曾耀平（西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院，西安710121）

無需信源數(shù)目的相干信號(hào)快速方位估計(jì)?

曾耀平
（西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院，西安710121）

針對(duì)空間平滑MUSIC算法會(huì)降低陣列孔徑且運(yùn)算量較大的難題，提出了一種新算法。該算法通過對(duì)矩陣最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量進(jìn)行矢量重排，可實(shí)現(xiàn)不損失陣列孔徑的解相干處理。再利用重構(gòu)矩陣逆的高階次冪來逼近真實(shí)的噪聲子空間，可避免特征分解，降低了運(yùn)算量且不需信源先驗(yàn)數(shù)目。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果證實(shí)了算法的有效性。

陳列信號(hào)處理；相干信號(hào)；方位估計(jì)；矢量重構(gòu)；快速算法

1 引言

DOA估計(jì)技術(shù)是陣列信號(hào)處理發(fā)展的一個(gè)重要方向，到目前為止己提出了一系列性能良好的高分辨算法，如MUSIC、ESPRIT［1-2］等子空間算法，但這些子空間算法不能直接對(duì)相關(guān)信號(hào)特別是相干信號(hào)進(jìn)行有效估計(jì)，要利用此類算法，都需要進(jìn)行解相關(guān)預(yù)處理。目前，常用的解相干技術(shù)有空間平滑技術(shù)［3-4］、Toeplitz化近似法［5］、修正MUSIC法［6］、矩陣重構(gòu)［7-8］等，其中空間平滑、矩陣重構(gòu)技術(shù)會(huì)降低陣列的有效孔徑，實(shí)際應(yīng)用中這是非常不利的。此外，這些解相關(guān)預(yù)處理后的算法都是基于MUSIC算法，由于MUSIC要進(jìn)行特征分解，運(yùn)算量較大，所以工程應(yīng)用的實(shí)時(shí)性會(huì)有一定困難。為了降低算法的運(yùn)算量，文獻(xiàn)［9-10］提出了基于線性算子來獲得噪聲子空間的快速算法，但只是考慮了對(duì)子空間分解的部分進(jìn)行了運(yùn)算量的降低；文獻(xiàn)［11］提出了一種基于MP原理的快速算法，但也只是將復(fù)數(shù)運(yùn)算降為實(shí)數(shù)運(yùn)算。而且這些快速算法都要知道信源的先驗(yàn)數(shù)目，而信源的先驗(yàn)數(shù)目有時(shí)很難準(zhǔn)確得出，所以這些快速算法的應(yīng)用也有一定的局限性?；谏鲜鰡栴}，本文提出了一種新算法，該算法具有以下優(yōu)點(diǎn)：一是不會(huì)損失陣列的有效孔徑，即通過矢量重構(gòu)來實(shí)現(xiàn)不降維的信號(hào)解相干；二是無需信源先驗(yàn)數(shù)目，故不存在信源估計(jì)錯(cuò)誤對(duì)方位估計(jì)的影響問題；三是不需要進(jìn)行特征分解即可得到噪聲子空間，因此可以顯著降低算法運(yùn)算量，具有很好的工程應(yīng)用前景。計(jì)算機(jī)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了新算法的有效性。

2 信號(hào)模型及矢量重構(gòu)技術(shù)

對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行高分辨定位首先要進(jìn)行解相干處理，但無論前向平滑、后向平滑以及前后向平滑解相干時(shí)都會(huì)降低陣列的有效孔徑，從而造成信號(hào)定位精度的下降。為保證定位精度，關(guān)鍵是解相干處理不能損失陣列的有效孔徑。合理地利用矢量重構(gòu)可以達(dá)到不降低陣列有效孔徑的解相干預(yù)處理，下面將進(jìn)行詳細(xì)分析。

