摘要：在生產(chǎn)和運(yùn)輸最終產(chǎn)品或服務(wù)的過程中在供應(yīng)商、制造商、分銷商、零售商和客戶當(dāng)中的信息流和材料、產(chǎn)品關(guān)系的協(xié)調(diào)是供應(yīng)鏈管理的重要內(nèi)容。為了進(jìn)一步減少成本和提高客戶服務(wù)水平，集中庫(kù)存管理是值得研究的。在本文中，我們回顧在集中庫(kù)存管理系統(tǒng)中的博弈論。此外，我們引進(jìn)一個(gè)新的集中庫(kù)存的模型：多客戶分布網(wǎng)絡(luò)。

關(guān)鍵詞：博弈論 合作博弈 集中庫(kù)存管理 庫(kù)存模型

引言

供給鏈的主要特點(diǎn)是：連鎖的公司是努力優(yōu)化他們獨(dú)立目標(biāo)的獨(dú)立角色，他們的決策也的確會(huì)影響供給鏈中的其他公司的效益。這些企業(yè)決策的互動(dòng)需要行為的協(xié)調(diào)，因此博弈論是非常適合解決這些互動(dòng)的。供應(yīng)鏈管理一個(gè)重要的內(nèi)容是如何做好公司或零售商的庫(kù)存管理。庫(kù)存管理出現(xiàn)在20世紀(jì)初，第一篇關(guān)于庫(kù)存管理的數(shù)學(xué)模型論文由Harris完成。大多數(shù)情況下，庫(kù)存管理的目標(biāo)是減少由庫(kù)存系統(tǒng)產(chǎn)生的每單位的時(shí)間成本，同時(shí)保證服務(wù)的預(yù)先指定的最低水平。運(yùn)用合作博弈論解決庫(kù)存管理的論文近幾年已近出現(xiàn)。即使這是個(gè)年輕的領(lǐng)域，但是也存在一些相關(guān)的文獻(xiàn)了。在本文中，我們回顧這些文獻(xiàn)，此外，我們將引進(jìn)和研究一個(gè)分析在多客戶分布網(wǎng)絡(luò)中的合作問題的模型。

一、確定庫(kù)存情況的合作

假設(shè)存在[n]個(gè)代理，[N=1，...，n]，他們都面臨經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)數(shù)量（EPQ）的問題和短缺。帶有短缺問題的EPQ模型中，假設(shè)代理商賣的是一種特定的商品。他在單位時(shí)間內(nèi)必須完成的需求量為[didi≥0]，這種商品每單位保存成本記為[hi(hi>0)]。每份訂單的固定成本記為[a]，代理商[i]假設(shè)存在不能及時(shí)完成需求量的可能性，允許商品的短缺。單位時(shí)間內(nèi)單位商品的短缺成本記為[si>0]，在一個(gè)確定固定的時(shí)間（不是一般性，我們假設(shè)從零開始）下，單位時(shí)間內(nèi)收到的商品記為[ri]。我們認(rèn)為[ri>di]，否則這個(gè)模型沒有任何意義。代理商[i]的替代率記為[ri]。代理商必須選擇一個(gè)大小為[Qi]的訂單和一個(gè)最大化短缺量[Mi]來使他的庫(kù)存成本實(shí)現(xiàn)最小化，由下列公式可得

[CQi，Mi=adiQi+hiQi1-diri-Mi22Qi1-diri+siM2i2Qi1-diri]

用初等的數(shù)學(xué)方法，可得

[Qi=2adihi1-dirihi+sisi，Mi=2adihishi+si1-diri]

而且，通過用[mi=diQi]作為最優(yōu)的訂單數(shù)，可得

[CQi，Mi=2ami][]

現(xiàn)在我們認(rèn)為在集合S中的代理商決定一起下訂單來節(jié)約部分訂單成本。所以單位時(shí)間內(nèi)他們?yōu)橐环萦唵位ㄙM(fèi)的是[a]，而不是[Sa]。為了把單位時(shí)間內(nèi)平均庫(kù)存管理成本最小化，代理商們必須協(xié)調(diào)他們的訂單，所以對(duì)于所有的代理商都有[Q*idi=Q*jdj]，[Q*j，Q*i]分別表示代理商[i]和代理商[j]的最優(yōu)產(chǎn)量。然后，單位時(shí)間內(nèi)的平均總成本可以寫成如下

[CQi，Mjj∈s=ad1Q1+12j∈shjdjd1Q11-djrj-2Mj+12j∈shj+sjd1M2jdjQ11-djrj]

