3)3.(13)

        四、一般三次方程的兩個(gè)求根公式

        為了把求根公式(9)和(12)推廣到一般三次方程ax3+bx2+cx+d=0,只需把相應(yīng)的簡(jiǎn)約三次方程y3+py+q=0的關(guān)鍵比χ和λ直接用系數(shù)a,b,c,d表出即可. 將由式(3)給出的p,q值代入χ和λ的定義式可得琜2琞

        χ = -q/2(-p/3)3 = 9abc-2b3-27a2d27a32b2-3ac9a23=9abc-2b3-27a2d2(b2-3ac)3,

        λ = -q/2(p/3)3= 9abc-2b3-27a2d2(-(b2-3ac))3.

        定義D=b2-3ac, 則

        χ=9abc-2b3-27a2d2(D)3,λ=9abc-2b3-27a2d2(-D)3.

        我們可以把它們稱為三次方程ax3+bx2+cx+d=0的關(guān)鍵比. 根據(jù)求根公式(9)和(12),并注意到p=-D3a2和x=y-b3a(參見式(1),(3)),我們就得到了下面的結(jié)果.

        定理1(一般三次方程的求根公式Ⅰ)對(duì)于三次方程ax3+bx2+cx+d=0, 定義參數(shù)

        D=b2-3ac, χ=9abc-2b3-27a2d2(D)3,

        W=χ+χ2-1.(14)

        則當(dāng)D≠0時(shí)它的根為琜3琞

        x=-b+D(3W+13W)3a.(15)

        設(shè)W=|W|e琲β,|W|為復(fù)數(shù)W的模,β=argW為其幅角主值(-π<β≤π),則3W的三個(gè)值為

        3|W|e琲β/3, 3|W|e琲(β+2π)/3, 3|W|e琲(β-2π)/3.

        代入式(15),并定義實(shí)參數(shù)ρ=3|W|, 可得方程的三個(gè)根:

        x1=-b+Dρ+1ρcosβ3+iρ-1ρsinβ33a,x2=-b+Dρ+1ρcosβ3+2π3+iρ-1ρsinβ3+2π33a,x3=-b+Dρ+1ρcosβ3-2π3+iρ-1ρsinβ3-2π33a.(16)

        其中ρ=3|W|, β=argW, W=χ+χ2-1.

        定理2(一般三次方程的求根公式Ⅱ)對(duì)于三次方程ax3+bx2+cx+d=0, 定義參數(shù)

        D=b2-3ac, λ=9abc-2b3-27a2d2(-D)3,Z=λ+λ2+1.(17)

        則當(dāng)D≠0時(shí)它的根為x=-b+-D3Z-13Z3a.(18)

        設(shè)Z=Ze琲α,Z為復(fù)數(shù)Z的模,α=argZ為其幅角主值(-π<α≤π),則3Z的三個(gè)值為

        3|Z|e琲α/3, 3|Z|e琲(α+2π)/3, 3|Z|e琲(α-2π)/3.

        代入式(18),并定義實(shí)參數(shù)σ=3|Z|,可得方程的三個(gè)根:

        x1=-b+-Dσ-1σcosα3+iσ+1σsinα33a,x2=-b+-Dσ-1σcosα3+2π3+iσ+1σsinα3+2π33a,x3=-b+-Dσ-1σcosα3-2π3+iσ+1σsinα3-2π33a.(19)

        其中σ=3|Z|, α=argZ, Z=λ+λ2+1.

        注意求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ是等價(jià)的,在實(shí)際應(yīng)用中,我們可以使用這兩個(gè)求根公式中的任意一個(gè)求解(可視方便而定),除了根的編號(hào)可能不同之外,得到的結(jié)果是完全相同的.

        例1 解復(fù)系數(shù)三次方程 x3+ix2+x-i=0.

