張 紅

（桂林師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，桂林 541001）

利用離散傅里葉變換DFT（discrete Fourier transform）對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，具有正交、完備、快速等許多優(yōu)點(diǎn)，它可以精確地確定出平穩(wěn)波形中各次諧波的幅值。它的理論基礎(chǔ)是假定輸入信號(hào)是周期信號(hào)，可以分解為恒定直流分量與整數(shù)倍基頻周期分量之和，因此利用正交三角函數(shù)基或正交指數(shù)基把時(shí)域信號(hào)變換成頻域信號(hào)，分離出電參量信號(hào)的基波及各次諧波分量，從而可得到信號(hào)各分量的幅值、頻率和相位，然后再由相應(yīng)公式可以很方便的求出其余的參數(shù)值。在短時(shí)傅里葉變換、小波變換、現(xiàn)代譜估計(jì)和二次變換等理論和方法還沒有得到充分完善之前，基于DFT的諧波分析方法在諧波分析和檢測(cè)領(lǐng)域中仍將發(fā)揮其重要的作用［1］。

但DFT存在一些固有的限制，如：取樣信號(hào)必須是周期性；取樣信號(hào)必須為基波信號(hào)的整數(shù)倍；取樣速率必須高于信號(hào)最高頻率的2倍以上。當(dāng)所處理的信號(hào)不符合這些條件時(shí)，則將產(chǎn)生柵欄效應(yīng)、泄漏效應(yīng)、混疊效應(yīng)［2，3］。若采樣頻率與信號(hào)基頻不同步時(shí)，截取并周期延拓而成的信號(hào)將不等于原信號(hào)，會(huì)造成波形間斷，這樣必然會(huì)使變換結(jié)果偏離真實(shí)值，出現(xiàn)頻譜泄漏現(xiàn)象。減少頻譜泄漏的方法有加窗法［5～10］、非同步采樣法［11，12］，頻譜校正［13，14］等。

在觀察電力系統(tǒng)的電壓電流信號(hào)過程中發(fā)現(xiàn)其頻譜具有以下特點(diǎn)：屬于離散頻譜，頻率在50 Hz左右［4］的基波及頻率為基波整數(shù)倍的諧波和頻率為基波非整數(shù)倍的間諧波構(gòu)成，基波占主要成分，一般奇次諧波分量較小，偶次諧波分量和間諧波分量的含量更少。電力信號(hào)采集過程中往往是設(shè)定一個(gè)固定的采樣速率在對(duì)其進(jìn)行A／D采樣，這樣得到的采樣值就會(huì)有可能與電力信號(hào)的基頻不成整倍數(shù)關(guān)系。

因此，為了保證離散電力信號(hào)與基波信號(hào)嚴(yán)格的成整倍數(shù)關(guān)系，需要對(duì)A／D采樣得到的離散信號(hào)用一個(gè)與基頻成整倍數(shù)的采樣速率進(jìn)行轉(zhuǎn)換。而電力信號(hào)的基頻應(yīng)盡可能的精確估計(jì)，才能對(duì)其進(jìn)行采樣速率的轉(zhuǎn)換。

本文對(duì)A／D后的離散電力信號(hào)運(yùn)用軟件無線電技術(shù)中精細(xì)頻率估計(jì)的方法來估計(jì)和跟蹤其頻率。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)利用這個(gè)算法估計(jì)離散電力信號(hào)的頻率可以達(dá)到0.001數(shù)量級(jí)的精度。估計(jì)得出電力信號(hào)的真實(shí)信號(hào)頻率后需要對(duì)原來的離散信號(hào)進(jìn)行采樣率轉(zhuǎn)換。本文對(duì)離散電力信號(hào)采樣速率轉(zhuǎn)換運(yùn)用了改進(jìn)Farrow算法查表濾波器系數(shù)的方法來實(shí)現(xiàn)。其中Farrow濾波器的單位脈沖響應(yīng)系數(shù)運(yùn)用了MATLAB中的Fdatool工具設(shè)計(jì)。本文仿真驗(yàn)證了該算法的正確性和有效性，該方法不僅能準(zhǔn)確地估算出電力信號(hào)的頻率，且精度和穩(wěn)定度好，計(jì)算量較小、速度快。

1 電力信號(hào)頻率的估計(jì)

