江秉華

【摘要】數(shù)學(xué)期望在社會經(jīng)濟生活中應(yīng)用十分廣泛，涉及經(jīng)濟、生活、法律、醫(yī)學(xué)、體育等諸多領(lǐng)域，例如資金投資問題、決定生產(chǎn)批量問題、商品流通問題、試驗決策問題、機器故障問題、彩票、保險、求職問題、民事糾紛問題、疾病普查問題、競賽選拔問題等等.本論文將初步從上列領(lǐng)域中進行研究數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，探索運用數(shù)學(xué)期望解決各類問題的可行性和簡便性.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)期望；經(jīng)濟；生活；應(yīng)用

【中圖分類號】021

1.引 言

數(shù)學(xué)期望的定義：

設(shè)隨機變量ξ的分布列為

若А苅xipi<∞，則稱ξ的數(shù)學(xué)期望存在，記為Eξ=А苅xipi，否則稱ξ的數(shù)學(xué)期望不存在.

2.數(shù)學(xué)期望在產(chǎn)品銷售問題中的應(yīng)用

例1 設(shè)國際市場每年對我國某種出口商品的需求量X（噸）服從區(qū)間[2000，4000]上的均勻分布.若售出這種商品1噸，可掙得外匯3萬元，但如果銷售不出而囤積于倉庫，則每噸需保管費1萬元.問應(yīng)預(yù)備多少噸這種商品，才能使國家的收益最大？

解 設(shè)預(yù)備這種商品y噸（2000≤y≤4000），則收益（萬元）為

當(dāng)y=3500噸時，上式達到最大值.所以預(yù)備3500噸此種商品能使國家的收益最大，最大收益為8250萬元.

3.數(shù)學(xué)期望在商品流通問題中的應(yīng)用

例2 春季某服裝店計劃訂購一批夏季服裝，根據(jù)以往經(jīng)驗來預(yù)測，這批新服裝銷售量為40，100，120（件）的概率分別為0.2，0.7，0.1，這件夏季服裝的訂購價為60元，銷售價為100元，如果夏季售不出以后處理每件為40元，試由概率統(tǒng)計知識來預(yù)測應(yīng)訂購多少件新服裝？

分析 售出一件服裝能得到利潤40元，處理后剩書則將虧損20元，為決定進貨量，應(yīng)先求出在不同銷售量時盈利的數(shù)學(xué)期望.

解 （1）訂購40件，銷售40件，盈利為40×（100-60）=1600（元），

則：Eξ1=1600元.

（2）訂購100件，銷售40件、100件，盈利分別為40×100-100×60+60×40=400（元），

100×（100-60）=4000（元），

則：Eξ2=400×0.2+4000×0.7+4000×0.1=4000（元）.

（3）訂購120件，銷售40件、100件、120件時的盈利分別為40×100-120×60+80×40=0（元），100×100-120×60+20×40=3600（元），

120×（100-60）=4800（元），

則：Eξ3=0×0.2+3600×0.7+4800×0.1=3000（元）.

根據(jù)盈利的數(shù)學(xué)期望大小，決定訂100件這樣的夏季服裝.

4.數(shù)學(xué)期望在試驗決策問題中的應(yīng)用

例3 假設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（μ，1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品.銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系：

T=-1， 若X<10，

20， 若10≤X≤12，

-5， 若X>12.

問：平均直徑μ取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？

解 E（T）=-P{X<10}+20P{10≤X≤12}-5P{X>12}=-P{X-μ<10-μ}+20P{10-μ≤X-μ≤12-μ}-5{X-μ>12-μ}=-φ（10-μ）+20[φ（12-μ）-φ（10-μ）]-5[1-φ（12-μ）]=25φ（12-μ）-21φ（10-μ）-5.

兩邊取對數(shù)有

由此可得，當(dāng)μ=10.9毫米時，平均利潤最大.

5.數(shù)學(xué)期望在有獎銷售中的應(yīng)用

例4 某商店在年末大甩賣中進行有獎銷售，搖獎時從搖箱搖出的球的可能顏色為：紅、黃、藍、白、黑五種，其對應(yīng)的獎金額分別為：10000元、1000元、100元、10元、1元.假定搖箱內(nèi)裝有很多球，其中紅、黃、藍、白、黑的比例分別為：0.01%，0.15%，1.34%，10%，88.5%，求每次搖獎?chuàng)u出的獎金額平均值.

解 每次搖獎?chuàng)u出的獎金額X是一個隨機變量，易知它的分布律為

可見，平均起來每次搖獎的獎金額不足6元.這個值對商店作計劃預(yù)算時是很重要的.

6.數(shù)學(xué)期望在日常生活中的應(yīng)用

例5 某人回家探親購買了上午9點的火車票，當(dāng)日上午8：50從家乘汽車到火車站，途中有3個交通崗，假設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是0.4，遇到紅燈汽車需要等候5分鐘，問此人能否在9點前到達火車站不耽誤上火車？

解 設(shè)X為途中遇到的紅燈的次數(shù)，易知X～b（3，0.4），故

P{X=k}=Ck30.4k0.63-k，（k=0，1，2，3）.

則X的分布律為：

0.4=1.2，所以此人到達車站時間為8：56，能夠按時上火車.

【參考文獻】

[1]魏宗舒等編.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].高等教育出版社，2001.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅編.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第三版）[M].浙江大學(xué)出版社，2003.

[3]孫榮恒編著.應(yīng)用概率論（第三版）[M].科學(xué)出版社，2001.

[4]劉淑環(huán).數(shù)學(xué)期望在民事糾紛中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2007.