陳蘭偉，獨(dú)知行，張忠良，馬立斌

（1.山東科技大學(xué) 測繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島266590；2.中鐵二十局集團(tuán)第四工程有限公司，山東 青島266061）

0 引 言

隨著GPS定位技術(shù)的廣泛應(yīng)用，人們已經(jīng)能夠在10－6～10－9的精度量級(jí)上簡捷而經(jīng)濟(jì)地獲得所測點(diǎn)位的平面精度，但卻一直未能以相應(yīng)的精度解求點(diǎn)的高程值［1］。原因是GPS所測得的高程是測站點(diǎn)相對于WGS－84橢球面的大地高，而我國采用的高程系統(tǒng)，是相對于似大地水準(zhǔn)面的正常高系統(tǒng)，雖然，GPS能給出高精度的大地高，卻由于沒有一個(gè)具有相應(yīng)精度高分辨率的似大地水準(zhǔn)面模型，致使GPS大地高到GPS海拔高的轉(zhuǎn)換過程中精度嚴(yán)重丟失。因此，有必要找出GPS點(diǎn)的大地高Hg和正常高程Hr的關(guān)系，并用一定的方法將Hg轉(zhuǎn)換為Hr.

研究GPS高程的意義有兩個(gè)方面：一是精確求定GPS點(diǎn)的正常高，二是求定高精度的似大地水準(zhǔn)面［2］。要實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)目標(biāo)，必須利用測區(qū)內(nèi)足夠數(shù)量、分布合理且比較均勻、大地高和正常高均已知的公共點(diǎn)來擬合似大地水準(zhǔn)面。

為了精確的計(jì)算出一定區(qū)域內(nèi)GPS點(diǎn)的正常高，主要討論三種擬合方法，即二次曲面法、移動(dòng)曲面法和多面函數(shù)法，結(jié)合玉鐵鐵路某段GPS控制網(wǎng)，應(yīng)用三種水準(zhǔn)擬合模型進(jìn)行計(jì)算，對各模型擬合結(jié)果進(jìn)行精度分析和殘差比較，并對各模型的適用性進(jìn)行探討，為測量工作者在實(shí)際工作中尋找合適的擬合方法提供參考。

1 GPS高程擬合模型及其精度評定

1.1 多項(xiàng)式曲面擬合法

在小區(qū)域GPS網(wǎng)內(nèi)利用多項(xiàng)式曲面擬合法進(jìn)行GPS高程擬合，就是將似大地水準(zhǔn)面看成曲面，將高程異常ζ表示為平面坐標(biāo)相關(guān)的函數(shù)，通過網(wǎng)中起算點(diǎn)的已知高程異常來確定測區(qū)的似大地水準(zhǔn)面形狀，繼而求出其余各點(diǎn)的高程異常［3］。在實(shí)際工程應(yīng)用中普遍采用的是二次曲面，其數(shù)學(xué)模型為

式中：a0、a1、a2、a3、a4、a5為擬合待定參數(shù)；xi、yi為GPS點(diǎn)的平面坐標(biāo)；εi為擬合誤差。

這種方法要求區(qū)域內(nèi)至少需要6個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)公共點(diǎn)數(shù)n多于6個(gè)時(shí)，可列出相應(yīng)的誤差方程

其矩陣形式為

式中：

根據(jù)最小二乘法原理可求得

將求出的系數(shù)矩陣A帶入式（3），可求出未知點(diǎn)的高程異常，再根據(jù)式（1）即可求出各點(diǎn)正常高。

1.2 移動(dòng)曲面法

利用移動(dòng)曲面法進(jìn)行GPS高程擬合就是要通過計(jì)算未知點(diǎn)周圍的若干數(shù)據(jù)點(diǎn)，建立一個(gè)相應(yīng)的多項(xiàng)式來內(nèi)插該點(diǎn)的值。移動(dòng)曲面法實(shí)質(zhì)上就是一種點(diǎn)逼近方法［4］，即在指定的半徑為R的區(qū)域中，以內(nèi)插點(diǎn)為圓心，并和其周圍的已知點(diǎn)建立起一個(gè)擬合曲面，這個(gè)曲面在中心內(nèi)插點(diǎn)上的值就是所求的內(nèi)插值，同時(shí)這個(gè)有限區(qū)域會(huì)隨著插值中心點(diǎn)的位置變化而移動(dòng)［5］?，F(xiàn)結(jié)合二次曲面法論述移動(dòng)曲面法的一般性過程。