1.1 電力信號(hào)及其傅里葉變換

設(shè)穩(wěn)態(tài)電力信號(hào)如式子（1）所示

式中，fi、Ai、φi分別為信號(hào)各分量的頻率、幅值和相位參數(shù)。

國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的電力信號(hào)頻率是50 Hz，而諧波干擾和其他因素干擾所造成的頻率偏差使電力信號(hào)頻率出現(xiàn)波動(dòng)，其中正常范圍是（50±0.2 Hz）［4］。所以假設(shè)電力信號(hào)的工頻頻率f＝50 Hz，那么一個(gè)信號(hào)周期T＝1／f＝20 ms。以采樣率fs＝6400 Hz對(duì)信號(hào)x（t）采樣，每個(gè)周期采樣長(zhǎng)度是N＝128點(diǎn)。

采樣信號(hào)的時(shí)域表示為

式中：n＝0，1，2，…，N；Ts為采樣時(shí)間間隔，Ts＝1／f s。

分別連續(xù)取兩段長(zhǎng)度都為N＝128點(diǎn)的數(shù)據(jù)得到xm（n）和xn（n），n＝0，1，2，…，N－1。然后對(duì)xm（n）和xn（n）做離散傅里葉變換，計(jì)算變換公式為

對(duì)xm（n）和xn（n）分別做DFT變換后得到Xm（k）和Xn（k）。

1.2 精細(xì)頻率分辨率

通過分析信號(hào)相位關(guān)系可以得到精細(xì)頻率分辨率。如果一段數(shù)據(jù)中的最高頻率分量在m時(shí)刻為Xm（k），k為輸入信號(hào)的頻率分量。從DFT輸出中得到輸入信號(hào)的初始相位為

式中，Im和Re分別表示復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。

因?yàn)樵诙虝r(shí)間內(nèi)輸入頻率變化不大，假設(shè)在m時(shí)刻之后間隔不長(zhǎng)的n時(shí)刻，1 ms長(zhǎng)數(shù)據(jù)的DFT分量Xn（k）也是最大分量。在n時(shí)刻、k頻率分量時(shí)，輸入信號(hào)的初始相角為

利用這兩個(gè)相位角可得到精細(xì)頻率為

由式（6）得到的頻率分辨率比DFT得到的頻率分辨率更精確。為了保持這個(gè)頻率不模糊，相位差θn（k）－θm（k）必須小于2π。當(dāng)相位差為2π時(shí)，不模糊帶寬是1／（n－m），其中，n－m是兩組連續(xù)數(shù)據(jù)之間的延遲時(shí)間［15］。

1.3 電力信號(hào)頻率校正

用工頻頻率f＝50 Hz，與精細(xì)頻率fΔ相加得到電力信號(hào)的新的頻率為

這樣就可以得到一個(gè)更為逼近電力信號(hào)頻率的頻率，可以對(duì)接著進(jìn)來的電力信號(hào)x（t）再取兩個(gè)周期使用采樣率

式中，N＝128。

進(jìn)行新一次采樣得到兩段新的信號(hào)，重新做DFT變換，利用式（6）～式（8）得到新的采樣率，這樣不斷重復(fù)這個(gè)過程就可以不斷逼近實(shí)際的電力信號(hào)頻率，就可達(dá)到很高的采樣同步。

2 電力信號(hào)的同步采樣

估計(jì)得到新的采樣率后，就對(duì)之前由A／D得到的原采樣率的離散信號(hào)進(jìn)行采樣率轉(zhuǎn)換。這里運(yùn)用對(duì)Farrow濾波器改進(jìn)的方法實(shí)現(xiàn)離散信號(hào)的采樣率轉(zhuǎn)換。

2.1 改進(jìn)的Farrow濾波器

假設(shè)一組數(shù)字信號(hào)序列x（nTs），Ts為采樣間隔，發(fā)送方采樣率為fs＝1／Ts。若接收方采樣率為fy＝1／Ty與發(fā)送方不一致，則發(fā)送方與接收方必須進(jìn)行采樣率轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換公式［16，17］為