M元均勻線列陣接收P個(gè)窄帶信號(hào)（M＞P），信源方向分別為θ1，θ2，…，θp，接收數(shù)據(jù)矢量為

式中，X（t）=［x1（t），x2（t），…，xM（t）］T為M個(gè)陣元輸出，T表示轉(zhuǎn)置，陣列流形矩陣

其中，E［·］表示求統(tǒng)計(jì)平均，對(duì)Rx進(jìn)行特征分解，特征值為λ1，λ2，…，λM，分別對(duì)應(yīng)M個(gè)特征向量。根據(jù)譜估計(jì)理論，當(dāng)接收的信號(hào)不相關(guān)時(shí)，陣列協(xié)方差矩陣的特征值就會(huì)有P個(gè)大特征值和M-P個(gè)小特征值，大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量Us屬于信號(hào)子空間，小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量Un屬于噪聲子空間，噪聲子空間和信號(hào)的導(dǎo)向矢量正交，利用正交性就可以準(zhǔn)確地進(jìn)行信號(hào)的方位估計(jì)。當(dāng)空間信號(hào)相干時(shí)，由于信號(hào)的相干性會(huì)導(dǎo)致協(xié)方差矩陣Rs出現(xiàn)秩的虧損，此時(shí)大特征值的個(gè)數(shù)會(huì)小于P，信號(hào)子空間的維數(shù)就會(huì)降低，信號(hào)子空間的維數(shù)降低會(huì)造成DOA的欠估計(jì)現(xiàn)象，工程實(shí)際中這是不允許發(fā)生的。不過由進(jìn)一步理論分析知，無論信號(hào)是否相干，對(duì)Rx進(jìn)行特征分解后，最大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量U1總是各信號(hào)導(dǎo)向矢量的一個(gè)線性組合，它包含了所有信號(hào)的方位信息，即：

其中，α（n）是線性組合系數(shù)，U1=［u11，u12，…，u1M］，G=［g1，g2，…，gP］T。

只要能得到U1，就可以得到所有信號(hào)的方位信息量，從中就可提取目標(biāo)信號(hào)的準(zhǔn)確方位。為了獲得U1，常規(guī)的方法是對(duì)陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，但特征分解的運(yùn)算量較大，算法復(fù)雜，工程實(shí)現(xiàn)比較困難，為了降低運(yùn)算量，這里采用冪迭代法替代復(fù)雜的特征分解來得到U1。

利用U1就可以進(jìn)行矢量重構(gòu)，為此，定義新向量

由式（6）知，Y是M×M的Hermitian Toeplitz矩陣，不考慮環(huán)境噪聲，則

式中，e是U1的線性表示；B是范德門矩陣，其秩為信號(hào)的個(gè)數(shù)。由公式（7）可知，無論信號(hào)是否相干，矩陣Y的秩都等于信號(hào)數(shù)目P，因此信號(hào)子空間的維數(shù)就不會(huì)因信號(hào)相干而降低。

通過矢量重構(gòu)，可以消除相干信號(hào)帶來的信號(hào)協(xié)方差矩陣秩的降低，而且在整個(gè)過程中陣列協(xié)方差矩陣的維數(shù)始終保持不變，所以也不會(huì)降低陣列的孔徑，因此達(dá)到了不損失陣列有效孔徑的解相關(guān)目的。

3 快速算法描述

對(duì)矢量重構(gòu)的數(shù)據(jù)矩陣Y進(jìn)行特征分解，即：

其中，Λs=dia…，為由大特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣，Us、Un分別為信號(hào)子空間和噪聲子空間，進(jìn)一步推導(dǎo)可得

下面，我們給出具體的算法步驟：

步驟5：利用公式（10）就可獲得空間信號(hào)的DOA估計(jì)。

4 仿真結(jié)果分析

15陣元的均勻線列陣，線陣間距d=λ／2，兩個(gè)信號(hào)，入射方向θ1=0°、θ2=5°，信噪比均為3 dB，快拍數(shù)為200，噪聲是高斯白噪聲。

從圖1可以看出，當(dāng)信號(hào)不相關(guān)時(shí)，常規(guī)MUSIC、經(jīng)過矢量重構(gòu)技術(shù)解相干的MUSIC算法（新算法）和經(jīng)過矢量重構(gòu)技術(shù)解相干的快速算法（快速新算法）都可準(zhǔn)確地分辨出空間兩個(gè)信號(hào)，其中新算法的譜峰更為尖銳。