        解(用求根公式Ⅰ)D=b2-3ac=(i)2-3×1×1=-4,

        χ=9abc-2b3-27a2d2(D)3=9i-2i3-27×(-i)2(-4)3=-198,

        W=χ+χ2-1=-198+-1982-1=-19-3338,

        β=argW=π, ρ=3|W|=319-3338≈0.604401892838194,

        代入式(16),即得方程的三個(gè)根:

        x1=-i+-4ρ+1ρcosπ3+iρ-1ρsinπ33 ≈0.606290729207199+0.419643377607081i,

        x2≈-1.839286755214161i,x3≈-0.606290729207199+0.419643377607081i.

        也可以用求根公式Ⅱ求解本題,所得結(jié)果的差別只是后兩個(gè)根的編號(hào)不同.

        五、一般實(shí)系數(shù)三次方程的求解和根的判別法則(D-χ判別法)

        對(duì)于實(shí)系數(shù)三次方程ax3+bx2+cx+d=0,我們可以根據(jù)參數(shù)D=b2-3ac的值,選擇使用求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ中較方便的一個(gè)求解,進(jìn)而判定根的情況.

        1.D<0的情形

        當(dāng)D=b2-3ac<0時(shí),顯然用求根公式Ⅱ求解比較方便,因?yàn)檫@時(shí)關(guān)鍵比λ為實(shí)數(shù)(參見式(17)),Z=λ+λ2+1亦為實(shí)數(shù),設(shè)其實(shí)立方根為K,則3Z的三個(gè)值為K, e2πi/3K, e-2πi/3K,代入式(18)即得方程的三個(gè)根:

        x1=-b+-DK-1K3a,x2,3=-b+-DK-1Kcos2π33a±i-DK+1Ksin2π33a.(20)

        其中K=3λ+λ2+1, λ=9abc-2b3-27a2d2(-D)3,(λ∈R, K∈R).

        顯然x1為實(shí)根,x2, x3為共軛虛根.

        2.D>0的情形

        當(dāng)D=b2-3ac>0時(shí),顯然用求根公式Ⅰ求解比較方便,因?yàn)檫@時(shí)關(guān)鍵比χ為實(shí)數(shù)(參見式(14)),參數(shù)W=χ+χ2-1的取值視χ而定.

        (1)若χ≥1,則W=χ+χ2-1亦為實(shí)數(shù),設(shè)其實(shí)立方根為κ,則3W的三個(gè)值為κ, e2πi/3κ, e-2πi/3κ,代入式(15)即得方程的三個(gè)根:

        x1=-b+D(κ+1κ)3a,x2,3=-b+D(κ+1κ)cos2π33a±iD(κ-1κ)sin2π33a.(21)

        其中κ=3χ+χ2-1,(χ∈R, χ≥1, κ∈R).

        易見x1為實(shí)根. 當(dāng)χ>1時(shí),x2,x3為共軛虛根. 當(dāng)χ=1,即χ=±1時(shí),κ=±1,x2,x3為兩個(gè)相等的實(shí)根.

        (2)若χ<1,設(shè)χ=cosθ,(0<θ<π),即θ=cos-1χ,于是

        W=χ+χ2-1=cosθ+cos2θ-1=cosθ+isinθ=e琲θ,

        3W的三個(gè)值為e琲θ/3, e琲(θ+2π)/3, e琲(θ-2π)/3,代入式(15)即得方程的三個(gè)根:

        x1=-b+D·2cosθ33a,x2=-b+D·2cosθ3+2π33a,x3=-b+D·2cosθ3-2π33a.(22)

        其中θ=cos-1χ,(χ∈R, χ<1). 顯然x1,x2,x3全都是實(shí)根,由0<θ<π可知

        0<θ3<π3,2π3<θ3+2π3<π,-2π3<θ3-2π3<-π3.

