胡 鋼，吉曉民，沈曉芹，宋偉杰

（1. 西安理工大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710054; 2. 西安理工大學(xué)機械與精密儀器工程學(xué)院，陜西 西安 710048; 3. 西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710072）

CE-Bézier曲面光滑拼接的研究與實現(xiàn)

胡 鋼1,2，吉曉民2，沈曉芹1，宋偉杰3

（1. 西安理工大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710054; 2. 西安理工大學(xué)機械與精密儀器工程學(xué)院，陜西 西安 710048; 3. 西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710072）

針對CE-Bézier曲面造型中復(fù)雜曲面難以用單一曲面來表示的問題，通過分析CE-Bézier曲線的唯一性，提出了一種新的CE-Bézier曲面的光滑拼接技術(shù)。首先，在分析第1類CE-Bézier曲線基函數(shù)及其端點性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對第1類CE-Bézier曲線的唯一性進行了研究，得出了對于同一條第1類CE-Bézier曲線可以有很多組不相同的控制頂點和形狀參數(shù)與之對應(yīng)的結(jié)論；其次，利用該結(jié)論進一步給出了兩相鄰第1類CE-Bézier曲面片間 G1光滑拼接的一般幾何條件，并通過合理地選取形狀參數(shù)，進一步簡化了該曲面的 G1拼接條件；最后，給出了第1類CE-Bézier曲面光滑拼接的幾何造型實例。實例結(jié)果表明，該方法簡單、直觀、易實現(xiàn)，有效地增強了CE-Bézier方法表達(dá)復(fù)雜曲線曲面的能力，可廣泛地應(yīng)用于工程復(fù)雜曲面的造型系統(tǒng)中。

CE-Bézier曲線；CE-Bézier曲面；形狀參數(shù)；光滑拼接；唯一性分析

隨著幾何造型工業(yè)的快速發(fā)展，傳統(tǒng)Bézier和有理 Bézier方法已難以滿足曲線曲面幾何造型中的各種需求[1]。為了保留原有Bézier方法的優(yōu)點，同時增加曲線曲面的形狀可調(diào)性和逼近性，人們提出了一些推廣的帶形狀參數(shù)的Bézier曲線曲面，如C-Bézier[2]、q-Bézier[3]、T-Bézier[4]、帶單參數(shù)的Bézier[5]、擬三次Bézier[6]、H-Bézier[7]以及CE-Bézier曲線曲面[8]等。其中，CE-Bézier曲線曲面不僅是文獻[5-6]中曲線曲面的進一步推廣，而且具有類似 Bézier曲線曲面的端點性質(zhì)、凸包性、變差縮減性以及仿射不變性等諸多幾何性質(zhì)，其形狀可調(diào)性也要優(yōu)于其他曲線曲面[2-7]。此外，由于它是代數(shù)多項式曲線曲面，所以其實際計算復(fù)雜度要遠(yuǎn)低于非代數(shù)多項式曲線曲面，如C-Bézier、T-Bézier及H-Bézier曲線曲面等。

為了進一步增強CE-Bézier曲線曲面表達(dá)復(fù)雜曲線曲面的造型能力，文獻[9]研究了第 1類CE-Bézier曲線曲面的光滑拼接問題，但所得的曲面拼接條件不僅復(fù)雜、含有基函數(shù)、幾何意義也不明確，而且還無法應(yīng)用于實際復(fù)雜曲面的構(gòu)造。為此，本文從第1類CE-Bézier曲線自身性質(zhì)出發(fā)，分析了該曲線的唯一性，并利用所得結(jié)論給出了第1類CE-Bézier曲面光滑拼接的一般條件。所得條件不僅幾何意義明顯、結(jié)構(gòu)簡單、便于實際操作，而且為第1類CE-Bézier曲面連續(xù)階的判斷、光滑拼接曲面的構(gòu)造以及計算機的實現(xiàn)都帶來了很大的方便。

1 第1類CE-Bézier曲線的定義

定義1 給定4個控制頂點 P∈ Rn(n =2,3;ii =0,1,2,3)，對 t∈ [0,1]定義曲線

稱式（1）所定義的三次多項式曲線為帶形狀參數(shù)α ,γ的第1類三次擴展Bézier曲線，簡稱第1類CE-Bézier曲線[8]。式中，三次多項式基函數(shù)bi,3(t)(i=0,1,2,3)定義如下

