楊云顯

一、問(wèn)題緣起

最近在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)列性質(zhì)解決問(wèn)題的過(guò)程中涉及一道題的兩種不同解法，感覺(jué)非常有道理有依據(jù)的兩種思路方法在針對(duì)同一題目的解答中卻產(chǎn)生了截然不同的結(jié)果，究竟錯(cuò)在哪里？錯(cuò)因是什么？怎樣糾正？問(wèn)題探究和解決的過(guò)程，看似曲折，卻始終讓人興趣盎然，使師生在應(yīng)用和實(shí)踐中更加深了對(duì)數(shù)列知識(shí)的正確理解，促進(jìn)了學(xué)生綜合分析能力和應(yīng)用能力的提高.

這個(gè)數(shù)列問(wèn)題敘述如下：

設(shè){a璶}，{b璶}均為等差數(shù)列，S璶，T璶分別為{a璶}，{b璶}的前n項(xiàng)和，且S璶T璶=7n+2n+3，試求a7b7的值.

這是一道考查數(shù)列公式和性質(zhì)的經(jīng)典題，大多數(shù)人習(xí)慣于使用以下第一種思路來(lái)解決.

先來(lái)看第一種方法思路的依據(jù)和證明：

等差數(shù)列性質(zhì)1：m，n，p，q∈N*，若m+n=p+q，則a璵+a璶=a璸+a璹；

特別地，如果2m=p+q，則2a璵=a璸+a璹.（證明略）

等差數(shù)列性質(zhì)2：若{a璶}，{b璶}均為等差數(shù)列，S璶，T璶分別為{a璶}，{b璶}的前n項(xiàng)和，則

a璶b璶=S2n-1T2n-1（n∈N*）.

性質(zhì)2證明：ⅰ）若n=1，則a1b1=S1T1，顯然成立；

ⅱ）當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，由性質(zhì)1，2a璶=a1+a2n-1，2b璶=b1+b2n-1，所以

a璶b璶=2a璶2b璶=a1+a2n-1b1+b2n-1=2n-12a1+a2n-12n-12（b1+b2n-1）①， 因?yàn)榈炔顢?shù)列前n項(xiàng)和公式為S璶=n（a1+a璶）2，所以

①式變?yōu)椋篴璶b璶=2n-12a1+a2n-12n-12b1+b2n-1=S2n-1T2n-1.

性質(zhì)2的結(jié)論，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)的證明，也可以采用將“S璶=na中” 這一等差數(shù)列和的性質(zhì)逆向應(yīng)用到上面比例式而得到結(jié)論的方法.

直接應(yīng)用性質(zhì)2就是解決上面例題的第一種方法思路：

因?yàn)镾璶，T璶分別為等差數(shù)列{a璶}，{b璶}的前n項(xiàng)和，又S璶T璶=7n+2n+3，

所以a7b7=S13T13=7×13+213+3=9316.

再來(lái)看第二種方法思路的依據(jù)：

數(shù)列的基本性質(zhì)：若S璶為數(shù)列{a璶}的前n項(xiàng)和，則a璶=S1，（n=1），S璶-S璶-1，（n≥2，n∈N*）.

根據(jù)上面數(shù)列的基本性質(zhì)，可得到解決例題的方法思路2：

由基本性質(zhì)a7=S7-S6，b7=T7-T6，

因?yàn)镾璶T璶=7n+2n+3，設(shè)S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k為非零常數(shù)），

則a7b7=S7-S6T7-T6=51k-44k10k-9k=7.

使用第一種思路方法得到a7b7=9316，使用第二種思路方法得到a7b7=7.

使用兩種不同的方法解答卻產(chǎn)生了不同的結(jié)果，問(wèn)題究竟出在哪里？?jī)煞N方法使用的依據(jù)都是正確的，按理兩種思路方法都能夠順利進(jìn)行下去并產(chǎn)生正確的結(jié)果.分析起來(lái)，肯定還是有一種思路方法的運(yùn)用過(guò)程中出現(xiàn)了不易發(fā)覺(jué)的錯(cuò)誤！

二、找出“美麗”錯(cuò)誤，增進(jìn)問(wèn)題理解

首先，性質(zhì)1和性質(zhì)2是等差數(shù)列和的重要性質(zhì)，是經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明成立和認(rèn)可的.第一種方法是使用性質(zhì)2代入n=7直接得到結(jié)果，即a7b7=S13T13=7×13+213+3=9316，中間沒(méi)有其他推理和變形，因此我們可以斷定這種解答的結(jié)果是正確的.那就初步斷定第二種思路方法得到的結(jié)果肯定是錯(cuò)誤的！ 弄清錯(cuò)在何處和錯(cuò)誤原因是我們希望研究清楚的問(wèn)題.我們需要對(duì)使用第二種思路方法解答的每一步驟進(jìn)行細(xì)致的分析！

對(duì)所有數(shù)列來(lái)說(shuō)，若S璶為數(shù)列a璶的前n項(xiàng)和，則a璶=S1，（n=1），S璶-S璶-1，（n≥2，n∈N*），這個(gè)性質(zhì)也是恒成立的，因此a7=S7-S6，b7=T7-T6的使用不存在任何問(wèn)題.