對(duì)于任意因子的采樣率轉(zhuǎn)換，設(shè)mTy＝（km＋Δ）Ts，0≤Δ＜1，km為整數(shù)，則式（9）可以寫成

簡(jiǎn)化為

令k＝km－n，可以得到

2.2 濾波器的插值運(yùn)算

用P階多項(xiàng)式，如泰勒展開式、拉格朗日多項(xiàng)式來逼近h（k＋Δ）［17］，其展開式為

本文濾波器設(shè)計(jì)為P＝7，采樣得到N＝8個(gè)系數(shù)，用h（n）表示，對(duì)這8個(gè)系數(shù)做DFT變換得到

為了得到任意的采樣率下的離散信號(hào)，對(duì)H（k）做插值處理，讓它逼近連續(xù)信號(hào)，以方便實(shí)現(xiàn)得到任意數(shù)值下的采樣率。根據(jù)離散逆傅里葉變換公式

在這里為了得到插值的效果，n的取值可以是任意步長(zhǎng)的小數(shù)，也可以是整數(shù)，把式（15）展開得

插值后需要考慮h（n）的誤差［18］，即

在這里從500個(gè)點(diǎn)到10000個(gè)點(diǎn)每隔100點(diǎn)做插值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)采用2000個(gè)點(diǎn)的就可以達(dá)到所要求的信號(hào)恢復(fù)效果，其中插值2000點(diǎn)和10000點(diǎn)相減的差值，見圖1。

從圖1中可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)差值非常小，說明差值2000點(diǎn)和10000點(diǎn)相差微小。把2000點(diǎn)的插值保存為文件形式，以作為信號(hào)重構(gòu)時(shí)候查表用。

圖1 h（n）插值2000點(diǎn)和10000點(diǎn)相減的結(jié)果示意Fig.1 Subtraction result of h（n）interpolation of 2000 points and 10000 points

2.3 信號(hào)的采樣速率轉(zhuǎn)換

在得到新的比較合適的采樣率h（n）的系數(shù)表之后，從硬件A／D得到的離散的電力信號(hào)x（t）的采樣率按照為工頻頻率f＝50 Hz的整數(shù)倍來采樣得到離散信號(hào)x（n），x（n）對(duì)h（n）進(jìn)行查表卷積，就可以得到新的采樣率的電力信號(hào)，即

3 仿真分析及實(shí)踐

在PC機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，仿真軟件為MATLAB7.0。在編程過程中把采樣率歸一化為fs＝1，固定每個(gè)電力信號(hào)周期采樣點(diǎn)數(shù)N＝128，采樣點(diǎn)間隔Ts＝1／fs，歸一化因子M＝128×50，基波頻率f0＝50／M Hz，其波動(dòng)范圍最大是0.2 Hz，所以構(gòu)造仿真的電力信號(hào)頻率f1＝50.2／M，編程的數(shù)據(jù)精度用long。

實(shí)驗(yàn)考慮3種信號(hào)環(huán)境：沒有諧波和噪聲、有3次、5次和7次諧波以及添加了諧波和20 dB的高斯白噪聲的頻率估計(jì)，運(yùn)用精細(xì)頻率估計(jì)方法，得出結(jié)果如表1所示。

表1 精細(xì)頻率的估計(jì)仿真結(jié)果Tab.1 Simulation result of fine frequency Hz

從表1結(jié)果可以看出，在沒有諧波和噪聲的時(shí)候信號(hào)經(jīng)過第一次的估計(jì)，頻率估計(jì)值就達(dá)到了0.001數(shù)量級(jí)精度，經(jīng)過3次估計(jì)就完全收斂到50.200000 Hz；同時(shí)添加了諧波和噪聲對(duì)頻率估計(jì)的精度影響不大，這兩種情況都是經(jīng)過3次循環(huán)估計(jì)就完全收斂。驗(yàn)證了該算法應(yīng)用在電力信號(hào)的估計(jì)以及跟蹤中的有效性和可靠性，為下一步的信號(hào)采樣率轉(zhuǎn)換提供了準(zhǔn)確的與基波成整數(shù)倍的采樣頻率，從而為運(yùn)用FFT做諧波分析提供可靠的采樣信號(hào)。信號(hào)的采樣速率轉(zhuǎn)換沒有直接利用h（n）的表達(dá)式，而是利用MATLAB7.0中的工具Fdatool設(shè)計(jì)h（n）的系數(shù)，h（n）的參數(shù)為截止頻率fc＝6400 Hz，采樣率fs＝6400×4 Hz，階數(shù)為7階，選擇Bartlett－h(huán)anning窗函數(shù)設(shè)計(jì)。