式中， ]1,2[, -∈γα 。顯然，當(dāng) 1==γα 時，曲線式（1）便退化為傳統(tǒng)三次Bézier曲線。由式（1）不難推出第1類CE-Bézier曲線具有對稱性、凸包性、幾何不變性、仿射不變性以及如下端點性質(zhì)：

2 第1類CE-Bézier曲線的唯一性分析

對于傳統(tǒng)三次Bézier曲線，若給定4個具體的控制頂點，則有唯一的一條三次Bézier曲線與之對應(yīng)；反之，對于一條具體的三次Bézier曲線同樣有唯一的4個控制頂點與之對應(yīng)。那么，此結(jié)論對于第 1類 CE-Bézier曲線是否同樣成立呢？下面給出具體的分析，不妨設(shè) P (t ;α1,γ1)和Q (t ;α2,γ2)為由式（1）所定義的兩條第 1類CE-Bézier曲線，其控制頂點分別為 P0,P1,P2,P3和Q0,Q1,Q2,Q3。

定理 1 兩條曲線 P (t ;α1,γ1)和 Q(t;α2, γ2)表示同一條多項式曲線的充分必要條件是它們的控制頂點和形狀參數(shù)滿足如下條件

同時成立。

證明 若兩條 CE-Bézier曲線 P(t ;α1,γ1)和Q(t;α2,γ2)表示同一條多項式曲線，即

根據(jù)曲線的端點性質(zhì)和對比式（5）中兩邊多項式曲線的各冪項系數(shù)，稍加整理即可將式（5）等價為

最后將式（6）中前3個等式分別代入第4、5個等式中，稍加整理即可得式（4）成立。 證畢。

定理 1表明，對于一條具體的第 1類CE-Bézier曲線，則可以有很多組不相同的控制頂點和形狀參數(shù)與之對應(yīng)，即在不改變第 1類CE-Bézier曲線形狀的情況下，可以按式（4）中的條件來修改該曲線的控制頂點和形狀參數(shù)。

圖1給出了不同控制頂點和形狀參數(shù)表示同一條第1類CE-Bézier曲線的實例。其中，第1類CE-Bézier曲線的初始控制頂點P0, P1, P2, P3坐標(biāo)取為(0,0)、(0.3, 0.7)、(0.8, 0.8)和(1,0)，且原始形狀參數(shù)α和γ都取值為0。如圖1所示，若

圖1 不同控制頂點和形狀參數(shù)表示同一條CE-Bézier曲線的實例

1） P0, P3位置固定不變；

2） 當(dāng)α增大（或減?。r，點P1應(yīng)按直線的方向靠近（或遠(yuǎn)離）點P0，且具體偏移位置可由式（4）中的第3個等式計算出；

3） 當(dāng)γ增大（或減小）時，點P2應(yīng)按直線的方向靠近（或遠(yuǎn)離）點P3，且具體偏移位置可由式（4）中的第4個等式計算出。

3 第1類CE-Bézier曲面的光滑拼接

3.1 第1類CE-Bézier曲面的定義

定義 2 若給定4×4個控制網(wǎng)格頂點Pi,j(i, j=0,1,2,3)，將與第1類CE-Bézier曲線對應(yīng)的張量積曲面

稱為[0,1]×[0,1]上的第1類CE-Bézier曲面[9]。式中，-2 ≤α ,γ,β,ω ≤1 ，bi,3(u ),bj,3(v)為式（2）所定義的基函數(shù)。顯然當(dāng)所有參數(shù)都為1時，第1類CE-Bézier曲面便退化為傳統(tǒng)的雙三次Bézier要保持第1類CE-Bézier曲線的形狀和位置不變，則須滿足：曲面，且可靈活地改變形狀參數(shù)來調(diào)整曲面的形狀。

