楊繼明，周 靜

(湖南工程學(xué)院a.理學(xué)院;b.科技處，湖南湘潭411104)

一個人從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)，有許多時間和精力是花在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的，但當(dāng)他們進(jìn)入社會從事各行各業(yè)的工作后，就有相當(dāng)多的人再也用不著或者很少運(yùn)用他們學(xué)過的數(shù)學(xué)知識了，有些人還對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了“那是枯燥無味、太傷腦筋的玩意兒”的錯覺。尤其是一些具有藝術(shù)愛好傾向的學(xué)生，往往更容易產(chǎn)生上述錯覺，甚至對數(shù)學(xué)懷有敬而遠(yuǎn)之的懼怕心理。倘若不是考試的需要，恐怕沒有多少學(xué)生愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。我們做了一個調(diào)查:如果所有的考試都不需要考數(shù)學(xué)，愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的占10%，不愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的占90%。數(shù)學(xué)教學(xué)一度陷入了困境，課堂上幾乎沒有了師生互動的和諧。教學(xué)是盲目的、徒勞的、不平衡的，教師根本不了解學(xué)生當(dāng)前的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)狀態(tài)，不知道他們最近的發(fā)展區(qū)在哪里。

究其原因，上述情況可能是由于數(shù)學(xué)教學(xué)中一貫忽視“美學(xué)原則”所導(dǎo)致的結(jié)果。數(shù)學(xué)一旦與“枯燥、傷腦筋”等聯(lián)系起來，如果不加以正確的引導(dǎo)，就很難激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和樹立學(xué)習(xí)的信心。在學(xué)生眼中，數(shù)學(xué)與美學(xué)涇渭分明，它們之間毫不相干，在數(shù)學(xué)中尋找美簡直是天方夜譚。

其實，作為科學(xué)語言的數(shù)學(xué)，具有一般語言文學(xué)與藝術(shù)所共有的特點，即數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)和方法上也具有自身的某種美，即“數(shù)學(xué)美”［1，2，3］。英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家羅素曾對數(shù)學(xué)美作過精辟論述:“數(shù)學(xué)，如果正確地看待它，不但擁有真理，而且也有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美沒有繪畫或者音樂的那種華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的，只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地”。

一 數(shù)學(xué)教學(xué)堅持美學(xué)原則的重要性

數(shù)學(xué)理論(結(jié)構(gòu)或模型)的典型性，其思想方法實際上和文學(xué)創(chuàng)作中的典型性概念是很相似的。文學(xué)小說和藝術(shù)需要以具體背景素材為基礎(chǔ)，采用揚(yáng)棄法或抽象法塑造出某種來自于生活而又高于生活的形象典型。數(shù)學(xué)理論其實也是以一些具體問題、具體材料為背景，通過歸納、分析、抽象等一系列過程建立起來的模型結(jié)構(gòu)或關(guān)系典型。當(dāng)然，一切抽象事物都有一個共同特征:它們來源于實際、反映實際，而往往高于實際。數(shù)學(xué)的抽象物具有邏輯演繹性，這或許是它不同于藝術(shù)的主要之處。

按照這種類比，完全可以教懂具有藝術(shù)愛好傾向的學(xué)生們，使他們也能領(lǐng)會到“數(shù)學(xué)美”。

“數(shù)學(xué)美”［1，2，3，4，5］的含義是豐富的。一般地，“數(shù)學(xué)美”有簡潔美、對稱美、統(tǒng)一美和奇異美。

數(shù)學(xué)上許多重要的概念、理論和方法，在本質(zhì)上都是簡潔和優(yōu)美的。數(shù)學(xué)家運(yùn)用反映簡潔性原則的數(shù)學(xué)直覺(包括關(guān)聯(lián)直覺、審美直覺和辨識直覺)，從極為復(fù)雜的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，抽象出簡潔和優(yōu)美的數(shù)學(xué)對象。簡潔性正是數(shù)學(xué)真理的本質(zhì)，許多創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)研究往往是“揭示簡潔性的過程”。

數(shù)學(xué)家們運(yùn)用對稱性通過純粹量化關(guān)系結(jié)構(gòu)的形式研究，把已有的理論成果系統(tǒng)地、同構(gòu)地轉(zhuǎn)移到新領(lǐng)域中去。以對稱性為原則的直覺思維有利于誘發(fā)出關(guān)聯(lián)直覺和審美直覺。