        因此

        12

        當(dāng)a>0時(shí)即可判定各根的范圍如下:

        -b+D3a

        顯然x1>x3>x2.當(dāng)a<0時(shí),上面三個(gè)不等式中的不等號(hào)反向,即x1

        3.D=0的情形

        當(dāng)D=b2-3ac=0 時(shí),方程ax3+bx2+cx+d=0可以配成完全立方求解,兩邊同除以a,再利用c=b23a可將它改寫為 x+b3a3=b3a3-da. 解得

        x1=-b+3b3-27a2d3a,x2=-b+3b3-27a2d·ω3a,x3=-b+3b3-27a2d·ω23a.(23)

        其中ω為三次單位根(ω=-12+32i,ω2=ω=-12-32i). 易見當(dāng)b3≠27a2d時(shí),x1為實(shí)根. x2,x3為共軛虛根.當(dāng)b3=27a2d時(shí),x1=x2=x3=-b3a,即方程有一個(gè)三重實(shí)根-b3a.

        4.一般實(shí)系數(shù)三次方程的根的判別法則(D-χ判別法)

        綜上所述,我們就得到了如下的判別一般實(shí)系數(shù)三次方程的根的法則,我們可以把它稱為D-χ判別法,參數(shù)D=b2-3ac(注意它和二次方程判別式的相似性)可稱為第一判別式(first discriminant),它和關(guān)鍵比χ = 9abc-2b3-27a2d2(D)3合在一起就能簡(jiǎn)單快捷地判定實(shí)系數(shù)三次方程ax3+bx2+cx+d=0的根的情況,并決定相應(yīng)的最便捷的求根公式:

        (1)當(dāng)D=b2-3ac<0時(shí)琜4琞,方程有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根.

        可用求根公式(20)求解.

        (2)當(dāng)D=b2-3ac>0,χ>1時(shí),方程亦有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根.

        可用求根公式(21)求解.

        (3)當(dāng)D=b2-3ac>0,χ=1時(shí),方程有一個(gè)兩重實(shí)根和一個(gè)單重實(shí)根.

        仍可用求根公式(21)求解,也可以用三角求根公式(22)求解.

        (4) 當(dāng)D=b2-3ac>0,χ<1時(shí),方程有三個(gè)互異的實(shí)根.

        可用三角求根公式(22)求解.

        (5) 當(dāng)D=b2-3ac=0,b3≠27a2d時(shí)琜5琞,方程亦有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根.

        可配成完全立方或用式(23)求解.

        (6) 當(dāng)D=b2-3ac=0,b3=27a2d時(shí)琜6琞,方程有一個(gè)三重實(shí)根-b3a.

        例2 判別方程27x3-2x2+8x-4=0根的情況并求解.

        解 D=b2-3ac=(-2)2-3×27×8=-644, 由D<0 可知該方程有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根,可用求根公式(20)求解.

        λ= 9abc-2b3-27a2d2(-D)3 = 9×27×(-2)×8-2×(-2)3-27×272×(-4)2·(644)3ぁ2.290292896392045,

        K=3λ+λ2+1 ≈1.685620470846232,

        x1=-b+-DK-1K3a=2+644K-1K3×27≈0.366928020961414,

        x2,3=2-644·12K-1K3×27±i644·32K+1K3×27ぁ-0.146426973443670±0.618313639592831i.

        例3 判別方程x3-0.276x2+0.0136x-0.00043=0 根的情況并求其實(shí)根.

        解 D=b2-3ac=(-0.276)2-3×0.0136=0.035376,

        χ = 9abc-2b3-27a2d2(D)3= 9×(-0.276)×0.0136-2×(-0.276)3-27×(-0.00043)2(0.035376)3

        ≈1.493662011245495,

        由D>0,χ>1 可知該方程有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根,可用求根公式(21)求解.

        κ=3χ+χ2-1≈1.375628929048766,

        實(shí)根 x1=-b+Dκ+1κ3a=0.276+0.035376κ+1κ3ぁ0.223820634031594.

        例4 判別方程x3-0.5856x2+0.072x-0.002=0根的情況并求解.

        解 D=b2-3ac=(-0.5856)2-3×0.072=0.12692736,

        χ=9abc-2b3-27a2d2(D)3=9×(-0.5856)×0.072-2×(-0.5856)3-27×(-0.002)2(0.12692736)3ぁ0.842186183431575,

        由D>0,χ<1可知該方程有三個(gè)互異的實(shí)根,可用三角求根公式(22)求解.

