魏祿山

摘 要：如何解決用軸對稱就最短距離，可以從三個(gè)方面來解決：第一，已知直線上尋找與同側(cè)兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)；第二，折線段長的最值問題，可以通過多次軸對稱變換，利用兩點(diǎn)之間線段最短求最值；第三，在已知直線上尋找與異側(cè)兩點(diǎn)距離之差最小的點(diǎn)。文章從這三個(gè)方面進(jìn)行了舉例說明。

關(guān)鍵詞：軸對稱；線段；最短距離

在研究幾條線段長之和（差）的最小或最大值時(shí)，常常需要把這些線段集中到一起，然后將其與某條長度固定的線段進(jìn)行比較。把其中的部分特殊點(diǎn)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)妮S對稱變換，是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的有效手段，現(xiàn)舉例說明。

一、為了在已知直線上尋找與同側(cè)兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，可通過軸對稱變換，把同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn)，再利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”來確定

例1 如圖1，牧童在A處放牧，其家在B處，A、B到河岸l的距離分別為AC、BD， 且A處到河岸CD中點(diǎn)的距離為500m。

（1）如牧童從A處將馬牽到河邊飲水后再回家，試問：在何處飲水，所走路程最短？

（2）最短的路程是多少？

解析：這個(gè)問題可簡述為已知直線CD和直線CD同側(cè)的兩點(diǎn)A、B，在直線CD上求一點(diǎn)M，使AM+MB 最小。

（1）如圖2，先作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A1 ，再連接A1B、A1B交CD于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求的點(diǎn)。證明如下：

在CD上任取一點(diǎn)M1 ，連接 A1M1、AM1 、BM1 、AM。

∵點(diǎn)A、 A1 關(guān)于直線CD對稱，點(diǎn)M、 M，在CD上，

∴AM=A1M1，AM1=A1M1。

∴AM+BM=A1M+BM=A1B≤A1M1+BM1=AM1+BM1。

AM+BM最小。

（2）由（1）知，A1C=AC=BD，

∴△A1CM?劾△BDM(AAS)，∴ A1M=BM=AM,CM=DM。

故M為CD中點(diǎn)，且最短路程為A1B=2AM=1000m。

二、在涉及折線段長的最值問題的，一般是通過多次軸對稱變換，利用兩點(diǎn)之間線段最短求最值。

例2 如圖3，牧童家在A處。現(xiàn)在牧童要先帶馬到河邊（圖中用直線a表示）飲水，再到草地（圖中用直線b表示）吃草，然后回家。問：牧童讓馬在何處飲水、吃草，所走的總路程最短？

解析：設(shè)點(diǎn)B、點(diǎn)C分別是馬飲水、吃草處，本題即是要求線段長之和AB+BC+CA的最小值。我們通常需要把它和固定線段相比較?？赏ㄟ^軸對稱變換，把這些線段放在同一直線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短來解決。

如圖4所示，分別作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)A'，點(diǎn)A關(guān)于直線b的對稱點(diǎn)A''。連接A'A''。A'A''交直線a于點(diǎn)B，交直線b于點(diǎn)C，則AB+BC+CA=A'B+BC+CA''＝A'A''。而對其他地點(diǎn)B'、C'，也都可以同樣轉(zhuǎn)化為A'B'+B'C'+C'A''，即為A"、A''兩點(diǎn)間的折線段的長。根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得知，線段A'A''最短，點(diǎn)B、C即為所求。

三、為了在已知直線上尋找與異側(cè)兩點(diǎn)距離之差最小的點(diǎn)，可通過軸對稱變換，把異側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同側(cè)兩點(diǎn)，利用“三角形任意兩邊之差小于第三邊”來確定

例3 如圖5，已知直線l和位于直線l異側(cè)的兩點(diǎn)A、B。其中點(diǎn)A到直線l的距離大于點(diǎn)B到直線l的距離。求作直線l上一點(diǎn)C，使AC-BC 最大。

解析：如圖6，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'，連接AB'。延長AB' 交直線l于點(diǎn)C，則AC-BC=AC-B'C=AB'。而對l上任意點(diǎn)C'，AC'-BC'=AC'-B'C' 。根據(jù)“三角形任意兩邊之差小于第三邊”，知AC'-B'C'≤AB'，即AC'-BC'≤AC-BC ，點(diǎn)C即為所求。

參考文獻(xiàn)：

[1]李長明，周煥山.初等數(shù)學(xué)研究[M].北京:高等教育出版社,

1995.

[2]劉書妹.巧用軸對稱——幫你找到最短距離[J].初中全科導(dǎo)

學(xué),2011(6).

（通渭縣花蘭寺學(xué)校）