數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性表現(xiàn)為各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的協(xié)調(diào)一致、各種數(shù)學(xué)方法的融會貫通、各個數(shù)學(xué)分支之間相互滲透和相互促進(jìn)等。由于數(shù)學(xué)世界本來就是一個有機(jī)整體，這種統(tǒng)一性常常和數(shù)學(xué)的真實性聯(lián)系在一起。堅持統(tǒng)一性原則有利于誘發(fā)出關(guān)聯(lián)直覺和辨識直覺。

數(shù)學(xué)對象的奇異性與統(tǒng)一性是辯證統(tǒng)一的。一方面，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的奇異性，才能突破性地探索未知世界，才能有所創(chuàng)新。另一方面，將已發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)對象的奇異性統(tǒng)一起來，才能形成新的自洽理論體系，數(shù)學(xué)才能有所發(fā)展。堅持?jǐn)?shù)學(xué)中的奇異性原則，曾獲得了許多重要成果。

堅持“美學(xué)原則”是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本。馬克思曾說過，人類社會的生產(chǎn)活動是按照“美學(xué)原則”進(jìn)行的。數(shù)學(xué)教學(xué)作為一種教育活動，也不例外。我國數(shù)學(xué)家徐利治曾指出，“數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一是使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的審美能力，即能增進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的主觀感受能力”［3，4］。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)盡可能地體現(xiàn)“數(shù)學(xué)中的美學(xué)原則”，即簡潔性原則、對稱性原則、統(tǒng)一性原則和奇異性原則。只有這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)才能真正反映教學(xué)活動的本質(zhì)，使師生的生命活力在課堂上得到充分發(fā)揮，真正實現(xiàn)教學(xué)相長，培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，造就優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才。

二 數(shù)學(xué)教學(xué)堅持“美學(xué)原則”的方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中堅持“美學(xué)原則”，就是要充分挖掘和展示數(shù)學(xué)美，分析數(shù)學(xué)知識中存在的美質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從美學(xué)角度去觀察和思考，使學(xué)生感受、欣賞和創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，用數(shù)學(xué)美凈化學(xué)生的心靈，陶冶學(xué)生的情操，激發(fā)學(xué)生的探索精神，培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)造能力。

那么如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中堅持美學(xué)原則呢?筆者認(rèn)為可以從以下幾個方面進(jìn)行。

(一)在課堂上充分展示數(shù)學(xué)美

1.在內(nèi)容上滲入數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)中有很多內(nèi)容是美的。簡單統(tǒng)一的數(shù)學(xué)概念、高度概括的數(shù)學(xué)命題，無一不表現(xiàn)出數(shù)學(xué)美。一元函數(shù)的表達(dá)式通過某種法則把自變量和因變量的關(guān)系用一個等號連接表示，這就是數(shù)學(xué)的符號美和簡單美。圓關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，這是數(shù)學(xué)的對稱美。算術(shù)——幾何平均值不等式、柯西不等式、三角不等式都可統(tǒng)一在琴生不等式中，這就是數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。孤立奇點反映了數(shù)學(xué)的奇異美。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能滲入數(shù)學(xué)美的內(nèi)容，揭示數(shù)學(xué)美的本質(zhì)，讓學(xué)生理解和體驗數(shù)學(xué)美，就可以激發(fā)學(xué)生追求數(shù)學(xué)美的熱情，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

2.在教學(xué)過程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)的教學(xué)過程既是獲取數(shù)學(xué)知識的過程，又是數(shù)學(xué)審美的過程。數(shù)學(xué)教師要把數(shù)學(xué)美的內(nèi)容通過教學(xué)過程的設(shè)計展現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)教師要合理巧妙地組織安排教學(xué)內(nèi)容，其順序和方式要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并且各個教學(xué)環(huán)節(jié)要詳略得當(dāng)、前后銜接、重點突出。在教學(xué)設(shè)計中既要重視對學(xué)生能力的培養(yǎng)，又要注意對學(xué)生非智力品質(zhì)的培養(yǎng)。

3.在方法上表現(xiàn)數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)教師采用豐富多樣的教學(xué)方法和手段，可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的形式美。除了采用傳統(tǒng)的講解板書外，還可以采用模型演示、幻燈片演示和多媒體教學(xué)，把數(shù)學(xué)的內(nèi)容活化，讓數(shù)學(xué)美的部分展示出來，從而賦予數(shù)學(xué)內(nèi)容美的生命、美的內(nèi)涵、美的享受。如果教學(xué)方法恰當(dāng)，學(xué)生不僅能認(rèn)識到數(shù)學(xué)的顯性美，而且善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的隱性美，對數(shù)學(xué)美的認(rèn)識就從感性層面上提升到了理性層面。

