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        有耗色散介質(zhì)中的FDTD方法

        2012-04-29 06:09:46李慶偉
        環(huán)球市場信息導(dǎo)報 2012年4期
        關(guān)鍵詞:媒質(zhì)駐波色散

        李慶偉

        該文討論了時域有限差分(FDTD)法在地下有耗色散介質(zhì)中的應(yīng)用。用數(shù)值模擬地下有耗色散目標(biāo)的瞬態(tài)響應(yīng),并對結(jié)果進(jìn)行了分析。從以上工作可看出該方法在有耗色散介質(zhì)中是有效可行的。

        時域有限差分;有耗色散介質(zhì);Debye方程;吸收邊界條件;STWBC邊界

        用時域有限差分法(FDTD)分析與頻率無關(guān)的非色散的復(fù)雜電磁場問題具有顯著的優(yōu)越性。對單色穩(wěn)定電磁波的問題,媒質(zhì)的色散性質(zhì)不產(chǎn)生影響,對窄頻帶的問題也可以近似地忽略媒質(zhì)的色散特性,但對包含寬頻譜的瞬態(tài)電磁場問題,媒質(zhì)的色散性質(zhì)起著重要作用。對于諸如與頻率有關(guān)的電磁場問題分析計算時,由于存在著時域卷積,計算現(xiàn)時的場量與先前時刻的場量有關(guān),因此在FD-TD計算中則必須將前時刻所有的場量儲存起來,這顯然是不可行的,使得常規(guī)的YEE FDTD方法無法應(yīng)用。然而FD-TD法經(jīng)修正后仍可用于分析特殊色散媒質(zhì)中瞬時傳播問題。

        近年來國內(nèi)外不少研究人員對色散媒質(zhì)FDTD法進(jìn)行了研究,代表性的研究方法主要有兩種:遞推卷積法(Luebbers等-1990)和直接微分法。由于很多色散媒質(zhì)的極化率都無法表示為指數(shù)形式,因此無法應(yīng)用這種遞推卷積方法,另外,即使極化率可以表示成指數(shù)形式,但每種色散媒質(zhì)都必須單獨(dú)推導(dǎo)自己的FDTD方程。顯然這種遞推法的通用性不強(qiáng),使用極其不便。直接微分法則依據(jù)本構(gòu)關(guān)系的時域微分方程,建立輔助微分方程,最終通過求解關(guān)于矢量H,D,E的時域差分方程組得到場解。本文擬從直接微分法出發(fā)探討FDTD法在有耗色散介質(zhì)中的應(yīng)用。

        1.實現(xiàn)方法

        基本方程式。無源有耗(不考慮磁損耗,即)色散媒質(zhì),時域內(nèi)的Maxwell方程為(1)

        其中,E-電場強(qiáng)度(V/m);H-磁場強(qiáng)度(A/m);B-磁通密度(Wb/m2),D-電通密度(C/m2);-電導(dǎo)率(S/m);-磁導(dǎo)率(H/m),這里設(shè)磁導(dǎo)率與頻率無關(guān),即,。

        以二維TM波為例,采用Yee氏網(wǎng)絡(luò),由(1)式中第一式可得到H各分量在t=n△t時刻隨時間推進(jìn)的FDTD公式:

        (2)

        其中,為每一計算區(qū)域的值,為等距空間步長。

        將(1)式中第二式在t=(n+1/2)△t時刻做差分離散,可得(即(3)

        按照Yee氏網(wǎng)絡(luò),可得Dz分量的FDTD公式:

        (4)

        轉(zhuǎn)換公式。下面通過直接微分法實現(xiàn)由D到E的轉(zhuǎn)換:

        設(shè)介質(zhì)為一階Debye型有耗色散介質(zhì),可以寫成以下形式

        (5)

        式中,為復(fù)介電系數(shù),為真空介電常數(shù),分別為靜態(tài)和無限頻率的相對介電常數(shù),為電導(dǎo)率,為馳豫時間常數(shù)。

        將(5)式代入色散介質(zhì)頻域本構(gòu)關(guān)系,可得 (6)

        即(7)

        利用頻域到時域的算子轉(zhuǎn)換關(guān)系,可得(7)式的時域方程為=(8)

        將(8)式在t=(n+1/2)△t時刻離散,可得

        (9)

        即+ (10)

        由此可以得到時域中由D到E轉(zhuǎn)換的FDTD公式

        (11)

