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        高等數(shù)學教學中易錯的二個問題

        2012-04-08 08:25:40羅星海
        關(guān)鍵詞:洛必達等份海涅

        羅星海

        (湖北交通職業(yè)技術(shù)學院科研處,湖北武漢430079)

        高等職業(yè)教育快速發(fā)展,招生規(guī)模不斷增加,高等數(shù)學教學壓力增大,學校聘請一些名校的博士、碩士來校上課,作為學院的中老年數(shù)學教師,在聽課中發(fā)現(xiàn)外聘教師二個常犯的教學錯誤,分析出錯原因,供教師教學、學生學習參考。

        1 洛必達法則求極限

        錯誤原因:洛必達法則誤用。

        定理(洛必達法則)設函數(shù)f(x)、g(x)在x0的某鄰域內(nèi)可導,且滿足:

        (2)g'(x)≠0;

        正確解法如下:

        使用洛必達法則求數(shù)列極限應注意:不能直接應用該法則,可先求對應的函數(shù)極限,再根據(jù)海涅定理得到數(shù)列的極限。

        海涅定理是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限之間的橋梁。根據(jù)海涅定理,求函數(shù)極限可化為求數(shù)列極限,同樣求數(shù)列極限也可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限。此處,只討論將數(shù)列極限問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限問題,以便能正確使用洛必達法則。

        這樣教學,高職學生顯然無法聽懂,用極限的“ε-N”定義證明數(shù)列的極限不是高職教學之重點,但采用洛必達法則求極限的方法證明,學生比較易于接受。

        證法二:由洛必達法則

        由海涅定理

        2 定積分的定義

        定義:設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,在區(qū)間[a,b]上任意插入n-1個分點

        a=x0< x1< x2< … < xi-1< xi< … < xn-1< xn=b,把區(qū)間[a,b]分成 n個小區(qū)間:[x0,x1],[x1,x2],…,[xi-1,xi],…[xn-1,xn],各個小區(qū)間的長度分別記為

        △xi=xi- xi-1(i=1,2,…,n).在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上,任取一點 ξi(xi-1≤ξi≤xi),得相應的,作乘積 f(ξi)△xi(i=1,2,…,n),得和式,當 n無限增大時,如果上述和式的極限存在,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積,并將此極限值稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.記作

        錯誤原因:理解有誤,以為n→+∞就可實現(xiàn)[a,b]的無限細分,“任意插入n-1個分點”與“均勻插入n-1個分點”是完全不同的,當將[a,b]平均分成n等份時,n→+∞可以保證所有△xi→0,否則,當n→+∞ 時,不能保證所有△xi→0。如,在[a,b]插入 c(a<c<b),再在[a,c]內(nèi)插入 n-2個分點,這樣當n→+∞時,△xn=b-c不趨于0。

        正確定義是:設函數(shù) f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,在區(qū)間[a,b]上任意插入n-1個分點

        a=x0< x1< x2< … < xi-1< xi< … < xn-1< xn=b,把區(qū)間[a,b]分成 n個小區(qū)間:[x0,x1],[x1,x2],…,[xi-1,xi],…[xn-1,xn],各個小區(qū)間的長度分別記為

        △xi=xi- xi-1(i=1,2,…,n).在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上,任取一點得相應的函數(shù)值 f(ξi),作乘積 f(ξi)△xi(i=1,2,…,n),得和式,令 λ =max{△xi}(i=1,2,…,n),當n無限增大且λ→0時,和式極限存在,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積,并將此極限值稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.記作

        例2 利用定積分概念求極限

        解:設f(x)=x,在區(qū)間[0,1]內(nèi)插入 n-1個分點,將區(qū)間[0,1]分成n等份,這樣1,2,…,n),在第i個小區(qū)間上取右端點為

        解:函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上有界連續(xù)函數(shù),顯然可積。在區(qū)間[0,1]內(nèi)插入n-1個分點,將區(qū)間[0,1]分成 n等份在第i個小區(qū)間上取右端點為于是

        分母的極限

        例2和例3可以看出,為了計算方便,一般將積分區(qū)間[a,b]分成n個區(qū)間長度相等的小區(qū)間,每個,于是,當n→∞時,也就能保證λ=Max{△xi}→0,這也就是為什么一些碩士、博士生教學時,將λ→0誤解為n→∞是等效的根本原因。

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