        θ=cos-1χ≈0.569471258300053,

        x1=-b+D·2cosθ33a

        =0.5856+0.12692736·2cosθ33ぁ0.428446125903143,

        x2=0.5856+0.12692736·2cosθ3+2π33ぁ0.039765810249773,

        x3=0.5856+0.12692736·2cosθ3-2π33ぁ0.117388063847084.

        【注解】

        [1]注意復(fù)數(shù)的平方根有兩個(gè)值(它們相差一個(gè)符號(hào)),本文中的所有平方根都可以取其兩個(gè)值中的任意一個(gè)值,最終得到的解是完全相同的(除了根的編號(hào)可能不同之外),這可以稱為方根取值的自由性原則,它的原理其實(shí)就隱含在下面對(duì)各求根公式的推導(dǎo)過程中,因?yàn)槲覀儗?duì)其中出現(xiàn)的平方根都沒有限定它取哪一個(gè)值,即它可以取任意一個(gè)值. 在實(shí)際應(yīng)用中,為了方便計(jì)算,可約定各求根公式中的平方根全都取主值(參見附錄1).

        [2]對(duì)于任意非零復(fù)數(shù)a,我們總可以選取平方根-b2-3ac9a2的一個(gè)值使得它滿足-b2-3ac9a2=-(b2-3ac)3a(因?yàn)?(b2-3ac)3a2=-b2-3ac9a2,所以-(b2-3ac)3a必為-b2-3ac9a2的一個(gè)值),參見附錄1和注1.

        [3]當(dāng)D=0時(shí)方程的根由式(23)給出(其中的系數(shù)可取復(fù)數(shù)值).

        [4]即當(dāng)關(guān)鍵比χ為虛數(shù)時(shí).

        [5]即當(dāng)關(guān)鍵比χ的分母為0而分子不為0時(shí).

        [6]即當(dāng)關(guān)鍵比χ的分母和分子都為0時(shí).

        附錄1 復(fù)數(shù)的方根及其性質(zhì)

        設(shè)|Z|為復(fù)數(shù)z的模,θ為其幅角主值(-π<θ≤π),其n次方根nz的一般值為

        nz=n|z|e琲(θ+2kπ)/n=n|z|cosθ+2kπn+isinθ+2kπn,(k∈Z) ,

        當(dāng)k=0,1,2, …, n-1時(shí),上式正好給出n個(gè)不同的值,我們可以把k=0對(duì)應(yīng)的值即|z|e琲θ/n稱為nz的主值. 易見復(fù)數(shù)的方根有下面的性質(zhì):

        nz1z2=nz1·nz2.

        鑒于復(fù)數(shù)方根的多值性,上式中等號(hào)的意義是等式兩邊的值的集合相同,更具體地說,我們可以對(duì)它作如下更精細(xì)的解釋:

        (1)nz1的任意一個(gè)值和nz2的任意一個(gè)值相乘都是nz1z2的一個(gè)值.

        (2)固定nz1的一個(gè)值,當(dāng)nz2取遍其所有值(共n個(gè))時(shí),乘積nz1·nz2取遍nz1z2的所有值.

        (3)nz1z2的任意一個(gè)值都可以表示為nz1的任意一個(gè)值和nz2的一個(gè)值的乘積.

        【參考文獻(xiàn)】

        (美)迪克森(L.E.Dickson)著.黃緣芳譯.代數(shù)方程式論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2011.

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        根的判別式的應(yīng)用問題
        判別式四探實(shí)數(shù)根
        根的判別式應(yīng)用“大超市”
        關(guān)于判別式法求函數(shù)的值域的進(jìn)一步探究
        速讀·下旬(2016年7期)2016-07-20 08:50:28
        例析用判別式法求分式函數(shù)值域之困惑
        判別式的常見錯(cuò)用、誤用辨析
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