邱新建，山拜·達(dá)拉拜，薛鳳鳳（.新疆大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院智能信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)室，烏魯木齊80046；2.解放軍68207部隊(duì)，甘肅酒泉75000；.空軍工程大學(xué)電訊工程學(xué)院，西安70077）

一種基于矩陣三對(duì)角化分解的DOA估計(jì)算法?

邱新建1，2，山拜·達(dá)拉拜1，薛鳳鳳3
（1.新疆大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院智能信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)室，烏魯木齊830046；2.解放軍68207部隊(duì)，甘肅酒泉735000；3.空軍工程大學(xué)電訊工程學(xué)院，西安710077）

針對(duì)DOA（Direction of Arrival）估計(jì)在低信噪比的情況下估計(jì)性能下降的問(wèn)題，根據(jù)陣列協(xié)方差矩陣共軛對(duì)稱的特點(diǎn)，采用基于Givens變換的三對(duì)角化分解方法對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行三對(duì)角化，同時(shí)利用蓋氏（Gerschgorin）圓遞推方法準(zhǔn)確估計(jì)信號(hào)子空間的秩，然后再對(duì)三對(duì)角矩陣進(jìn)行對(duì)角化，估計(jì)出噪聲子空間，利用噪聲子空間與導(dǎo)向矢量正交實(shí)現(xiàn)波達(dá)方向估計(jì)，改善了低信噪比背景下估計(jì)的誤差性能和穩(wěn)健性。計(jì)算機(jī)仿真證明了算法的有效性。

陣列信號(hào)處理；DOA估計(jì)；三對(duì)角化分解；Givens變換；子空間估計(jì)

1 引言

波達(dá)方向估計(jì)現(xiàn)在已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于通信、雷達(dá)、聲納等眾多領(lǐng)域，最常用的算法是Schmit提出的多重信號(hào)分類(lèi)（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法［1］。對(duì)MUSIC算法進(jìn)行改進(jìn)的算法很多，這些算法步驟大致相同，都需要先對(duì)陣列的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，通過(guò)比較分解得到的特征值的數(shù)值大小來(lái)分離信號(hào)子空間和噪聲子空間，然后利用噪聲子空間與信號(hào)導(dǎo)向矢量的正交特性來(lái)估計(jì)信號(hào)到達(dá)方向。當(dāng)在低信噪比時(shí)協(xié)方差矩陣特征值的擾動(dòng)會(huì)非常大，分離信號(hào)子空間與噪聲子空間將變得很困難，估計(jì)得到的值方差很大，往往難以滿足實(shí)際要求。文獻(xiàn)［2-3］通過(guò)引入多級(jí)維納濾波器（Multistage Wiener Filter，MSWF）提高了DOA估計(jì)的抗噪性能和分辨率，但該類(lèi)算法依賴于參考信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)，而在實(shí)際中先驗(yàn)知識(shí)很難得到。文獻(xiàn)［4-5］將生物進(jìn)化算法與DOA估計(jì)問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，有效地克服了噪聲的影響，但是生物進(jìn)化算法計(jì)算量大，一方面很難滿足實(shí)時(shí)要求，同時(shí)也難將這種算法向多維方面推廣，應(yīng)用范圍有限。

本文通過(guò)分析樣本協(xié)方差矩陣，采用三對(duì)角化分解等一些數(shù)學(xué)工具，能夠降低估計(jì)方差，同時(shí)提高噪聲子空間估計(jì)值的準(zhǔn)確度，尤其在低信噪比的情況下性能更優(yōu)越。

2 信號(hào)模型

信號(hào)模型如圖1所示，陣列為N元直線陣，陣元間距為d，假設(shè)陣元均為各向同性陣元，P個(gè)信號(hào)入射到陣列天線，入射角為θi（i=1，2，…，P），則陣列數(shù)據(jù)可表示為

A為陣列流型矩陣，σ2為噪聲方差。

3 算法描述

3.1 對(duì)稱三對(duì)角化過(guò)程

任何實(shí)方陣都可以通過(guò)初等旋轉(zhuǎn)變換或者初等反射變換正交相似于上Hessenberg矩陣，而陣列協(xié)方差矩陣RX為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)，RX正交相似于三對(duì)角矩陣。

證明：設(shè)T為旋轉(zhuǎn)變化的正交矩陣，由已知可得：

所以RX只能正交相似于對(duì)稱三對(duì)角矩陣。

現(xiàn)在設(shè)陣列協(xié)方差矩陣RX=（rij）n×n，取RX后n-1個(gè)元素記為

將分解得到的對(duì)稱三對(duì)角矩陣表示為A=（aij）n×n。

3.2 子空間估計(jì)

