耿新華

英國(guó)學(xué)者Pual Ernest在《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》這本書一開頭就引述Thom的話說：“事實(shí)上，無論人們的意愿如何，一切數(shù)學(xué)教學(xué)法根本上都出于某一數(shù)學(xué)哲學(xué)，即便是很不規(guī)范的教學(xué)法也如此?！?/p>

“哲學(xué)”就是看法，數(shù)學(xué)哲學(xué)就是對(duì)數(shù)學(xué)的看法。十幾年數(shù)學(xué)教學(xué)的經(jīng)歷使我對(duì)此深信不疑。我自己的“看法”就特別多，雖然也可能失之偏頗。

一、對(duì)數(shù)學(xué)的看法

我們教的是數(shù)學(xué)，天天在向?qū)W生“推銷”數(shù)學(xué)，也“推銷”自己對(duì)數(shù)學(xué)的看法。數(shù)學(xué)教育家波利亞把“不懂得你講的課題”作為數(shù)學(xué)教師“十誡”的第二誡，我理解這里的“懂得”，不僅是當(dāng)前講授的內(nèi)容，而且是整個(gè)學(xué)科的基本理論知識(shí)，以及對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的看法，即數(shù)學(xué)觀。對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，至少包含如下幾個(gè)方面。

一是對(duì)“數(shù)學(xué)真理性”的看法。傳統(tǒng)上認(rèn)為，數(shù)學(xué)是精密的科學(xué)，是絕對(duì)的真理，是各種科學(xué)真理的典范。有誰能把3+2=5推翻呢?然而“非歐幾何”使“三角形內(nèi)角之和為180°”成為相對(duì)真理；哥德爾的不完全性定理說明任何一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中總存在不能判定的命題（從而使希爾伯特的徹底形式化的計(jì)劃告吹）；悖論的出現(xiàn)，動(dòng)搖了“一勞永逸地打好基礎(chǔ)”的信念。因此，我相信數(shù)學(xué)是可變的、可爭(zhēng)的相對(duì)真理。

二是對(duì)“數(shù)學(xué)是由什么構(gòu)成”的看法。事實(shí)表明：“數(shù)學(xué)是由概念、真命題（結(jié)論）構(gòu)成”的看法是片面的，而“數(shù)學(xué)是由知識(shí)和活動(dòng)構(gòu)成”的看法符合實(shí)際，這也使我們能夠在數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了結(jié)論以外，更注重活動(dòng)和過程，更注重“做數(shù)學(xué)”在學(xué)習(xí)中的作用。

三是對(duì)“數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)”的看法。我認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是純演繹體系”的看法（盡管很流行）是不對(duì)的，因?yàn)椤岸x—定理—例題”的純演繹教學(xué)不受學(xué)生歡迎，而“數(shù)學(xué)既有演繹的一面，又有歸納的一面”，是符合數(shù)學(xué)本性的。既教猜想又教證明，普遍受學(xué)生歡迎，觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、推廣等合情推理，有越來越多的教師用于教學(xué)，效果很好。

四是對(duì)“數(shù)學(xué)教學(xué)”的看法。以往只教“硬”數(shù)學(xué)，只關(guān)心它的工具性，而忽視它的人文價(jià)值，這是不正確的。

五是對(duì)“初等數(shù)學(xué)”的看法。以往認(rèn)為初等數(shù)學(xué)（作為中學(xué)數(shù)學(xué)的主要背景和材源）是材盡能竭、發(fā)展停滯的學(xué)科。近年我國(guó)初等數(shù)學(xué)研究事業(yè)的發(fā)展證實(shí)了“初等數(shù)學(xué)是正在蓬勃發(fā)展的學(xué)科”的看法，這使得“發(fā)現(xiàn)法”、“探索式”的教學(xué)有了依據(jù)。

二、正確培養(yǎng)“數(shù)學(xué)觀念”

“數(shù)學(xué)觀念”就是人們通常所說的“數(shù)學(xué)頭腦”，它是指人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去考慮問題、處理問題與解決問題的自覺意識(shí)或思維習(xí)慣。然而，在日常教學(xué)活動(dòng)中，往往只注重了數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練的局部強(qiáng)化，而忽視了數(shù)學(xué)整體效能，忽視了數(shù)學(xué)觀念的正確形成?！皵?shù)學(xué)觀念”的形成與培養(yǎng)，應(yīng)該貫穿于教學(xué)過程的始終，教師應(yīng)發(fā)揮主導(dǎo)作用。因?yàn)?，?duì)于“數(shù)學(xué)觀念”的形成與培養(yǎng)，“理解是基礎(chǔ)，培養(yǎng)是關(guān)鍵”。

由于數(shù)學(xué)具有概念的抽象性、推理的邏輯性、論證的嚴(yán)密性、知識(shí)的系統(tǒng)性，以及應(yīng)用的廣泛性，因此在教學(xué)過程中，老師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生具有抽象意識(shí)、推理意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和整體意識(shí)，從而使學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中汲取一種理性精神，形成一種數(shù)學(xué)文化，逐步積累而形成學(xué)好數(shù)學(xué)必須具備的“數(shù)學(xué)觀念”。

