趙丹，艾延廷，翟學(xué)，陳勇

（沈陽(yáng)航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)院，沈陽(yáng)110036）

0 引言

在工程應(yīng)用領(lǐng)域，如何正確處理零件與零件之間的連接或裝配關(guān)系是1項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)[1]。以往在對(duì)裝配體進(jìn)行模態(tài)仿真和動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，由于分析模型的不確定，并且所需計(jì)算的工作量大，不得不簡(jiǎn)化模型，如不考慮零件之間的連接配合關(guān)系，而是將裝配體中的各零件直接合并為1個(gè)整體，認(rèn)為裝配件之間是剛性連接。由于有預(yù)載荷的機(jī)械裝配體（如螺栓法蘭連接）的接觸表面存在接觸應(yīng)力，而接觸應(yīng)力和接觸面粗糙度不同，使接觸面間形成分布不均勻的法向接觸剛度[2-3]，對(duì)整個(gè)裝配體的振動(dòng)模態(tài)產(chǎn)生重要影響，使計(jì)算結(jié)果無(wú)法反映連接結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況[4]。隨著有限元和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了很多模擬螺栓預(yù)緊力的方法，如降溫法、滲透接觸法和層單元法等，但是這些方法計(jì)算復(fù)雜[5]，不利于工程應(yīng)用。隨著研究不斷深入，有限元技術(shù)能越來(lái)越真實(shí)地模擬螺栓預(yù)緊力[6]。

本文以L型螺栓連接結(jié)構(gòu)為例，建立了實(shí)際結(jié)構(gòu)有限元分析模型，應(yīng)用Ansys Workbench軟件中的螺栓預(yù)緊力模塊，通過(guò)優(yōu)化L梁接觸面間的法向剛度因子優(yōu)化了有限元計(jì)算結(jié)果，并與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，驗(yàn)證了該方法的有效性及適用性。

1 接觸剛度計(jì)算理論

根據(jù)赫茲理論[7]，2個(gè)彈性球體的接觸，可以轉(zhuǎn)換為具有當(dāng)量曲率半徑和當(dāng)量彈性模量的球體與剛性光滑平面的接觸。機(jī)械結(jié)合面實(shí)質(zhì)上由2個(gè)粗糙表面組成，為便于研究，將其簡(jiǎn)化成光滑與粗糙彈性表面相接觸。

設(shè)光滑表面距基準(zhǔn)表面的距離為d，微凸體平均曲率半徑為R，彈性模量為E，微凸體的高峰分布的概率密度函數(shù)為φ(z)，則對(duì)于某個(gè)微凸體，其高度介于基準(zhǔn)平面上z和z+d z之間的概率為φ(z)d z，因此，高度為z的任一微凸體的接觸概率為

若粗糙表面的微凸體數(shù)為m，則接觸的微凸體數(shù)為m'

其中高度介于z與z+d z之間的接觸點(diǎn)數(shù)應(yīng)為mφ(z)d z，這些微凸體與光滑平面間的法向接近量均可作為(z-d)，可得預(yù)期的載荷W為

而為表面峰高分布的標(biāo)準(zhǔn)差。

由于真實(shí)接觸總是發(fā)生在輪廓面積的范圍內(nèi)，微凸體數(shù)m應(yīng)是指整個(gè)輪廓面積上包含的微凸體數(shù)。設(shè)n為單位輪廓面積上的微凸體數(shù)，則n=m/Ac。將式（3）的兩端同除以Ac得到

由式（5）可知，接觸表面間的距離h與載荷pc之間的關(guān)系是非線性的。但是，當(dāng)h值在某一給定值的附近作微幅擾動(dòng)時(shí)，可以近似地把這種關(guān)系線性化，并用一剛度系數(shù)進(jìn)行表征，由于波紋的變形要遠(yuǎn)小于微凸體的變形，計(jì)算剛度系數(shù)時(shí)，可忽略波紋變形的影響。每個(gè)波紋上的輪廓接觸面積均構(gòu)成1個(gè)輪廓面積元，該面積元上的接觸效應(yīng)可用彈性常數(shù)為k的分布彈簧來(lái)表征。對(duì)式（5）兩端取微分，可得