通過使用標(biāo)準(zhǔn)差分析技術(shù)，最優(yōu)最小值[C]可得

[Q*i=2ad2ij∈sdjhjsjhj+sj1-djrj，M*i=Q*ihi1-djrjhi+si]

對(duì)于所有的[i]都成立，而且

[CQ*1，M*jj∈s=2aj∈sm2j]

我們注意到最小成本僅依賴于參數(shù)[a]和代理商的最優(yōu)訂單數(shù)[mi]。因此，為了計(jì)算最小成本，我們假設(shè)每個(gè)代理商的最優(yōu)價(jià)值[mi]，然后，多個(gè)代理商的庫(kù)存成本情況可以描述為[N，a，m]，[m=mii∈N，mi]是代理商不合作的情況下，單位時(shí)間內(nèi)的最優(yōu)數(shù)量。

對(duì)于每個(gè)庫(kù)存管理成本[N，a，m]，我們可以設(shè)置為庫(kù)存成本博弈[N，c]，對(duì)于每個(gè)聯(lián)盟[S≠φ，cS=2ams，ms=i∈sm2i，cφ=0]。我們注意到了對(duì)于每個(gè)[S?N，c2S=i∈sc2i]，庫(kù)存博弈完全是通過定義個(gè)人成本來描述的。事實(shí)上，我們現(xiàn)在提出了這一類的成本分?jǐn)傄?guī)則：訂購(gòu)份額的成本規(guī)則，簡(jiǎn)稱SOC規(guī)則。這個(gè)規(guī)則提出代理商[i]要支付他自己控股和股票的成本、與他投入成正比的固定訂單成本[m2i]。

通過計(jì)算，SOC規(guī)則可以寫成如下形式

[SOCiN，c=c2ij∈Nc2jcN=c2icN]

[N，a，m]是庫(kù)存成本情況，[N，c]是相關(guān)的庫(kù)存成本博弈。

幾個(gè)有缺點(diǎn)的EPQ模型已經(jīng)從合作的角度上被研究了。Meca (2007)研究了一個(gè)有短缺的特殊的EPQ模型，這個(gè)模型中，當(dāng)代理商下訂單時(shí)可以得到暫時(shí)的折扣。這個(gè)合作的行為由訂單成本和倉(cāng)儲(chǔ)設(shè)施決定。Federgruen（1992）、Anily和Haviv（2007）提出了另一個(gè)和庫(kù)存管理相關(guān)的成本分配問題：交互聯(lián)合補(bǔ)貨模型。Federgruen（1992）表明這個(gè)合作博弈模型是凹函數(shù)。Dror和Hartman(2007)也認(rèn)為這是個(gè)特殊的交互成本結(jié)構(gòu)，正如Meca 等(2004)假設(shè)認(rèn)為的：代理商總是通過EOQ政策手段把訂單集合起來。后來，張（2009）表明在POT策略下，相互聯(lián)合補(bǔ)貨博弈模型中存在聯(lián)合成本函數(shù)。

最后，Bernstein 等(2009)分析了類似于日本豐田公司的生產(chǎn)系統(tǒng)?；谶@個(gè)模型，他們研究了一個(gè)知識(shí)共享網(wǎng)絡(luò)的利益問題。這種網(wǎng)絡(luò)的主要目標(biāo)是在供應(yīng)商中共享信息和知識(shí)，供應(yīng)商之間的知識(shí)轉(zhuǎn)移可以通過兩個(gè)階段。第一階段，他們會(huì)分析在他們EOQ中如何通過投資來減少安裝成本。對(duì)于這種知識(shí)共享的類型，我們可以考慮分享知識(shí)（像豐田），這樣使所有的供應(yīng)商減少他們的固定安裝成本。在第二階段，很多供應(yīng)商都會(huì)向固定安裝成本最小的供應(yīng)商學(xué)習(xí)。供應(yīng)商之間的知識(shí)轉(zhuǎn)移通過固定安裝成本最小化的博弈建立起了模型。在這個(gè)框架中，Bernstein 等(2009)發(fā)現(xiàn)在合作供應(yīng)商之間，知識(shí)共享是可行的。

二、隨機(jī)庫(kù)存情況的合作

本節(jié)涉及非確定性的庫(kù)存情況。已經(jīng)存在大量的論文研究合作問題：如何在隨機(jī)庫(kù)存情況中優(yōu)化和分配儲(chǔ)蓄。大部分論文的重點(diǎn)是新聞供應(yīng)商類型問題?？紤]有限的新聞供應(yīng)商商店集合，這些商店通過在每個(gè)時(shí)期的開始訂購(gòu)一定數(shù)量的商品來應(yīng)對(duì)每個(gè)周期的隨機(jī)需求。由于需求是隨機(jī)的，商店會(huì)在每個(gè)時(shí)期面對(duì)下面兩種情況中的一種：

