董永軍

函數(shù)的存在性和任意性問題，是一種常見題型，也是高考的熱點(diǎn)之一.它們既有區(qū)別又有聯(lián)系，意義和轉(zhuǎn)化方法各不相同，容易混淆.對(duì)于這類問題，利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，可以把相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的關(guān)系，不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值大小的比較.下面結(jié)合實(shí)例來辨析這幾種問題的轉(zhuǎn)化區(qū)別.

1.？堝x∈D，？堝x∈D，使得f（x）=g（x），等價(jià)于函數(shù)f（x）在D上的值域A與函數(shù)g（x）在D上的值域B的交集不空，即A∩B≠？準(zhǔn).

例1：已知函數(shù)f（x）=，0），若存在x，x∈[0，1]，使得f（x）=f（x）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（，]B.[1，2）C.[，2]D.[1，]

解：設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）在[0，1]上的值域分別為A與B，依題意A∩B≠？準(zhǔn).

當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，易得A=[0，]；當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，易得B=[1-a，1-].

因?yàn)锳∩B≠？準(zhǔn)，所以0≤1-a≤或0≤1-≤，解得≤a≤2，故應(yīng)選C.

2.對(duì)？坌x∈D，？堝x∈D，使得f（x）=g（x），等價(jià)于函數(shù)f（x）在D上的值域A是函數(shù)g（x）在D上的值域B的子集，即A？哿B.

例2：已知f（x）=lnx-ax（a∈R），它們的定義域都是（0，e]，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R.（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若a=1，且b≠0，函數(shù)g（x）=bx-bx，若對(duì)任意的x∈（1，2），總存在x∈（1，2），使f（x）=g（x），求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解（1）略；（2）依題意實(shí)數(shù)b的取值范圍就是使得在區(qū)間（1，2）上g（x）的值域A是f（x）的值域B的子集實(shí)數(shù)b的取值范圍.

當(dāng)a=1，x∈（1，2）時(shí)，由f（x）=lnx-x得f′（x）=-1=<0，故f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，所以f（2）

因b≠0，由g（x）=bx-bx得g′（x）=b（x-1）.

①當(dāng)b>0，x∈（1，2）時(shí)，g′（x）>0，故g（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，所以g（1）

②當(dāng)b<0，x∈（1，2）時(shí)，同上可求得b≤ln2-3.

綜合①②知所求實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-∞，ln2-3]∪[3-ln2，+∞）.

3.已知f（x），g（x）是在閉區(qū)間D的上連續(xù)函，則對(duì)？坌x，x∈D使得f（x）≤g（x），等價(jià)于f（x）≤g（x）.

例3：已知f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a>0.（1）若x=1是函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若對(duì)任意的x，x∈[1，e]都有f（x）≥g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：（1）略；（2）對(duì)？坌x，x∈[1，e]，有f（x）≥g（x），等價(jià)于x∈[1，e]有f（x）≥g（x）.易得g（x）=e+1，要證x∈[1，e]時(shí)，f（x）≥g（x），即f（x）≥e+1.由上知求f（x）需對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論過程繁而長(zhǎng)，其實(shí)可避免分類討論，不等式恒成立問題往往轉(zhuǎn)化最值問題來解決，逆向思維，由于f（x）難求，將

f（x）≥e+1退回到恒成立問題：證x∈[1，e]時(shí)，f（x）≥e+1即x+≥e+1恒成立，只需證當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，h（x）=x-（e+1）x+a≥0恒成立，只需證h（x）≥0.因?yàn)閔′（x）=2x-e-1，令h′（x）=0得x=∈[1，e].當(dāng)1≤x<時(shí)h′（x）<0，當(dāng)0，故h（x）=h（）=a-（）≥0，所以a≥，故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：這里“另解”將不等式恒成立問題與最值問題的單向轉(zhuǎn)化變成雙向轉(zhuǎn)化，將一個(gè)需要分類討論的最值問題f（x）轉(zhuǎn)化為另一個(gè)不需要分類討論的最值問題h（x）≥0.

4.若對(duì)？坌x∈D，？堝x∈D，使f（x）≥g（x），等價(jià)于f（x）在D上的最小值不小于g（x）在D上的最小值即f（x）≥g（x）（這里假設(shè)f（x），g（x）存在）.

例4（2010年山東）：已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+-1（a∈R）.（1）當(dāng)a≤時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)g（x）=x-2bx+4，當(dāng)a=時(shí)，若對(duì)任意x∈（0，2），存在x∈[1，2]，使f（x）≥g（x），求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解：（1）略；（2）依題意f（x）在（0，2）上的最小值不小于g（x）在[1，2]上的最小值即f（x）≥g（x），于是問題轉(zhuǎn)化為最值問題.

當(dāng)a=時(shí)，f（x）=lnx-x+-1，所以f′（x）=--=，則當(dāng)00，所以當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=f（1）=-.

g（x）=x-2bx+4，①當(dāng)b<1時(shí)，可求得g（x）=g（1）=5-2b，由5-2b≤-得b≥，這與b<1矛盾；②當(dāng)1≤b≤2時(shí)，可求得g（x）=g（b）=4-b，由4-b≤-得b≥，這與1≤b≤2矛盾；③當(dāng)b>2時(shí)，可求得g（x）=g（2）=8-4b，由8-4b≤-得b≥.

綜合①②③得實(shí)數(shù)b的取值范圍是[，+∞）.

由此可見，掌握這幾種類型之后，此類問題便可迎刃而解。