        其中

        在以上各式中,對二維TM波,考慮解的穩(wěn)定性及FDTD法的收斂條件,可取

        綜上所述,有耗色散介質(zhì)中FDTD隨時間推進(jìn)的的步驟為,通過式(2)、(4)、(11),依次計算出各分量。

        2.吸收邊界條件

        吸收邊界條件。用FDTD求解電磁場問題時假定空間是無限大的,受計算機(jī)存儲量和計算時間的限制,F(xiàn)DTD的計算只能在有限區(qū)域進(jìn)行。為了使框定的有限空間與無限空間等效,在計算區(qū)域的截斷邊界處必須給出吸收邊界條件。使得向邊界面行進(jìn)的波在邊界處無明顯的反射現(xiàn)象。吸收邊界條件的選取與合理設(shè)置是FDTD法計算中必須考慮的重要內(nèi)容。

        吸收邊界條件從開始簡單的插值邊界,到后來較常用的Engqusit-Majda的吸收邊界條件(Engqusit and majda,1977),Mur吸收邊界(Mur,1981),Lao吸收邊界條件(Liao et al.,1984)以及近年發(fā)展的PML完全匹配層(Berenger,1994)和UPML各向異性介質(zhì)完全匹配層(Sacks 1995,Genney 1996)。其吸收效果越來越好。

        駐波-行波吸收邊界條件(STWBC)。PML邊界體現(xiàn)了更大的優(yōu)越性,其缺點(diǎn)在于復(fù)雜性和適應(yīng)性,如果是研究有耗問題或色散問題,PML的應(yīng)用困難將會大大增加。Tan于2001年提出的駐波-行波吸收邊界條件(STWBC),由于該邊界比單向波邊界所需計算空間小,數(shù)值穩(wěn)定性好,同時不象PML邊界需要進(jìn)行場量分離和附加額外的吸收層,因此計算效率較高。

        駐波-行波邊界是在計算區(qū)域邊界處加理想導(dǎo)體,根據(jù)電磁場理論,波到達(dá)邊界面將發(fā)生全反射,若是理想導(dǎo)電(磁)壁,則切向電(磁)場為零,切向磁(電)場是入射場的兩倍,這是嚴(yán)格正確的。同時,反射場將往回傳播,在區(qū)域內(nèi)部形成駐波,隨時間推移,駐波逐漸向內(nèi)部擴(kuò)展,而反射波未到達(dá)區(qū)域,場仍保持行波狀態(tài)。由于FDTD算法具有時序性,即由前時刻場推導(dǎo)當(dāng)前時刻場,只要在邊界處將反射波濾除,只保留入射波,在以后的時空迭代中將不存在反射場,保持了內(nèi)部區(qū)域的行波狀態(tài)。這就是駐波-行波邊界的基本思想。要將反射波濾除,只需在每個時間步迭代時將算出的邊界上切向磁場(對理想導(dǎo)電壁邊界而言)或切向電場(對理想導(dǎo)磁壁邊界而言)除以2即可。

        下面給出STWBC邊界場的差分格式。以自由空間二維場為例,設(shè)電場分量為Ez,磁場分量為Hy,Hx,按Yee氏網(wǎng)格差分格式,設(shè)Ez位于整數(shù)個網(wǎng)格上,與Hy,Hx相差半個網(wǎng)格,二維計算空間兩端序號分別為0-M,0-N,等距空間步長為,時間步長為?,F(xiàn)在給出右端的吸收邊界條件,在0.5處加理想導(dǎo)電壁,引入輔助電場(0.5=0

        由二維FDTD方程有

        0.5,1,0.5,

        對上式作一階修正,得右端邊界入射磁場迭代式為

        其他各端邊界條件與此類似,式中。

        3.數(shù)值驗證

        圖1第400時間步,波在色圖2觀察點(diǎn)在前2000

        散介質(zhì)空間的傳播情況 時間步的電場隨時間變化情況

        用上述FDTD算法模擬一維TEM波在色散介質(zhì)中的傳播,兩端的截斷處應(yīng)用駐波-行波吸收邊界條件。色散介質(zhì)的復(fù)數(shù)介電系數(shù)如式(5)所示,且=2.1491,=4.497,=8.5836,=8.3764,時間步長=8,空間步長為=0.005m,計算區(qū)域為,點(diǎn)源位置觀察點(diǎn)位置,所加激勵源為高斯脈沖,。

        如圖所見,修正的FDTD公式還是能夠很好模擬TEM波在在色散介質(zhì)中的傳播的。本文從直接微分法出發(fā)探討FDTD法在有耗色散介質(zhì)中的應(yīng)用,同時應(yīng)用駐波—行波吸收邊界條件(STWBC),實現(xiàn)對邊界條件的處理。該邊界比單向波邊界所需計算空間小,數(shù)值穩(wěn)定性好,因此計算效率較高。通過數(shù)值驗證,可看出該方法在有耗色散介質(zhì)中是有效可行的。

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