1.訂購(gòu)的數(shù)量少于現(xiàn)實(shí)中的需求量，導(dǎo)致商店的利潤(rùn)減少。

2.訂購(gòu)的數(shù)量超過現(xiàn)實(shí)中的需求量，導(dǎo)致商店的棄置成本的增加，因?yàn)閳?bào)紙是易于腐爛的物品。

在形式上，我們考慮集合[N=1，...，n]表示商店集合。每個(gè)商店[i∈N]面臨一個(gè)非負(fù)的隨機(jī)需求[xi]。每單位的棄置成本是[h>0]，每售出單位的處罰成本[p>0]。這些成本對(duì)于所有的商店都是相同的。每一階段的開始產(chǎn)品一旦被訂購(gòu)，那么產(chǎn)品不能被返還。不存在訂單成本也不存在數(shù)量折扣。這種情況是靜止的，但是期間會(huì)無限次反復(fù)重復(fù)。[q]數(shù)量的訂單成本：

[ψx，q=hq-x，q≥xpx-q，q

考慮一個(gè)商店聯(lián)盟[S?N]面臨一個(gè)共同需求[xS=i∈Sxi]，這個(gè)隨機(jī)變量是滿足分布函數(shù)[FS]性質(zhì)的。對(duì)于所有的聯(lián)盟[S?N，EψxS，q<∞]，對(duì)于所有[S?N]，我們可以發(fā)現(xiàn)最小化[EψxS，q]后得到最優(yōu)值[qS]新聞供應(yīng)商預(yù)期博弈[N，cE]是屬于特征函數(shù)[cES=EψxS，qS]的一個(gè)成本博弈。[cES≥0]代表最優(yōu)的庫(kù)存成本。

現(xiàn)在假設(shè)在某一時(shí)期，聯(lián)盟[S?N]產(chǎn)生一個(gè)最優(yōu)訂單量[qS].然后，在期末，每個(gè)商店[i∈S]觀察它的現(xiàn)實(shí)需求量，比如說[qi∧]。總共的現(xiàn)實(shí)需求量是[q∧S=i∈Sq∧i]。對(duì)于一個(gè)商店來說存在兩種可能性：（1）[q∧S≤qS]，這種集中式系統(tǒng)的成本是[hqS-q∧S](2)[q∧S≥qS]，這種成本等于[pq∧S-qS]

文獻(xiàn)中關(guān)于新聞供應(yīng)商的庫(kù)存集中問題的研究主要集中在預(yù)期成本分析。一個(gè)動(dòng)態(tài)和反復(fù)的成本分配系統(tǒng)的分析是Dror等人（2008）的主要議題。他們研究基于現(xiàn)實(shí)需求的庫(kù)存集中博弈，并在Lehrer(2002)提出的分配程序的基礎(chǔ)上，對(duì)動(dòng)態(tài)現(xiàn)實(shí)博弈提出了一個(gè)重復(fù)成本分配方案。這表明動(dòng)態(tài)現(xiàn)實(shí)的博弈的子序列，基于Lehrer規(guī)則肯定會(huì)收斂到一個(gè)最小二乘值。為了完成這個(gè)研究，他們對(duì)上述結(jié)果擴(kuò)展到更一般的動(dòng)態(tài)成本博弈并且放寬關(guān)于在不同階段代理商的需求序列的獨(dú)立假說。

三、多客戶分布網(wǎng)絡(luò)的合作

在集中庫(kù)存模型的合作問題中，存在很多普遍性的問題需要解決。這是個(gè)非常廣泛的領(lǐng)域，在未來幾年會(huì)產(chǎn)生很多結(jié)果。本文介紹探討了這方面內(nèi)容的一個(gè)新模型。持有成本類型的博弈中，面對(duì)EOQ問題的代理商通過聯(lián)合發(fā)放訂單和存放所有的物品在最便宜的倉(cāng)庫(kù)來協(xié)調(diào)訂單。然而，在很多實(shí)際情況下，把所有物品存放在最便宜的倉(cāng)庫(kù)是不可能的，比如地理問題，市場(chǎng)限制，代理商的差異等等。總之，這種持有成本的協(xié)調(diào)可能會(huì)縮小代理商的組織規(guī)模。我們現(xiàn)在研究集中庫(kù)存的新格局。