二次曲面模型如式（3）所示，因各已知數(shù)據(jù)點(diǎn)在最小二乘求解中所作貢獻(xiàn)的大小與該點(diǎn)到插值中心點(diǎn)的距離遠(yuǎn)近有關(guān)，可對作為觀測值的各高程異常按距離加權(quán)［6］，常采用的權(quán)函數(shù)式為

為消除離插值點(diǎn)較遠(yuǎn)的已知點(diǎn)的影響，可設(shè)定以判定式（6）來實(shí)現(xiàn)

在施工過程中，混凝土若出現(xiàn)配置不合理和易性差就是十分嚴(yán)重的問題。進(jìn)行施工的過程中采用劣質(zhì)混凝土就會(huì)出現(xiàn)混凝土壓實(shí)不到位，造成了后期出現(xiàn)滲漏，由于質(zhì)量差的混凝土防水性差，強(qiáng)度比較低，給后期施工帶來難度。與此同時(shí)，就需要提高混凝土的防水性，就要使用防水卷材。它是由橡膠、瀝青和其他材料制作的一種防水材料，也被叫做油毛氈或者油氈，最大的優(yōu)勢就是柔韌性和防水性強(qiáng)。如果在施工的過程中使用不符合標(biāo)準(zhǔn)的防水卷材，就起不到防水的效果和作用，同樣會(huì)造成滲漏水。

式中R為一定值，通常選用已知點(diǎn)平均距離的2倍。

移動(dòng)曲面法的誤差方程為

根據(jù)最小二乘原理解帶權(quán)的極小值問題得式（7）的解為

得出系數(shù)陣后，即可求出內(nèi)插點(diǎn)的高程異常值，進(jìn)而求得其正常高。

1.3 多面函數(shù)法

“任何數(shù)學(xué)表面和任何不規(guī)則的圓滑表面，總可用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的總和以任意精度逼近”［7］，這就是多面函數(shù)法的理論根據(jù)。應(yīng)用到GPS高程擬合中，以此來解決根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)形成一個(gè)平差的數(shù)學(xué)曲面問題，可以得到高程異常函數(shù)［8］：

式中：ai為待定系數(shù)；Q（x，y，xi，yi）是x和y的二次核函數(shù)，其核在 （xi，yi）處；ζ可由二次式的和確定。

理論上核函數(shù)是可以任意構(gòu)造的，但在實(shí)際運(yùn)用中一般采用具有對稱結(jié)構(gòu)的距離型：

式中：δ為平滑因子，用來對核函數(shù)進(jìn)行調(diào)整；b一般可選某個(gè)非零實(shí)數(shù)，常取1／2或－1／2，當(dāng)取1／2時(shí)，核函數(shù)為雙曲面模型；取－1／2時(shí)，核函數(shù)為倒曲面模型。

式（9）的誤差方程為

待定系數(shù)可根據(jù)已知點(diǎn)的高程異常值，按最小二乘原理求出

由待定系數(shù)即可代入式（9）計(jì)算各內(nèi)插點(diǎn)的高程異常值。

多面函數(shù)法擬合高程異常，核函數(shù)和平滑因子的選擇對擬合效果有重要的影響，對于每個(gè)區(qū)域都應(yīng)認(rèn)真研究并逐步的實(shí)驗(yàn)和改進(jìn)。

1.4 精度評定

為了檢查GPS高程擬合效果，一般在設(shè)計(jì)計(jì)算方案時(shí)，常會(huì)用一部分已知點(diǎn)作為公共點(diǎn)，而將另外一部分已知點(diǎn)作為檢核點(diǎn)參與擬合計(jì)算，根據(jù)檢核點(diǎn)的擬合值和已知值用式（13）計(jì)算其外符合精度M［9］

