傅曉晶 王 成 戴樹嶺

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京 100191)

月球探測器到達預定著陸區(qū)上空時，發(fā)動機噴射出垂直于月表的燃氣羽流將與月塵發(fā)生相互作用，使得月塵被揚起.在月球軟著陸過程仿真中，月塵的動態(tài)效果是必不可少的，它能給予設計者直觀和具有真實感的反饋.因此，如何建立恰當?shù)脑聣m運動學模型，生成具有真實感的月塵運動效果，是需要研究和解決的問題，也是本文研究的重點.

目前，國內(nèi)外對月塵的研究有很多，如:文獻［1］對月塵靜電浮揚特性進行研究，并討論其影響因素;文獻［2］對月塵的物理特性以及月塵激揚對航天器的影響進行分析;文獻［3－4］對月塵環(huán)境進行模擬，并研究月球表面的防塵除塵措施.但是，這些方法對在高真空環(huán)境下月塵顆粒的物理模型和運動學分析過于簡單，月塵運動軌跡單一，模擬的月塵效果真實感不強，影響了仿真系統(tǒng)對視覺真實感方面的要求.

在此背景下，本文提出一種基于發(fā)動機羽流作用下月塵顆粒運動學模型和粒子系統(tǒng)的月塵運動仿真方法，逼真地模擬探測器軟著陸過程中的月塵運動效果.

1 月塵顆粒運動學模型

1.1 模型分析

月球表面的塵土，在月球探測器發(fā)動機噴出的高速羽流作用下，會沿著一定的軌跡運動.基于牛頓運動定律，假設粒子水平運動速度為常值，垂直加速度為水平位移的指數(shù)函數(shù)，并忽略太陽光壓，空氣阻力及月面粘附力等作用，得到受羽流沖擊月面上任一顆月塵顆粒的運動學模型［5］表示為

式中，x為月塵顆粒的垂直高度;y為月塵顆粒的水平位移;x0和y0為月塵顆粒的初始位置;s0為由x0和y0得到的派生量，即s0=s(x0)=d x(y)/d y|y=y0;bx0/y0為月塵顆粒在重力作用下下落前的軌跡角;v0為月塵顆粒的水平速度;g為月球表面的重力加速度.

圖1表示由式(1)生成的月塵顆粒運動軌跡曲線，參數(shù)取值分別為:b=10，x0=0.02m，y0=1.0m，s0=0.2，v0=10m/s.圖中 x 為垂直于月面的方向，y為水平方向，原點(0，0)為月球探測器發(fā)動機羽流中心在月面上的投影點.

圖1 單個月塵顆粒運動軌跡曲線

1.2 模型計算

如何根據(jù)月塵顆粒的大小及初始位置求解式(1)中的參數(shù)s0，b和v0，進而獲得月塵顆粒的運動軌跡，需要一套行之有效的方法.本文采用文獻［5－6］研究的一套包括流體動力學、Shepard插值算法的綜合仿真方法求解模型參數(shù).其基本要點簡述如下:

1)通過CFD(Computational Fluid Dynamics)方法對月球探測器發(fā)動機在高真空環(huán)境中噴出的燃氣噴流(羽流)進行仿真，輸出結果為羽流的密度ρ、速度v和溫度T;

2)利用CFD的輸出，通過Quadratic Shepard插值計算發(fā)動機羽流對直徑為D，初始位置為(x0，y0)的月塵顆粒的作用力，然后用分步積分法求解粒子運動微分方程，獲得粒子運動的二維軌跡曲線;

3)式(1)為基于物理的月塵顆粒運動軌跡模型，其中，x0，y0，b，s和 v0為輸入?yún)?shù).對于不同的(x0，y0)調(diào)整參數(shù)b，s和 v0，使物理模型與步驟2)中輸出的軌跡曲線相重合，獲得基于物理模型的粒子運動軌跡曲線;

4)插值計算.定義:

通過步驟3)得到N組值，即

根據(jù)已有的N組數(shù)據(jù)，對于任一輸入M，可以通過Shepard插值算法求出X.Shepard插值算法如下所示:

其中

在本文的應用中，μ=3較為合適.

因此，利用月塵顆粒的運動學模型，通過以上4個步驟，可以得到任意大小、任意初始位置的月塵顆粒的運動軌跡.

2 月塵運動的粒子系統(tǒng)

2.1 月塵粒子系統(tǒng)定義

定義1 月塵粒子定義為包含空間位置P、運動速度V、加速度A、生命周期T、顏色C、形狀S、大小F這些元素的實數(shù)域上的向量Rn(n=7).Rn是組成月塵系統(tǒng)的基本粒子，表示為

定義2 月塵粒子集定義為上述月塵粒子的有限集合，其中每個粒子具有一個索引，表示為I到Rn(n=7)的映射，表示月塵在某一時刻的性質(zhì)及狀態(tài):

對于索引為i的月塵粒子，P(i)=Rn表示該粒子的性質(zhì)和狀態(tài).