設(shè)[N=1，...，n]是面對(duì)EOQ問題的一組代理商。設(shè)[Ρ=p1，...，pm]是[N]的一個(gè)分區(qū)。對(duì)于每個(gè)[k∈M=1，...，m]，[pk]代表可以協(xié)調(diào)代理商儲(chǔ)存他們的貨物在最便宜的倉(cāng)庫(kù)里的代理商組織。我們將區(qū)分協(xié)調(diào)過程的兩個(gè)步驟。第一，在每一組的代理商[pk]協(xié)調(diào)他們的訂單并將他們的貨物放在最便宜的倉(cāng)庫(kù)里。我們表示[hpk=minj∈pkhj]。第二，假設(shè)代理商中的[pk]作為區(qū)塊同意協(xié)調(diào)他們的訂單。當(dāng)代理商[i∈pk，j∈pl]同意合作，那么在[pk?pl]中的代理商也會(huì)合作

最優(yōu)地，在庫(kù)存博弈中代理商有相同長(zhǎng)度的周期。即對(duì)于所有的[i，j∈N]，都有[Q*jdj=Q*idi]，其中[Q*i]表示最優(yōu)的訂單大小。然后，每單位總平均成本可以寫成如下形式：

[CQ1=ad1Q1+Q12d1k∈Mhpkj∈pkdj].

使用標(biāo)準(zhǔn)差分析技術(shù)，可以確認(rèn)對(duì)于所有[i∈N]最小化[C]的最優(yōu)產(chǎn)量：

[Q*i=2ad2ik∈Mhpkj∈pkdj]

而且[CQ*1=2ak∈Mm2pk]，這里[mpk=j∈pkdjhpk2a]表示在持有成本環(huán)境[pk，a，hi，dii∈pk]中[pk]聯(lián)盟的最優(yōu)訂單量。

最優(yōu)平均成本僅依賴于參數(shù)[a]和[mpk]，然后，每組代理商僅顯示其最優(yōu)訂單量[mpk]。為了計(jì)算[mpk]，需要得到[pk]的信息。我們定義部分持有成本情況[N，Ρ，a，mpkk∈M]，如果[Ρ=1，...，n]，即共同下訂單，然后代理商面臨一個(gè)正如Meca等（2004）提到的庫(kù)存情況。但是如果[Ρ=N]，即所有的代理商都可以通過聯(lián)合下訂單和儲(chǔ)存商品在最便宜的倉(cāng)庫(kù)的方式來實(shí)現(xiàn)合作，然后代理商再一次面對(duì)持有成本情況。

考慮協(xié)調(diào)過程中的一個(gè)庫(kù)存博弈[M，a，mpkk∈M]，更具體地，成本博弈[M，cp]，其中[cpΦ=0]，[cpR=2ak∈Rm2pk].為了分擔(dān)總成本，考慮代理商之間的博弈，我們定義一套合理的分配制度

[RN，P，a，mpkk∈M=x∈RnxN=cpMandxk∈TPk≤cpT?cpT?T?M]其中[xS=i∈Sxi]， [RN，P，a，mpkk∈M≠φ]

部分持有成本情況中的成本分配規(guī)則是一個(gè)函數(shù)[ψ]，它把向量[ψN，Ρ，a，mpkk∈M∈RN]分配給每一個(gè)[N，Ρ，a，mpkk∈M]，以下是我們模型協(xié)調(diào)過程中的步驟，我可以定義如下的成本分配規(guī)則

1.根據(jù)SOC規(guī)則，分配[cpM]給每個(gè)代理商

2.在代理商組[pk] 中根據(jù)他們的需求[di] 分配每個(gè)代理商組的支出

我們稱這個(gè)規(guī)則為各組分配成本規(guī)則（簡(jiǎn)單說，SCG規(guī)則），可以寫成

[SCGiN，Ρ，a，mpkk∈M=2adihpk∈Mcpk2cpM]

結(jié)果表明SCG規(guī)則是一個(gè)合理的分配制度，它推廣了持有成本中的SOC規(guī)則和需求比例規(guī)則。

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作者簡(jiǎn)介：

劉欣（1989-），女，廣西玉林人，廣西師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院經(jīng)濟(jì)史碩士研究生，研究方向：經(jīng)濟(jì)史，數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)；

祁磊（1988-），男，陜西漢中人，廣西師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院經(jīng)濟(jì)史碩士研究生，研究方向：經(jīng)濟(jì)史，數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)。