(二)在實踐中引導(dǎo)鑒賞數(shù)學(xué)美

在實踐中，數(shù)學(xué)教師要善于引導(dǎo)學(xué)生鑒賞數(shù)學(xué)美。首先運(yùn)用“實踐—認(rèn)識—實踐”的認(rèn)知規(guī)律去發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)美，形成對數(shù)學(xué)美的規(guī)律性認(rèn)識，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)美的規(guī)律去分析和解決數(shù)學(xué)問題。

1.在數(shù)學(xué)解題中引導(dǎo)鑒賞數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)解題是在數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法的指導(dǎo)下，有目的地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析解決數(shù)學(xué)問題的過程。通過解題實踐，可以使學(xué)生掌握更多的解題方式，學(xué)會思考問題和解決問題的方法，積累更多的問題策略經(jīng)驗、解題策略經(jīng)驗和方法技巧經(jīng)驗。

在數(shù)學(xué)解題的教學(xué)中，要提倡數(shù)學(xué)解題方式的多樣化，注意一題多解。面對同樣的問題，可以采用不同的途徑和方法進(jìn)行解答。這些途徑和方法揭示出發(fā)現(xiàn)的方法和規(guī)律的異曲同工之妙，從中可以讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一之美。

2.在數(shù)學(xué)實驗中引導(dǎo)鑒賞數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)實驗是從問題出發(fā)，借助計算機(jī)，通過設(shè)計和動手實驗，體驗解決問題的過程，從實驗中去學(xué)習(xí)、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。［6］

在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要通過數(shù)學(xué)實驗，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)美的思想解決實際問題。

指導(dǎo)數(shù)學(xué)實驗的教師可以先提出問題，適當(dāng)介紹問題的背景、主要的實驗原理和方法，但不提供完整的解決方案，然后討論研究，組織學(xué)生設(shè)計分析，充分激發(fā)學(xué)生想象力和創(chuàng)新能力，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生按可行的、合理的方案獨立解決問題。

數(shù)學(xué)實驗以學(xué)生為中心，學(xué)生獲得利用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和計算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的親身體驗，從中感受數(shù)學(xué)的魅力，真正體會到數(shù)學(xué)美。只要引導(dǎo)得當(dāng)，在數(shù)學(xué)實驗中既可以讓學(xué)生鑒賞到數(shù)學(xué)美，又可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與能力。

三 結(jié)語

曾有學(xué)者說過“若要把感性的人變成理性的人，唯一的路徑是使他成為審美的人”。青少年階段，世界觀、人生觀初步形成，自我約束和控制意識不強(qiáng)，存在許多不穩(wěn)定的因素，尤其需要用美的規(guī)律來改造他們的主觀世界。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)忽視了對美學(xué)對象的教育，導(dǎo)致現(xiàn)在許多學(xué)生還不知道什么是“數(shù)學(xué)美”，可見在教學(xué)中展現(xiàn)數(shù)學(xué)美是何等重要。

教學(xué)過程既是一個傳授知識的過程，又是一個審美教育的過程，要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)美、鑒賞數(shù)學(xué)美和應(yīng)用數(shù)學(xué)美。在教學(xué)中教師應(yīng)充分展示數(shù)學(xué)中美的內(nèi)容、形式，正確引導(dǎo)學(xué)生鑒賞數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力、應(yīng)用能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中堅持“美學(xué)原則”，就可以使學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識和技能的同時，鑒賞到數(shù)學(xué)美。這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)才真正發(fā)揮教育的功能。通過數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而且豐富他們的人文內(nèi)涵，使“智”和“德”得到協(xié)調(diào)發(fā)展。

［1］ 譚維奇．?dāng)?shù)學(xué)的美學(xué)特征［J］．安慶師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2005，11(4):122－124.

［2］ 簡經(jīng)榮．讓靈動的課堂折射出數(shù)學(xué)美［J］．考試周刊，2010，42:73 －74．

［3］ 徐利治，徐本順．?dāng)?shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)教學(xué)中的審美［J］．山東教育，1997(11):30－35．

［4］ 年仁德．讓數(shù)學(xué)課發(fā)出美的光輝［N］．中國教育報，2002－02－20(4)．

［5］ 徐利治，朱梧槚．?dāng)?shù)學(xué)研究的藝術(shù)［J］．衡陽師專學(xué)報(自然科學(xué)版)，1992，10(1):1－6．

［6］ 朱 偉．將數(shù)學(xué)實驗的思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的思考［J］．重慶郵電大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008(51):96－98．