谷春安 陸建軍

【摘要】對稱數(shù)是包羅萬象且又深刻的，難能一書言盡，一書說透.本文將闡述的是關(guān)于對稱數(shù)的基本性質(zhì)、對稱數(shù)的分布圖像、對稱數(shù)研究的目標意識等內(nèi)容.

【關(guān)鍵詞】對稱數(shù)；性質(zhì)；圖像；目標

拙作《探幽對稱數(shù)》發(fā)表于《數(shù)學學習與研究》第9期上，該文僅僅是我們的初步研究成果.在后續(xù)再探索中，我們又加深并拓展了對對稱數(shù)的認識，于是以“再探對稱數(shù)”為題，進一步闡析對稱數(shù).

一、“對稱數(shù)的基本性質(zhì)”補遺

在《探幽對稱數(shù)》一文中已闡述過對稱數(shù)的基本性質(zhì)，為更全面、深入地認識對稱數(shù)，本文再補充一些關(guān)于對稱數(shù)基本性質(zhì)的內(nèi)容.

1.在疊減法則下，任意三檔以上對稱數(shù)都可以拆成兩個或兩個以上的對稱數(shù).

如：

2.任意兩個對稱數(shù)相乘，如果其乘法豎式里沒有相乘、相加進位，其結(jié)果一定是對稱數(shù).

如：313×20002=6260626，1221×202202=246888642.

很顯然，能滿足“乘法豎式里沒有相乘、相加進位”條件的，一般是兩個相乘的對稱數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字都比較小.

3.如果一個對稱數(shù)各位上的數(shù)是2或3，4，5，6，7，8，9的倍數(shù)，那么這個對稱數(shù)就一定能夠被2或3，4，5，6，7，8，9整除，且商一定是對稱數(shù).

如：36963各位上的數(shù)都是3的倍數(shù)，則36963÷3=12321；8448448各位上的數(shù)都是4的倍數(shù)，則8448448÷4=2112112.

4.同檔級對稱數(shù)中，有較多的對稱數(shù)具有整除性；不同檔級對稱數(shù)中，也有一些對稱數(shù)具有整除性.

如：464÷232=2，363÷121=3，4884÷1221=4，5555÷1111=5，60006÷10001=6，777777÷111111=7，59895÷5445=11，1430341÷130031=11，4376734÷43334=101.

二、對稱數(shù)分布圖像

對稱數(shù)在多位數(shù)中的分布是極其廣泛的，那么它們的分布狀況能否說明某些數(shù)學問題呢？請先看下面的對稱數(shù)分布圖像.

三檔對稱數(shù)分布圖像

四檔對稱數(shù)分布圖像

五檔對稱數(shù)數(shù)量比起三、四檔對稱驟然增加了許多，很難在方寸紙上將其完整的分布圖像描繪出來，于是只顯示了其中的一小部分.

五檔對稱數(shù)分布圖像

觀察、分析如上三、四、五檔對稱數(shù)分布圖像，能夠發(fā)現(xiàn)多位數(shù)中對稱數(shù)分布的一些規(guī)律.

1.任意檔級對稱數(shù)數(shù)量都是一個常數(shù)，如三、四、五檔對稱數(shù)數(shù)量分別是90，90，900個.

2.不同檔級對稱數(shù)的分布圖像猶如依序排列的9盞豎直懸掛著的日光燈那樣，一截一截的，亮白亮白的.而且每“截”上的所有對稱數(shù)的外檔都是相同的，如三檔對稱數(shù)中外檔為“6”的10個對稱數(shù)都分布在600～700這截數(shù)域間；五檔對稱數(shù)中外檔為“1”的100個對稱數(shù)都出現(xiàn)在10000～20000的數(shù)域間.

3.在0～100、0～1000、0～10000……中分別都沒有三、四、五檔……對稱數(shù).

4.同一檔級對稱數(shù)在相應數(shù)域的分布數(shù)量是均等的，如三檔對稱數(shù)在100～200中有10個，在200～300中也有10個，在300～400中還是10個.換句話說，就是同一檔級對稱數(shù)中，外檔為“1，2，3，4，5，6，7，8，9”的對稱數(shù)數(shù)量都是同樣多.

5.如果像三檔、四檔對稱數(shù)分布圖像那樣把各個數(shù)域中大小順序相應的對稱數(shù)用虛線連接起來，可以得到9條連線，且這些連線是逐步上揚、相互平行的.

6.用“對稱數(shù)分布圖像法”去檢索多位數(shù)中的對稱數(shù)，比起“對稱數(shù)圖譜法”更直觀、簡便.

三、對稱數(shù)問題研究的目標意識

致力于對稱數(shù)問題研究，直至初步建立起對稱數(shù)理論，其目標意識是什么呢？

1.在于發(fā)展數(shù)學科學

數(shù)學科學和世間事物一樣，都需要發(fā)展.

推動數(shù)學科學發(fā)展的途徑是多樣的，而探索者首選的則是為數(shù)學知識大廈增添新內(nèi)容，因為他們清楚地看到數(shù)學知識大廈其實就是一個個微觀知識的累積，是由諸如自然數(shù)、整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、函數(shù)、三角形、圓錐體等局部知識共同構(gòu)建的.對稱數(shù)問題研究，是從廣袤的自然數(shù)中擇取自身特點明顯的對稱數(shù)作為研究對象的探索過程，其中包括對稱數(shù)相關(guān)概念、計算方法的提出，以及對稱數(shù)的特點、性質(zhì)的探析，直至初步建立起對稱數(shù)知識體系.很顯然，“對稱數(shù)”擴充了數(shù)學知識寶庫，這是其一.