式中：n為已知檢核點(diǎn)數(shù)；V為擬合值的殘差。

2 GPS高程模型應(yīng)用實(shí)例

實(shí)驗(yàn)采用玉鐵鐵路某段GPS控制網(wǎng)數(shù)據(jù)，測區(qū)處丘陵到平原的過渡區(qū)域，地形起伏變化較大，高程異常值呈多曲面性變化。點(diǎn)位分布如圖1所示，測段長約為70km，由東北到西南沿鐵路呈帶狀布設(shè)48個(gè)E級(jí)GPS控制點(diǎn)。為滿足施工要求，所有點(diǎn)都經(jīng)過四等水準(zhǔn)聯(lián)測。因此，各控制點(diǎn)既有平面坐標(biāo)、大地高，又有水準(zhǔn)高程，可據(jù)此對各模型的高程擬合精度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

圖1 GPS點(diǎn)位平面圖

根據(jù)地形以及控制網(wǎng)特點(diǎn)，在測區(qū)內(nèi)選取7個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)號(hào)分別為3、9、16、22、30、38、46）作為已知高程異常的公共點(diǎn)，已知點(diǎn)平均距離為8km，剩余點(diǎn)作為待定點(diǎn)，其中，1、2、47、48為外推點(diǎn)，其余為內(nèi)插點(diǎn)。運(yùn)用三種模型進(jìn)行擬合計(jì)算，移動(dòng)曲面法的權(quán)值采用Pi＝ ［（R－di）／di］2，其中搜索半徑R值按照已知點(diǎn)平均距離2倍的原則采用R＝16；經(jīng)實(shí)驗(yàn)，多面函數(shù)法采用擬合效果較好的雙曲面模型作為核函數(shù)，其平滑因子采用0.8.

將擬合的結(jié)果與水準(zhǔn)測量結(jié)果進(jìn)行比較，得到其殘差值統(tǒng)計(jì)如圖2所示。

圖2 不同擬合方法擬合點(diǎn)殘差比較

表1 殘差統(tǒng)計(jì)表

圖2示出了三種方法擬合各點(diǎn)的殘差值大小，表1對殘差的絕對值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得出殘差最大、最小值以及擬合的外符合精度。由圖表中的殘差統(tǒng)計(jì)可以看出，在該測段三種擬合方法均能達(dá)到厘米級(jí)的擬合精度。

殘差統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示移動(dòng)曲面法和多面函數(shù)法的擬合效果明顯優(yōu)于二次曲面方法，得到的外符合精度高出二次曲面法近一倍。這是因?yàn)樵谶@種長距離大范圍區(qū)域內(nèi)，其似大地水準(zhǔn)面多呈多曲面化，運(yùn)用單一曲面進(jìn)行擬合，往往不能完全表現(xiàn)出其高程異常的變化。

從模型上來看，移動(dòng)曲面法綜合了曲面模型和加權(quán)模型的優(yōu)點(diǎn)，根據(jù)插值點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離定權(quán)，削弱了離插值點(diǎn)較遠(yuǎn)的已知點(diǎn)對插值結(jié)果的影響。在已知點(diǎn)數(shù)量足夠，且分布均勻的情況下，移動(dòng)曲面法可以高精度的表達(dá)出區(qū)域的高程異常變化。

采用多面函數(shù)模型擬合出的精度與移動(dòng)曲面法精度相當(dāng)，但圖3中并未列出多面函數(shù)法計(jì)算出外推點(diǎn)的殘差值，原因是多面函數(shù)法作為一種內(nèi)插方法不適用于外推，實(shí)驗(yàn)中計(jì)算出1、2、47、48點(diǎn)的外推值殘差為分米級(jí)到米級(jí)，因此，并未列入統(tǒng)計(jì)當(dāng)中。

3 結(jié) 論

根據(jù)以上對GPS擬合高程的情況分析，可以得出以下幾點(diǎn)建議：

1）通過GPS高程擬合方法，可以大量減少水準(zhǔn)測量工作量，提高工作效率。

2）對測區(qū)進(jìn)行水準(zhǔn)擬合時(shí)，要根據(jù)測區(qū)情況選定合適的擬合方法。二次曲面法適合于測區(qū)范圍較小和高程異常呈單曲面變化的地區(qū)，對于大范圍復(fù)雜地區(qū)應(yīng)盡量采用多面函數(shù)或移動(dòng)曲面法。

3）當(dāng)采用多面函數(shù)法時(shí)，對于一定的區(qū)域，要多采用幾種核函數(shù)和平滑因子進(jìn)行內(nèi)插實(shí)驗(yàn)對比，選出效果最好的進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算時(shí)應(yīng)避免出現(xiàn)外推值。

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