這樣，可供反思的環(huán)節(jié)就落在根據(jù)S璶T璶=7n+2n+3，設(shè)S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k為非零常數(shù)）這個(gè)看似順理成章的步驟上了.在解決有關(guān)比例問(wèn)題的題目中，我們經(jīng)常把比例式設(shè)為上述形式，例如“已知ab=35，求2a-b3a+2b的值”的問(wèn)題中，我們就是設(shè)a=3k，y=5k（k≠0），代入目標(biāo)式也就可以馬上得到正確結(jié)果了.

因此， 由題意條件S璶T璶=7n+2n+3，設(shè)S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k為非零常數(shù)）看起來(lái)順理成章，剩下后面計(jì)算也沒(méi)有錯(cuò)，這個(gè)解答似乎也沒(méi)有什么問(wèn)題！但是，在確信方法1正確的基礎(chǔ)上，肯定是第二種的解答出現(xiàn)了問(wèn)題，但究竟錯(cuò)在哪一步驟呢？找錯(cuò)似乎也不是一件簡(jiǎn)單的事，其實(shí)，本題第二種思路的解答過(guò)程中確實(shí)犯了一個(gè)隱蔽的“美麗”錯(cuò)誤！

要找出其中的錯(cuò)誤，我們有必要從等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的特點(diǎn)說(shuō)起：

若S璶為等差數(shù)列a璶的前n項(xiàng)和，a1為首項(xiàng)，d為公差，則S璶=n（a1+a璶）2=na1+n（n-1）2d.

由S璶=na1+n（n-1）2d，可得S璶=d2n2+a1-d2n，可以看出：S璶是關(guān)于變量n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù).當(dāng)然，也可以證明，S璶是關(guān)于變量n的含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)時(shí)，a璶不成等差數(shù)列（證明略）.

回歸例題，已知S璶，T璶分別為等差數(shù)列{a璶}，{b璶}的前n項(xiàng)和，而S璶T璶=7n+2n+3，形式卻是兩個(gè)關(guān)于變量n的一次函數(shù)的比值，因此我們已經(jīng)可以看出問(wèn)題了，在第二種方法思路解答過(guò)程中，我們根據(jù)S璶T璶=7n+2n+3，設(shè)S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k為非零常數(shù)），得到的兩等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S璶 ，T璶還是一次函數(shù)的形式，根本就不符合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的特點(diǎn)，結(jié)果出錯(cuò)也就在所難免了！

三、糾錯(cuò)使好方法變得完美，讓研究者能力提升

單單找到了方法2致錯(cuò)的原因，還很不夠，如果把這樣的錯(cuò)誤再直接歸結(jié)為題目給出的信息不直接的話，則就更大錯(cuò)特錯(cuò)了，這就會(huì)失去很好的鍛煉創(chuàng)新思維的機(jī)會(huì)，我們還應(yīng)該找出正確的解決辦法.

若S璶，T璶分別為等差數(shù)列{a璶}，{b璶}的前n項(xiàng)和，在S璶T璶=7n+2n+3形式下，能否有滿足題意的S璶和T璶的二次形式存在？答案是肯定的！可以逆向?qū)⒁淮巫優(yōu)槎?，使形式符合要求?/p>

在已知S璶T璶的比例中，S璶=na1+n-12d1，T璶=nb1+n-12d2，可以看出，得到S璶T璶=7n+2n+3，比例是由n的二次之比變?yōu)橐淮沃龋紫燃s去了變量n，又常數(shù)a1，d1以及b1，d2也可能出現(xiàn)相同的常數(shù)公約數(shù)，因此我們可以認(rèn)為：分子分母約去了一個(gè)關(guān)于n的正比例系數(shù)kn（k為非零常數(shù)），這樣可以設(shè)S璶=（7n+2）kn，T璶=（n+3）kn（k為非零常數(shù)），仍然使用上面的思路方法2來(lái)解決上面的例題.

a7=S7-S6=（7×7+2）·7k-（7×6+2）·6k=93k，

b7=T7-T6=（7+3）·7k-（6+3）·6k=16k，

所以a7b7=S7-S6T7-T6=93k16k=9316.

這樣就得到和依據(jù)思路方法1相同的結(jié)果了. 因此，開(kāi)始得到不同結(jié)果，既不是思路方法的問(wèn)題，也不是題目自身的問(wèn)題，還是解題過(guò)程我們不顧條件盲目套用公式導(dǎo)致矛盾的問(wèn)題.