陸健

高考物理既要考查學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的掌握程度，又要考查學(xué)生綜合分析問題的能力，這就要求學(xué)生在解決物理問題時(shí)能靈活運(yùn)用知識(shí)，從不同角度或用不同的方法來解決物理問題，這離不開應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法. 而基本不等式a+b≥2■（a＞0，b＞0，a=b時(shí)，公式取等號(hào)）多次成為近幾年各地高考中解決物理試題的數(shù)學(xué)工具. 下面通過兩種情況分別加以說明.

■ 類型一：a+b=k（k為定值）

由a+b≥2■可得ab≤■=■，當(dāng)a=b時(shí)，ab乘積取最大值■.

■ 例1曉明站在水平地面上，手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉. 球飛離水平距離d后落地，如圖1所示，已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長(zhǎng)為■d，重力加速度為g，忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力.

（1） 求繩斷時(shí)球的速度大小v1和球落地時(shí)的速度大小v2；

（2） 求繩能承受的最大拉力；

（3） 改變繩長(zhǎng)，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng). 若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，求繩長(zhǎng)以及拋出的最大水平距離.

■ 解析（1） 設(shè)繩斷后球飛行時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有

豎直方向■d=■gt2，水平方向d=v1t

得v1=■

由機(jī)械能守恒定律，有

■mv22=■mv21+mgd-■d

得v2=■

（2） 設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小.

球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=■d

由圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式，有T-mg=■

得T=■mg

（3） 設(shè)繩長(zhǎng)為l，繩斷時(shí)球的速度大小為v３，繩承受的最大拉力不變，

有T-mg=m■得v3=■

繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為d-l，水平位移為x，時(shí)間為t1.

有d-l=■gt21，x=v3t1，

得x=4■.

設(shè)a=l，b=d-l，則a+b=d（定值），由基本不等式可知，當(dāng)a=b時(shí)，即

當(dāng)l=■時(shí)，x有極大值xmax=■d

■ 類型二：ab=k（k為定值）

由a+b≥2■可得a+b≥2■，當(dāng)a=b時(shí)，a，b之和取最小值2■

■ 例2如圖2所示，在投球游戲中小明坐在可沿豎直方向升降的椅子上，停在不同高度處將小球水平拋出落入固定的球框中. 已知球框距地面的高度為h0，小球的質(zhì)量為m，拋出點(diǎn)與球框的水平距離始終為L(zhǎng)，忽略空氣阻力.

（1） 小球從距地面高H0處水平拋出落入球框中，求此過程中小球重力勢(shì)能的減少量；

（2） 若小球從不同高度水平拋出后都落入球框中，試推導(dǎo)小球水平拋出的速度v與拋出點(diǎn)高度H之間滿足的函數(shù)關(guān)系；

（3） 為防止球入框時(shí)彈出，小明認(rèn)為球落入球框時(shí)的動(dòng)能越小越好，那么，他應(yīng)從多高處將球水平拋出，可使小球入框時(shí)的動(dòng)能最小，并求出該動(dòng)能的最小值.

■ 解析（1） 取地面為重力勢(shì)能的參考平面，則小球在拋出點(diǎn)的重力勢(shì)能Ep1=mgH0，小球在球框處的重力勢(shì)能Ep2=mgh0，則小球重力勢(shì)能的減少量為?駐Ep=mg（H0-h0）.

（2） 設(shè)小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則L=vt，H-h0=■gt2，解得：v=L■，（H>h0）.

（3） 由機(jī)械能守恒可知：Ek=Ek0+?駐Ep，且Ek0=■，?駐Ep=mg（H-h0），得

Ek=■+mg（H-h0），設(shè)a=mg（H-h0），b=■時(shí)，則ab=■（定值），由基本不等式可知，當(dāng)a=b時(shí)，即H=h0+■時(shí)，Ek有最小值，所以Ekmin=mgL.