定義3 月塵粒子系統(tǒng)為月塵粒子集的有限集合，表示為

式中，Ptk為月塵系統(tǒng)在時刻tk的狀態(tài);Pt0為初始時刻月塵的狀態(tài);Q為一系列與時間相關的狀態(tài)的集合，表示一個動態(tài)的月塵［7］.

2.2 月塵粒子運動學

2.2.1 粒子的生成

1)粒子數(shù)量.要在給定的屏幕顯示區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生一定數(shù)量的月塵粒子，粒子數(shù)量很關鍵，它決定了月塵的密度.粒子一般由可控的隨機過程產(chǎn)生，每一幀進入系統(tǒng)的粒子由用戶直接指定的基準粒子和一般隨機過程定義的變動粒子組成:

式中，N為生成粒子數(shù);Nb為基準粒子數(shù);Nv為變動粒子數(shù)，d(·)為一個隨機函數(shù)，其返回值在［－1.0，1.0］間呈均勻分布.

初始粒子的位置為

則月塵粒子的密度分布為

3)粒子的初始速度.對于月塵粒子系統(tǒng)而言，被發(fā)射出的月塵粒子，在真空中僅受月球重力的作用.初始時刻第i個粒子的速度為［Vix(t0)，Viy(t0)，Viz(t0)］，根據(jù)式(1)，已知 Vi0為第 i個粒子的水平速度，Si0為派生量，即

第i個月塵粒子初始速度大小為

第i個月塵粒子初始速度方向，即偏離Y軸角度為

月塵粒子的最大初始速度為

月塵粒子的最小初始速度為

速度變動范圍為

式中，Vb為基準速度，d(·)為一個隨機函數(shù)，其返回值在［－1.0，1.0］間呈均勻分布，月塵粒子的速度為

4)粒子的生命周期.月塵粒子的生命周期表示其在屏幕上的停留的時間.在絕對真空和失重環(huán)境下，月塵粒子的上升時間與下降時間相等.假設粒子完成一個循環(huán)的基準時間為Tb，Y方向的初始速度為vy0，考慮Y方向上的運動方程，有

月球上存在引力，上升時間和下降時間存在誤差Tv.d(·)是一個隨機函數(shù)，其返回值在［－1.0，1.0］間呈均勻分布.粒子的生命周期為

2.2.2 粒子的消亡

月塵粒子系統(tǒng)中，粒子的生存期通常以秒為單位.在粒子的運動過程中，其生存期不斷縮短，當其生存期至零時，該粒子即消亡［8］.

2.2.3 粒子運動學

一旦粒子有了初始速度，它們遵從運動學原則，在三維空間中運動.在t時刻，粒子在空間中的位置:

式中，(x0，y0，z0)為初始位置.在 t時刻，y 方向的速度為

3 仿真結果

實現(xiàn)的初始參數(shù)為:月球探測器距月表高度為H=5英尺時月塵被觸發(fā)，發(fā)動機推力 T=67 kN，月塵顆粒的粒子數(shù)目為1500個，粒子大小在1～1000μm之間隨機分布，粒子密度呈正態(tài)分布在內(nèi)徑r=1.0m，外徑 R=3.0m的圓環(huán)上，且距月面垂直高度h=0.1m.實現(xiàn)時硬件:PC機CPU 為 Intel Core2-2.8GHz，顯 卡 為 nVidia-450GTS，硬盤120G.運行平臺為WindowsXP.軟件工具有:Visual Studio C/C++2005，OpenGL的glut庫，Cg，3dsmax9.0.

表 1是 D=1μm 和 D=1 000μm，x0=0.01m，y0取值在1～3m之間月塵粒子的運動學模型參數(shù).

圖2是由表1中的參數(shù)生成的軌跡曲線.

圖3是月塵運動過程三維效果圖.

圖4是從側視、俯視兩種不同角度下觀察的月塵效果圖.

表2是在月塵粒子系統(tǒng)中采用不同粒子數(shù)、不同粒子生命周期時的幀速率.其中，月球探測器在軟著陸階段，月球大地形中的頂點個數(shù)為26300個，探測器模型頂點個數(shù)為13500個.

實驗結果顯示，當粒子個數(shù)達到10 000時，系統(tǒng)幀速率仍保持在31幀/s，系統(tǒng)實時性良好.

本文算法已應用于北航虛擬現(xiàn)實國家重點實驗室的月球軟著陸仿真系統(tǒng).

表1 月塵顆粒的運動模型參數(shù)

圖2 月塵顆粒的運動軌跡曲線

圖3 月塵運動過程效果圖

圖4 從不同角度拍攝月塵效果圖

表2 幀速率測試方案 幀/s

4 結論

本文提出了一種模擬發(fā)動機羽流作用下的月塵運動的仿真方法.實驗結果顯示:本文方法真實地模擬了發(fā)動機羽流作用下月塵騰起、飛濺、彌漫，消散的運動效果，具有較強的視覺真實感，實時性能良好，其仿真結果對研究真空環(huán)境下的月塵運動及月球軟著陸等相關領域具有一定的參考價值.

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