這里根據(jù)Gerschgorin圓定理［7］，矩陣A的特征值包含在它所有的蓋氏圓的并區(qū)間內(nèi)?，F(xiàn)在根據(jù)矩陣遞推各個(gè)蓋氏圓的半徑。

記ΛΔ=（rij）n×n，半徑表示為ρ，蓋氏圓的半徑遞推算法如下。

（1）首先根據(jù)ΛΔ得出第一個(gè)半徑

通過(guò)上述算法遞推得到ρi（i=1，2，…，n-1）（第n個(gè)元素必定為噪聲特征值），則信號(hào)子空間列數(shù)的判定準(zhǔn)則為

將ρi代入上式，滿足條件的i的取值即為信源數(shù)P。

通過(guò)分解可得算法的基本步驟如下：

第一步：對(duì)稱三對(duì)角分解RX=U

第三步：V=QU得：

第四步：由估計(jì)出的噪聲子空間UN可得到信號(hào)的空間譜為

其中，a（θ）為空間搜索角度的導(dǎo)向矢量。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

在Matlab 2010b平臺(tái)下編程，從均方根誤差、算法的穩(wěn)健性和分辨率3個(gè)方面來(lái)證明本文算法的有效性，分別比較文獻(xiàn)［1］中的MUSIC算法、文獻(xiàn)［2-3］中的MSWF算法，以及文獻(xiàn)［4-5］中的基于粒子群的算法，下面將其表示為PO（Particle Swarm Optimization）算法。實(shí)驗(yàn)中陣列為8個(gè)陣元的均勻直線陣，且陣元各向同性，陣元間距為半波長(zhǎng)。信號(hào)從｛-20°，0°，20°｝3個(gè)方向入射，噪聲為時(shí)空高斯白噪聲。

4.1 均方誤差實(shí)驗(yàn)

圖2為在不同信噪比的情況下4種算法估計(jì)的均方根誤差比較，快拍數(shù)為256。從圖中可以看出，當(dāng)信噪比高于0 dB時(shí)，4種算法的誤差性能基本相同；當(dāng)信噪比低于-5 dB時(shí)，本文算法的性能明顯優(yōu)于其余3種算法，這說(shuō)明本文算法降低了對(duì)噪聲的敏感性，當(dāng)信噪比在0 dB到15 dB之間時(shí)，本文算法和MSWF算法的性能優(yōu)于其余兩種算法，這充分說(shuō)明了本文算法的有效性。

4.2 快拍數(shù)影響實(shí)驗(yàn)

通過(guò)快拍數(shù)和譜峰搜索失敗概率來(lái)衡量本文算法的數(shù)值穩(wěn)健性?？炫臄?shù)對(duì)均方根誤差的影響反映的是算法在陣列協(xié)方差矩陣估計(jì)不準(zhǔn)確的情況對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響，譜峰搜索失敗概率反映的是在噪聲干擾的情況下算法對(duì)子空間估計(jì)的準(zhǔn)確程度的依賴，從圖3可以看出，在低信噪比時(shí)本文算法的性能最先開(kāi)始好轉(zhuǎn)，當(dāng)信噪比上升至0 dB時(shí)，MSWF算法的性能與本文算法相當(dāng)，且優(yōu)于其余兩種算法。

將信噪比變?yōu)?5 dB，其余仿真條件不變，圖4為快拍數(shù)對(duì)均方根誤差的影響。仿真結(jié)果表明數(shù)據(jù)在150次快拍數(shù)以下時(shí)，本文算法表現(xiàn)出了很好的性能，優(yōu)于MSWF算法；當(dāng)高于150次快拍時(shí)兩者性能相當(dāng)，可以看出本文算法的穩(wěn)健性遠(yuǎn)高于其他算法。

頒獎(jiǎng)典禮上，最大的主角還是來(lái)自全國(guó)各地的明星阿姨們。站在聚光燈下，阿姨們感情真摯的獲獎(jiǎng)感言，贏得了現(xiàn)場(chǎng)與會(huì)人員的陣陣掌聲。聽(tīng)到宣讀自己的名字，來(lái)自福建廈門(mén)的盛海霞興奮不已。站在領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)上，她激動(dòng)地說(shuō)“非常感謝蘭心獎(jiǎng)給我們阿姨一個(gè)展示自己的舞臺(tái)。360行，行行出狀元。今后，我對(duì)我從事的職業(yè)會(huì)更加感到自豪。我要用自己的案例告訴身邊的朋友：一定要用心做事，甘于奉獻(xiàn)?！?/p>