由式（4）、（6）可得

式中：d(d)為對(duì)距離d的微分。

從式(7)可得到分布彈簧剛度系數(shù)k的計(jì)算公式

由式（5）可知，表面特征參數(shù)為已知的情況下，相應(yīng)的h值只與外載荷有關(guān)，將其代入式（8），便可求出

式中：C為表面特征參數(shù)已知時(shí)k中的常數(shù)；f（Pc）為由載荷確定的函數(shù)。

2個(gè)實(shí)際表面的接觸，各輪廓面積元可看成沿整個(gè)名義面積均勻分布，這些面積元之間相距1個(gè)波紋節(jié)距。若將每個(gè)面積元上的分布彈簧看成為1個(gè)彈簧束，故可用1組沿名義表面均布的彈簧束來(lái)表征，這些彈簧束的當(dāng)量總剛度K為

在平面接觸的情況下，作用在1個(gè)波紋上的載荷與名義壓力成正比，若用nB表示粗糙表面單位名義面積上的波紋個(gè)數(shù)（即波紋分布密度），則總的輪廓面積Ac為

式中：Aa為名義接觸面積，即接觸表面積。

從式（12）中明顯可見，接觸面間的接觸剛度在表面特征參數(shù)已知和名義接觸面積一定的情況下，其大小只與外載荷有關(guān)。

2 接觸剛度有限元計(jì)算方法

2.1 剛性簡(jiǎn)化的螺栓連接結(jié)構(gòu)模態(tài)計(jì)算

對(duì)圖1所示結(jié)構(gòu)進(jìn)行完全剛性簡(jiǎn)化，并基于Ansys workbench軟件對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分析。

在保證計(jì)算精度的前提下，模型中略去了螺紋，采用8節(jié)點(diǎn)單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格。仿真模型的材料特性：彈性模量取210 GPa，泊松比取0.3，密度取7850 kg/m3計(jì)算出前5階固有頻率，見表1。

表1 剛性簡(jiǎn)化模型前5階固有頻率Hz

2.2 有限元模型

本文在建模過(guò)程中，忽略了螺紋結(jié)構(gòu)。L型螺栓連接結(jié)構(gòu)分析模型如圖2所示。其中1個(gè)梁的一端從端面到距離端面70 mm進(jìn)行全約束，梁和螺栓材料彈性模量取210 GPa，泊松比取0.3，密度取7850 kg/m3。

Ansys Workbench軟件提供了強(qiáng)大的工作平臺(tái)，并簡(jiǎn)化了傳統(tǒng)有限元軟件的復(fù)雜過(guò)程。2個(gè)L梁的接觸表面對(duì)有限元模型的振動(dòng)模態(tài)起主要作用，其接觸類型設(shè)置為摩擦接觸。其他接觸表面對(duì)振動(dòng)模態(tài)的影響較小。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將其設(shè)置為綁定接觸。由于在振動(dòng)過(guò)程中接觸面間的接觸狀況一直在改變，所以接觸剛度也會(huì)隨著改變，故所有接觸面間的接觸剛度為變量。

2.3 法向剛度因子優(yōu)化方法

目前，廣泛應(yīng)用有限元方法對(duì)非線性接觸問(wèn)題進(jìn)行分析，對(duì)非線性實(shí)體表面接觸，可使用罰函數(shù)或增強(qiáng)拉格朗日公式進(jìn)行計(jì)算，2種方法都基于罰函數(shù)方程[8]

對(duì)于1個(gè)有限的接觸力Fn，存在1個(gè)法向剛度因子kn，kn越高，穿透量xp越小。

增強(qiáng)拉格朗日公式與罰函數(shù)法公式相比，增加了額外的控制自動(dòng)減少滲透。kn是影響精度和收斂行為最重要的參數(shù)。法向剛度因子越大，結(jié)果越精確，收斂變得越困難；反之，穿透量越大，求解更快速、容易收斂。在工程應(yīng)用中總是需要在結(jié)果精度和耗費(fèi)時(shí)間上尋找平衡。

2.4 優(yōu)化目標(biāo)的選取

通過(guò)上述研究發(fā)現(xiàn)，改變法向剛度因子會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率產(chǎn)生很大影響。本文接觸面法向剛度因子設(shè)為變化參數(shù)，程序優(yōu)化中的目標(biāo)函數(shù)為[6]：

3 結(jié)果分析

3.1 模態(tài)試驗(yàn)