三、關(guān)于貫徹“二主方針”，即教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體

作為一條重要的教學(xué)指導(dǎo)思想，我認(rèn)為至少要弄清兩層意思：一層是從現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)說上看，學(xué)習(xí)、認(rèn)知是主體的自主建構(gòu)，知識(shí)、能力、思想都是學(xué)習(xí)者在建構(gòu)過程中發(fā)生的生理、心理變化的結(jié)果，是舊結(jié)構(gòu)向新結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化，是別人替代不了的。由此得出的一條原則是：在學(xué)習(xí)中，凡是學(xué)生自己能做的（或在教師恰當(dāng)幫助指導(dǎo)下能做成的），都要讓學(xué)生自己去做。依此審視我們的許多教學(xué)措施，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，有許多（如在課堂上缺乏針對(duì)性的大量講解，背著學(xué)生評(píng)試卷，判作業(yè)，等等）都是無效的（有的甚至是有害的，如老師背著學(xué)生判作業(yè)）教學(xué)措施。由此去認(rèn)識(shí)現(xiàn)在提出的學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí)、課堂討論式等，就會(huì)認(rèn)識(shí)到是完全正確的，當(dāng)然，必須有具體恰當(dāng)?shù)慕M織和操作形式。但是，由此便否定“講授”，也是不正確的。講授也有一系列優(yōu)勢(shì)，可以是啟發(fā)式、探索式，也可以發(fā)動(dòng)學(xué)生參與（通過問題或妙語，啟迪學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)腦，留下懸念，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入較高的思維境界），講授可體現(xiàn)教師的教學(xué)技藝。在兩種形式下，教師都是在幫助學(xué)生這個(gè)主體親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程。學(xué)生當(dāng)演員，當(dāng)主角，教師不過是導(dǎo)演、導(dǎo)游、教練。即使是“講授”，也不能喧賓奪主。

另一層更為重要，關(guān)系到培養(yǎng)什么人（主人還是奴隸）的問題。試想，如果我們不尊重學(xué)生的主體地位，他不學(xué)，強(qiáng)迫他；考不好，批評(píng)他；不交作業(yè)，懲罰他，那么久而久之，他就“忘記”了是為自己，為國(guó)家而學(xué)習(xí)的，而誤認(rèn)為是為家長(zhǎng)上學(xué)，為老師做題的。今天是學(xué)習(xí)的奴隸，明天也不會(huì)意識(shí)到自己是社會(huì)的主人，這是很嚴(yán)重的問題。

四、正確看待“解題訓(xùn)練”

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞（Polya）非常重視學(xué)生的解題訓(xùn)練。他把“解題訓(xùn)練”作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種手段和途徑。在他的名著《怎樣解題》一書中，還特意列出了一張《解題表》（How to solve it）。其中心思想是談：在解題過程中應(yīng)當(dāng)如何誘發(fā)靈感，對(duì)解題過程中的“審清題意、尋求思路、制訂計(jì)劃、進(jìn)行回顧”這四個(gè)步驟，作出了詳細(xì)的說明。對(duì)我們進(jìn)行解題訓(xùn)練的教學(xué)，有很大的指導(dǎo)意義。他特別強(qiáng)調(diào)探索法，在解題過程中，要合情推理，要學(xué)會(huì)猜想。

我們的數(shù)學(xué)教育需要一種帶有創(chuàng)新意義、貫穿數(shù)學(xué)思想方法的解題訓(xùn)練。訓(xùn)練必須因地制宜，因?qū)嶋H水平而異，要以“跳一跳，能把果子摘下來”為度，以培養(yǎng)與提高能力為主。顯然，波利亞所提出的“解題訓(xùn)練”與現(xiàn)今盛行的“匹配題型+固定解法”、大運(yùn)動(dòng)量的“傻練”式的“題海戰(zhàn)術(shù)”是有根本區(qū)別的。為此，徐利治教授指出：“要培養(yǎng)一大批波利亞型的數(shù)學(xué)教師，要按照波利亞思想改革教學(xué)方法?！边@應(yīng)是我們的努力方向。應(yīng)該看到，“題?！笔侨藶榈?，是應(yīng)試教育的產(chǎn)物。如今“題?！币芽陀^存在，我們不主張師生陷入其中。因?yàn)椤邦}?！睍?huì)使老師“發(fā)暈”而無所適從，會(huì)使學(xué)生“發(fā)憷”而疲憊不堪。這些狀況，都是我們不想也不希望看到的。我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)具有基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)、基本技能訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)，我們應(yīng)該發(fā)揚(yáng)傳統(tǒng)，應(yīng)該重新審視這種基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和能力的內(nèi)涵，形成符合時(shí)代要求的新的“雙基”。刪減繁瑣的計(jì)算，人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容，克服“雙基異化”帶來的傾向及由此“沖積而成的題?！?。難道這不值得引起我們深思嗎？讓我們攜起手來，身體力行，返璞歸真，勇敢地跨出“題海”。

對(duì)數(shù)學(xué)教育中的一些問題進(jìn)行了一番思考后，我感到：我們對(duì)教育方面的很多問題都還沒有全面了解。我相信：教育在發(fā)展、認(rèn)識(shí)在提高，我們會(huì)理清思路，做出成績(jī)。