4.3 分辨率實(shí)驗(yàn)

將信號(hào)源設(shè)置成兩個(gè)，入射角度為｛45°，50°｝，為了減少噪聲對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響，將信噪比調(diào)整為15 dB。采樣快拍數(shù)為256，圖5顯示了各種算法對(duì)5°差異的兩個(gè)信號(hào)的分辨能力。從圖中可以看出，本文算法的譜峰最“尖銳”，能完全分辨兩個(gè)信號(hào)，其余算法的性能都有下降，PO算法已無(wú)法分辨兩個(gè)信號(hào)。

5 結(jié)論

本文抓住了低信噪比時(shí)DOA估計(jì)性能差的關(guān)鍵，即大的噪聲方差對(duì)子空間構(gòu)成了很大的擾動(dòng)，給估計(jì)值造成很大的方差，使從分解得到的特征值中無(wú)法正常估計(jì)噪聲子空間，通過(guò)使用三對(duì)角化分解和Gerschgorin圓理論遞推出圓的半徑，從而獲得了較好的子空間估計(jì)結(jié)果，降低了特征值的方差。仿真表明，本文算法在誤差性能、穩(wěn)健性和分辨率方面取得了很好的效果，說(shuō)明本文對(duì)DOA估計(jì)算法的改進(jìn)是有效的。本文算法也還存在很多改進(jìn)之處：

（1）DOA估計(jì)的性能與所采用的陣型有很大的關(guān)系，本文算法是在最基本的平面陣列的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，對(duì)于其他的陣列性能如何，需要進(jìn)一步分析和仿真；

（2）本文算法的計(jì)算量比MUSIC算法略大，在實(shí)時(shí)性要求高的系統(tǒng)中可能會(huì)滿足不了要求。

總之，如何既要滿足低方差、高穩(wěn)健性、高分辨率而又要提高實(shí)時(shí)性是譜估計(jì)研究的屏障，作者將在這方面進(jìn)行深入的研究。

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QIU Xin-jian was born in Nanzheng，Shaanxi Province，in 1984.He received the B.S.degree in 2008.He is now a graduate student.His research direction is array signal processing.

Email：tonggong0412＠163.com

山拜·達(dá)拉拜（1959—），男，新疆烏魯木齊人，2000年獲博士學(xué)位，現(xiàn)為教授，主要研究方向?yàn)橹悄苄盘?hào)處理與陣列信號(hào)處理；

SENBAI Dalabaev was born in Urumqi，Xinjiang Uyer Autonomous Region，in 1959.He received the Ph.D.degree in 2000. He is now a professor.His research interests include intelligent signal processing and array signal processing.

薛鳳鳳（1986—），女，陜西西安人，2008年獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為講師，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理。

XUE Feng-feng was born in Xi′an，Shaanxi Province，in 1986.She received the B.S.degree in 2008.She is now a lecturer.Her research direction is array signal processing.

A DOA Estimation Algorithm Based on Matrix Tri-diagonal Decomposition

QIU Xin-jian1，2，SENBAI Dalabaev1，XUE Feng-feng3
（1.Intelligent Signal Processing Laboratory，College of Information Science and Engineering，Xinjiang University，Urumqi830046，China；2.Unit68207 of PLA，Jiuquan 735000，China；3.Telecommunications Engineering Institute，Air Force Engineering University，Xi′an 710077，China）

The direction of arrival（DOA）estimation performance declines in low signal-to-noise ratio（SNR）. According to the array covariance matrix conjugate symmetricalcharacteristic，tri-diagonaldecomposition based on Givens transformation is adopted to three diagonalize covariance matrix，at the same time the cover′s round recursive method is used to estimate signalsubspace ofrank accurately，and then diagonalize the three diagonalmatrix，estimate the noise subspace，and utilize the orthogonal of noise subspace and wire vector to realize DOA estimation.The estimation error and robustness under the low SNR condition are improved.Computer simulation proves the efficiency of the method.

array signal processing；DOA estimation；tri-diagonal decomposition；Givens transformation；subspace estimation

The National Natural Science Foundation of China（No.60971130）

TN911

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.03.013

邱新建（1984—），男，陜西南鄭人，2008年獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為碩士研究生，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理；

1001-893X（2012）03-0318-05

2011-09-28；

2012-01-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60971130）