3.2 第1類CE-Bézier曲面的G1光滑拼接

在實際應(yīng)用中，曲面間通常要達(dá)到G1連續(xù)，即2張曲面在公共連接線處有公共的切平面或公共的曲面法線[10-12]。設(shè)有2張第1類CE-Bézier曲面 P(u,v;α1,γ1,β1,ω1)和Q(u,v;α2, γ2, β2,ω2)，其控制網(wǎng)格頂點分別為 pi,j和 qi,j(i, j=0, 1,2,3)，由于CE-Bézier曲面存在方向性，所以2張曲面片間的拼接存在以下3種形式：

1） u向與u向拼接；

2） u向與v向拼接；

3） v向與v向拼接。

定理 2 若兩相鄰曲線片 P(u,v;α1,γ1,β1, ω1)和 Q (u,v;α2,γ2,β2,ω2)滿足如下條件

同時成立，則兩曲面片 P (u ,v)和 Q (u ,v)在公共邊界處達(dá)到u向與u向G1光滑拼接。

證明 2張曲面片要達(dá)到u向與u向G1連續(xù)，首先要求它們在u向處有一公共邊界，即

P(u,1;α1,γ1,β1,ω1)=Q(u,0;α2,γ2,β2,ω2)由曲面的定義可將上式化簡為

再根據(jù)定理 1中的結(jié)論，可將式（9）進一步整理為

其次，要求2張第1類CE-Bézier曲面片在拼接邊界處有公共的切平面，即兩曲面片在邊界上的法矢方向是連續(xù)的。所以，數(shù)學(xué)上應(yīng)滿足[10-12]

且實際應(yīng)用中常采用Faux方法[12]可將上式簡化為

式中，f為大于0的實常數(shù)。式（11）的幾何意義為兩曲面拼接時跨界切矢的方向是連續(xù)的。計算曲面片的跨界切矢，并代入式（11）得

再利用定理1中的結(jié)論，可將式（12）進一步整理為

綜上所述，式（10）和式（13）便構(gòu)成了2張第1類CE-Bézier曲面片u向與u向G1光滑拼接的一般條件，從而定理 2得證。此外，若令α1= α2,γ1=γ2,ω1= β2，則式（10）和式（13）可進一步簡化為

因此，式（14）便構(gòu)成了2張第1類CE-Bézier曲面片u向與u向G1光滑拼接的一個簡潔充分條件，其幾何意義為：若滿足α1=α2,γ1=γ2,ω1=β2，則G1連續(xù)的2張曲面片具有相同的 4 個控制頂點，且pi,2,pi,3(= qi,0),qi,1共線并有序排列。與u向與u向的拼接類似，對于2張第1類CE-Bézier曲面片u向與v向（或v向與v向）的拼接，同理可得如下的結(jié)論。

定理 3 若兩相鄰曲線片 P(u,v;α1,γ1,β1, ω1)和Q(u,v;α2,γ2,β2,ω2)滿足如下條件

同時成立，則兩曲面片 P (u ,v)和 Q (u ,v)在公共邊界處達(dá)到u向與v向G1光滑拼接。

定理 4 若兩相鄰曲線片 P(u,v;α1,γ1, β1, ω1) 和 Q (u ,v;α2,γ2,β2,ω2)滿足如下條件

同時成立，則兩曲面片 P (u,v)和 Q (u ,v)在公共邊界處達(dá)到v向與v向G1光滑拼接。

3.3 曲面拼接的步驟與實例

這里以第1類CE-Bézier曲面片u向與u向拼接為例，對于曲面片u向與v向（或v向與v向）的拼接可類似討論。根據(jù)定理2中的結(jié)論可知，實現(xiàn)2張第1類CE-Bézier曲面片u向與u向G1光滑拼接的基本步驟為：

1） 先給定初始曲面片P(u ,v;α1,γ1,β1,ω1)的控制網(wǎng)格頂點 pi,j以及參數(shù)α1, γ1,β1,ω1。

2） 令 q0,0=p0,3; q3,0=p3,3，再自由給定參數(shù)α2,γ2，并由式（8）中的第3個和第4個等式計算出 q1,0,q2,0，從而使得曲面片P(u,v;α1,γ1,β1,ω1)和Q(u,v;α2,γ2,β2,ω2)具有一條公共邊界。

3） 自由給定常數(shù)f和參數(shù) β2，在步驟2）的基礎(chǔ)上再根據(jù)式（8）中的第5個至第8個等式分別計算出曲面 Q (u ,v;α2,γ2,β2,ω2)的一排控制網(wǎng)格頂點 q0,1,q1,1,q2,1,q3,1。