本文采用LMS SCADASⅢ型振動(dòng)測(cè)量和分析系統(tǒng)及TestLab軟件進(jìn)行振動(dòng)測(cè)試與分析。試驗(yàn)設(shè)備與系統(tǒng)如圖3、4所示。

試驗(yàn)件為2個(gè)長(zhǎng)200 mm、寬40 mm、厚10 mm的L型梁，梁結(jié)構(gòu)螺栓安裝邊高40 mm。其中1個(gè)梁一端固定，另一端與另1個(gè)梁通過(guò)3個(gè)螺栓連接，組成1個(gè)組合式L型螺栓連接結(jié)構(gòu)。測(cè)量時(shí)儀器的設(shè)定頻率測(cè)量范圍為0～4096 Hz，2個(gè)L型梁通過(guò)螺栓連接，一端用螺栓和鐵板固定在質(zhì)量較大的試驗(yàn)臺(tái)上，夾持長(zhǎng)度為70 mm，其中螺栓為M6×30的標(biāo)準(zhǔn)件。梁的另一端（測(cè)點(diǎn)1）接1個(gè)質(zhì)量較輕的加速度傳感器。

試驗(yàn)中分別測(cè)得L型螺栓連接結(jié)構(gòu)在擰緊力矩分別為1、3、5 N·m下的前5階固有頻率。

3.2 優(yōu)化結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

通過(guò)Workbench軟件,改變螺栓預(yù)緊力的大小，并對(duì)接觸面法向剛度因子進(jìn)行優(yōu)化，計(jì)算出結(jié)構(gòu)的固有頻率值，代到目標(biāo)函數(shù)式（15），得到優(yōu)化解，見表2～4。

表2 1 N·m的擰緊力矩下結(jié)構(gòu)固有頻率

表3 3 N·m的擰緊力矩下結(jié)構(gòu)固有頻率

表4 5 N·m的擰緊力矩下結(jié)構(gòu)固有頻率

從表2～4中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，螺栓連接結(jié)構(gòu)的各階固有頻率隨螺栓擰緊力矩的增大而增大，且第4階固有頻率變化最大，其余各階固有頻率隨預(yù)緊力增大變化的趨勢(shì)增大。

4 結(jié)論

本文基于Ansys Workbench軟件，利用螺栓預(yù)緊力模塊，運(yùn)用優(yōu)化法向剛度因子方法對(duì)L型螺栓連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行了模態(tài)分析，并與其試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較得出如下結(jié)論。

（1）螺栓預(yù)緊力對(duì)連接結(jié)構(gòu)的法向接觸剛度影響較大，預(yù)緊力越大，法向接觸剛度越大。法向接觸剛度對(duì)結(jié)構(gòu)的各階固有頻率也有較大的影響，法向接觸剛度越大，結(jié)構(gòu)的各階固有頻率也就越大。

（2）將螺栓與連接結(jié)構(gòu)作為1個(gè)整體進(jìn)行一體化計(jì)算，計(jì)算值與試驗(yàn)值的誤差較大，由此說(shuō)明在對(duì)螺栓連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性仿真時(shí)，需要考慮螺栓預(yù)緊力對(duì)法向接觸剛度的影響，而不能簡(jiǎn)單地用一體化計(jì)算方法進(jìn)行模態(tài)分析。

（3）單獨(dú)使用螺栓預(yù)緊力模塊的有限元計(jì)算的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比誤差較大，說(shuō)明在對(duì)螺栓連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性仿真時(shí)，不僅要考慮螺栓預(yù)緊力，并且要考慮接觸面法向剛度因子。結(jié)合使用螺栓預(yù)緊力模塊和法向剛度因子優(yōu)化的方法，保證L型的螺栓連接結(jié)構(gòu)模態(tài)分析計(jì)算的結(jié)果與試驗(yàn)值誤差較小，最終滿足工程要求。

（4）在實(shí)際情況中，由于在振動(dòng)中接觸面間的接觸間隔一直在改變，所以接觸剛度也會(huì)隨著改變，以往的有限元算法沒(méi)有考慮這一問(wèn)題。本文在有限元分析時(shí)，充分考慮到了非線性振動(dòng)問(wèn)題，接觸剛度隨著振動(dòng)過(guò)程不斷改變。所以，本文使用的方法更能準(zhǔn)確地模擬螺栓預(yù)緊力，為今后深入研究非線性振動(dòng)模態(tài)問(wèn)題打下基礎(chǔ)。

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