為了在查表實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)采樣率轉(zhuǎn)換過程當(dāng)中達(dá)到更好的效果，對(duì)h（n）的參數(shù)利用逆DFT公式插值達(dá)到7×300個(gè)點(diǎn)，根據(jù)DFT的對(duì)稱性在利用IDFT做插值的過程中取變換的長(zhǎng)度為N＝3.5，插值效果如圖2所示。

圖2 插值成7×300個(gè)點(diǎn)的效果Fig.2 Diagram of 7×300 points

利用這個(gè)插值成7×300個(gè)點(diǎn)的h（n）對(duì)一個(gè)信號(hào)做D／A轉(zhuǎn)換，其中0至100點(diǎn)的效果如圖3所示，具有非常理想的采樣速率轉(zhuǎn)換效果。

圖3 對(duì)信號(hào)重新采樣后的效果Fig.3 Diagram of the re－sampling signal

設(shè)原始信號(hào)的數(shù)學(xué)式子為

信號(hào)中含有的最高諧波成分的頻率為350 Hz，對(duì)以上信號(hào)設(shè)置采樣頻率fs＝128×50 Hz進(jìn)行采樣，并進(jìn)行傅里葉變換得到如圖4所示，其中只顯示了原始信號(hào)的0～500點(diǎn)以及一個(gè)周波的頻譜。

圖4 對(duì)信號(hào)重新采樣后的FFT頻譜Fig.4 FFT of the re－sampling signal

對(duì)x（t）設(shè)置一個(gè)采樣率f′s為f1的整數(shù)倍，取一個(gè)周期信號(hào)做FFT變換得到結(jié)果，以及讓x（t）經(jīng)過算法做頻率估計(jì)和采樣速率轉(zhuǎn)換后也取一個(gè)周期信號(hào)做FFT變換得到的結(jié)果于表2中所示。因?yàn)橹夭蓸舆^程中存在泄漏，因此頻率估計(jì)到第5次才收斂于50.20066477092068。

表2 理論整數(shù)倍采樣率與同步采樣后的信號(hào)FFT變換結(jié)果Tab.2 FFT comparison of the signals with the theoretical integer sampling rate and the synchronous sampling rate

從表2中可以看到，如果采樣頻率嚴(yán)格為電力信號(hào)的整數(shù)倍的時(shí)候，在頻域中除了基波和諧波項(xiàng)，其他的幅度都為零。

采用本文的頻率估計(jì)和重采樣算法后信號(hào)的頻譜仍然存在少量的泄漏，這是因?yàn)樵诓蓸铀俾兽D(zhuǎn)換過程中不可避免地會(huì)有泄漏，使得采樣頻率沒有嚴(yán)格地等于信號(hào)頻率的整數(shù)倍引起。但是基波幅度和諧波幅度最大比值僅僅為7.761520465715398×10－5，說明頻譜泄漏很小，此精度完全能滿足后面對(duì)電力信號(hào)的諧波分析，完全能準(zhǔn)確地找出諧波項(xiàng)。

4 結(jié)論

（1）本文提出了運(yùn)用精細(xì)頻率估計(jì)來估算和跟蹤電力信號(hào)的頻率，這種方法可以無窮逼近電力信號(hào)的真實(shí)頻率，一次估計(jì)據(jù)可以達(dá)到0.001的精度，仿真發(fā)現(xiàn)當(dāng)信號(hào)中無論是否存在諧波和噪聲，經(jīng)過3次估算就可以完全得到電力信號(hào)的頻率，當(dāng)重采樣中存在泄漏時(shí)經(jīng)過5次循環(huán)估計(jì)的頻率就收斂。

（2）利用MATLAB7.0自帶的工具Fdatool設(shè)計(jì)好低通濾波器的脈沖響應(yīng)的系數(shù)保存成表格形式，再運(yùn)用Farrow濾波器的算法查表實(shí)現(xiàn)信號(hào)的采樣率轉(zhuǎn)換。通過查表而不用脈沖響應(yīng)的表達(dá)式，在保證采樣頻率轉(zhuǎn)換效果良好的同時(shí)可以很大程度上減少了信號(hào)采樣速率轉(zhuǎn)換的運(yùn)算量。

（3）本文算法經(jīng)仿真和實(shí)踐檢驗(yàn)證明可行有效，該算法可以應(yīng)用于各種電力配電系統(tǒng)裝置的前端處理中的電力信號(hào)的同步采樣。

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