由圖2可得，當(dāng)信號(hào)相干時(shí)，沒有經(jīng)過解相關(guān)處理的常規(guī)MUSIC算法會(huì)失效，而新算法和快速新算法由于進(jìn)行了矢量重構(gòu)，所以能夠正確地進(jìn)行相干信號(hào)的DOA估計(jì)。

為了比較新算法和快速新算法的分辨力，在同樣的陣元數(shù)和入射條件下，對(duì)兩等功率的信號(hào)（避免一個(gè)信號(hào)過強(qiáng)而淹沒另一個(gè)信號(hào)）進(jìn)行了估計(jì)，對(duì)于某一單次試驗(yàn)，估計(jì)出的空間兩不同角度的信號(hào)與如果滿足-+-＜，則表示成功分辨出兩個(gè)信號(hào)，100次Monte-Carlo仿真統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，由圖3的分辨概率曲線知，新算法和快速新算法的分辨力相差不多，新算法稍好一點(diǎn)。

同時(shí)，本文用均方根誤差即式（11）來衡量算法估計(jì)的偏差性能。

式中，Ne為仿真實(shí)驗(yàn)的次數(shù)。

圖4的均方根誤差曲線表明，雖然快速新算法在低信噪比條件下的DOA估計(jì)誤差較大，特別是當(dāng)信噪比小于4 dB時(shí)，隨著信噪比的降低，估計(jì)的均方根誤差迅速增大，其原因在于信噪比低時(shí)，σ2n／λi不夠小，導(dǎo)致σ2mnY-m無法完全趨近于噪聲子空間，使得均方根誤差較大，但在4 dB以上時(shí)新算法和快速新算法的均方根誤差都很小，幾乎趨近于0。另外，當(dāng)信噪比太低（信噪比小于-5 dB）時(shí)，噪聲子空間的維數(shù)會(huì)降低，有時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生偽峰現(xiàn)象。

5 結(jié)論

本文提出了一種不需要信源數(shù)目的適用于相干信號(hào)的快速算法。該算法利用最大特征值對(duì)應(yīng)的向量來構(gòu)造新矩陣以達(dá)到解相關(guān)的目的，然后用新矩陣逆的高階次冪矩陣來逼近噪聲子空間，避免了特征分解，降低了運(yùn)算量且不需要知道信源的先驗(yàn)數(shù)目。雖然算法在信噪比低于4 dB時(shí)估計(jì)的均方根誤差較大，但在4 dB以上性能很好，這足以滿足工程中的大多數(shù)應(yīng)用。另外，本文算法不損失陣列孔徑，特別適合小陣列天線實(shí)時(shí)處理多信號(hào)的情形，如小型地面陣列天線系統(tǒng)和機(jī)載、彈載陣列天線系統(tǒng)。在今后的工作中，將研究低信噪比情形下如何降低算法的均方根誤差。

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Fast DOA Estimation of Coherent Signals without Knowing the Number of Sources

ZENG Yao-ping
（School of Communication and Information Engineering，Xi′an University of Posts and Telecommunications，Xi′an 710121，China）

A noveldecorrelation algorithm thatcan eliminate the computation withouthaving aperture loss is presented.Through vector reconstruction by eigenvector ofmaximum eigenvalue，the algorithm can dealwith coherent signals.By utilizing high order power of the inverse matrix，the noise subspace can be approximate without knowing the number ofsignals.Atthe same time，the computation ofalgorithm is low because there is no eigendecomposition.Finally，the computer simulation confirms the validity of the proposed algorithm.

array signal processing；coherent signal；DOA estimation；vector reconstruction；fast algorithm

The Natural Science Foundation of Shaanxi Province（2010JQ80241）

the M.S.degree in 2006.He is now a lecturer and currently working toward the Ph.D.degree.His research direction is array signal processing.

1001-893X（2012）02-0160-04

2011-09-30；

2011-12-16

陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2010JQ80241）

TN911.72

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.02.008

曾耀平（1975—），男，陜西延安人，2006年獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為講師、博士研究生，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理。

Email：zengyp03＠163.com

ZENG Yao-ping was born in Yan′an，Shaanxi Province，in 1975.He