4） 最后，自由給定曲面 Q(u,v;α2,γ2,β2, ω2)的兩排控制網(wǎng)格頂點 qi,2和 qi,3(i =0,1,2,3)以及參數(shù)ω2，即可實現(xiàn)2張曲面片間的G1光滑拼接。

顯然，反復(fù)利用上述的拼接步驟，還可實現(xiàn)多片（2片以上）第1類CE-Bézier曲面間的G1光滑拼接。圖2給出了2張第1類CE-Bézier曲面片（用實、虛網(wǎng)格曲面區(qū)分）u向與 u向 G1光滑拼接的實例。其中，圖2(a)中2張曲面片的控制網(wǎng)格頂點和形狀參數(shù)按定理2中的條件來取值，而圖2(c)與圖2(b)中的曲面具有相同的控制網(wǎng)格頂點。從拼接結(jié)果來看，2張曲面片在公共邊界處具有了公共的切平面，且光滑拼接的效果較好。此外，在實際工程應(yīng)用中還可根據(jù)需要改變形狀參數(shù)，來靈活調(diào)整拼接后曲面的形狀，同時還不會影響曲面拼接的光滑程度。

圖2 第1類CE-Bézier曲面的G1拼接

圖3給出了相鄰4張第1類CE-Bézier曲面片（用實、虛網(wǎng)格曲面區(qū)分）間 G1光滑拼接的實例。從圖3中可以看出，四張曲面片在公共邊界處過度自然、光滑，達(dá)到了較好的拼接效果。

4 結(jié) 論

為了解決第1類CE-Bézier曲面造型中復(fù)雜曲面的構(gòu)造問題，對第1類CE-Bézier曲線進行了唯一性分析，得出了對于同一條第 1類CE-Bézier曲線可以有很多組不同的控制頂點和形狀參數(shù)與之對應(yīng)的結(jié)論；并利用該結(jié)論給出了第1類CE-Bézier曲面間G1光滑拼接的一般條件。理論分析和造型實例表明，第1類CE-Bézier曲面不僅具有靈活的逼近方式，而且其拼接條件也具有簡單、直觀的特點，可以用來生成多種不同的常用曲面，因而在工程曲面構(gòu)造中有著廣泛的應(yīng)用前景。

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Research on the continuity conditions for CE-Bézier surfaces

Hu Gang1,2, Ji Xiaomin2, Shen Xiaoqin1, Song Weijie3
( 1. School of Science, Xi’an University of Technology, Xi’an Shaanxi 710054, China; 2. Faculty of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an Shaanxi 710048, China; 3. School of Science, Northwestern Polytechnical University, Xi’an Shaanxi 710072, China )

Focusing on the problem that the engineering complex surfaces can not be described by using a single cubic extension Bézier (CE-Bézier) surfaces with multiple shape parameters, the continuity conditions of CE-Bézier surfaces are proposed. Following the analysis of basis functions and terminal properties, the unique property of CE-Bézier curves is investigated and the corresponding conclusion that a CE-Bézier curve can be defined by many different groups of control points and shape parameters is also obtained. And then, the geometric model of CE-Bézier surfaces is constructed and the condition of G1continuity between two adjacent CE-Bézier surfaces in u and v directions is derived and simplified by choosing the control parameters properly. The modeling examples illustrate that the continuity condition of CE-Bézier surfaces can be widely applied to the complex surfaces modeling system.

CE-Bézier curve; CE-Bézier surface; shape parameter; continuity condition; analysis of unique property

TP 391.4

A

2095-302X (2012)05-0062-06

2010-08-15；定稿日期：2011-01-06

國家自然科學(xué)基金資助項目（10926152，11101330）；陜西省自然科學(xué)基金資助項目（2011JM1006）；陜西省教育廳基金資助項目（11JK1052）；徐州工程學(xué)院青年教師基金資助項目（XKY2007319）

胡 鋼（1979-），男，江西高安人，講師，博士研究生，主要研究方向為計算機輔助幾何設(shè)計與圖形學(xué)、圖像處理。E-mail：huhui_xauot@163.com