其二，對稱數(shù)問題，開墾了一方數(shù)學地塊.這對于激發(fā)人們關(guān)注數(shù)學現(xiàn)象的主動性、自覺性，對于增強數(shù)學意識，對于提升數(shù)學觀察和數(shù)學思考能力都有直接的、積極的作用.提升這樣的數(shù)學科學態(tài)度，能助力數(shù)學科學的發(fā)展進步.

其三，“九族制等差遞進式列數(shù)方法”圖譜和用組合計算方法求不同多位數(shù)的對稱數(shù)的過程，其本身就是數(shù)學思想的擴充與發(fā)展.人們一旦具備了這樣的數(shù)學思想，就能夠從容面對紛紜復雜的情境，進而冷靜思考、深入研判.再者，位數(shù)較多多位數(shù)的對稱數(shù)數(shù)量問題是一個富有挑戰(zhàn)性的問題，可能會喚起眾多愛好者去探究.

2.讓“對稱數(shù)”走進中小學數(shù)學課本

2005年全市小學畢業(yè)考試，我命制了“像121，454這樣的數(shù)叫作對稱數(shù)，請寫出一個是五位數(shù)的對稱數(shù)（）”的填空題，結(jié)果80%以上的學生都寫出來了，這說明在小學進行對稱數(shù)教學是可行的.同時，“對稱數(shù)”研究起源于中國大地上，理應走進我國中小學數(shù)學課本.

可以考慮按照對稱數(shù)知識的層次性，分別在中小學數(shù)學課本里各編排一、兩個章節(jié)的“對稱數(shù)”教學內(nèi)容.小學課本宜在“比和比例”之后作安排，小學教學“對稱數(shù)”至少有如下兩個好處.

（1）有利于發(fā)展數(shù)感

對稱數(shù)是很有特色的一類數(shù)，學生認識對稱數(shù)時，首先是從它的數(shù)相特征去體悟的，這種由數(shù)相而認識對稱數(shù)的過程就是數(shù)感.很顯然，學生認識對稱數(shù)過程中，直觀、敏捷的數(shù)感能力也會隨之發(fā)展.

（2）有利于發(fā)展數(shù)學能力

對稱數(shù)的基本性質(zhì)這一塊是極好的小學數(shù)學教學內(nèi)容.具體教學時，教師先舉出62332616235326這一組數(shù)，讓學生以比對的方法，發(fā)現(xiàn)“對稱數(shù)去掉或添上對稱軸數(shù)，結(jié)果一定是對稱數(shù)”的規(guī)律.接著，再出示一些素材，要求學生用比對、計算的做法去探索對稱數(shù)的其他規(guī)律.在教師的引領(lǐng)和學生自己相互啟發(fā)、共同幫助下能夠得出：①對稱數(shù)去掉或添上兩個或幾組相對應的數(shù)，結(jié)果一定是對稱數(shù)；②在不進位加、不退位減的條件下，對稱數(shù)的兩個相對應的數(shù)加、減同一個數(shù)，或整個對稱數(shù)各位上的數(shù)同時加、減同一個數(shù)，結(jié)果一定是對稱數(shù)；③對稱數(shù)相對應的兩個數(shù)的比或幾組相對應的數(shù)的和的比，一定是1∶1；④同一種檔級對稱數(shù)中任意兩個對稱數(shù)相加減，在不進位加、不退位減的條件下，結(jié)果一定是對稱數(shù).

與分數(shù)基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)教學相比，對稱數(shù)知識教學中不僅發(fā)現(xiàn)規(guī)律的途徑別樣，而且規(guī)律內(nèi)容的寬泛性也是前者不可比擬的，因而更能有效地發(fā)展學生的數(shù)學能力.這些就是“對稱數(shù)”的教學意義所在.

如果在中學的“組合”后安排對稱數(shù)教學，不僅能使學生意識到對稱數(shù)其實是一種特殊組合的數(shù)，而且可以讓學生用組合的方法去求多位數(shù)中的對稱數(shù)的數(shù)量來，并由此深入到對稱數(shù)率的探索中.此外，“等差數(shù)列”一章可提出兩個公差相等或不相等的由對稱數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，讓學生去探究這些等差數(shù)列之間的關(guān)系，以拓展等差數(shù)列知識的寬度，深化對等差數(shù)列的認識.

3.張揚均衡、和諧理念

對稱數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，既有均衡之性，又有和諧之意.

于是，人們造物、立事都應秉承均衡、和諧之義.比如機器制造，哪怕是一塊鐵片的薄厚、螺孔之間的相應位置都要講究均衡性，否則會因其受力不勻而發(fā)生炸裂的嚴重后果.又如生態(tài)系統(tǒng)，各物種之間必須相互依存，均衡發(fā)展，切不可有欺小凌弱、一花獨放的局面.再大到治山、治水、治理社會的活動，我們更應切實遵循均衡性、和諧性規(guī)律.

此外，探索對稱數(shù)與生產(chǎn)、生活、科學技術(shù)的相互關(guān)聯(lián)，關(guān)注對稱數(shù)的實際應用也是對稱數(shù)研究的重要目標之一.