郭 語(yǔ) 孫志峻

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016)

抓取規(guī)劃是機(jī)器人多指手進(jìn)行穩(wěn)定抓取任務(wù)的基礎(chǔ)，也是靈巧操作的重要前提.一個(gè)完整的多指抓取規(guī)劃包括接觸點(diǎn)位置布局、接觸模型和多指手位形規(guī)劃等，涉及到靜力平衡、接觸約束和運(yùn)動(dòng)約束等問(wèn)題.

當(dāng)物體接觸點(diǎn)布局完成后，首先需要確定合適的接觸力，這對(duì)多指手穩(wěn)定抓取非常重要.接觸力的解空間可分為相互正交的操作力空間和內(nèi)力空間，前者起平衡外力作用，后者自成平衡力系，且對(duì)接觸力具有重要的調(diào)整作用，因此如何合理地確定內(nèi)力是多指手能否穩(wěn)定抓取物體的重要條件.現(xiàn)有的研究大多通過(guò)規(guī)劃最小或最大內(nèi)力，實(shí)現(xiàn)對(duì)抓取力的優(yōu)化調(diào)整［1-4］.但是這些研究存在以下問(wèn)題:①最小內(nèi)力容易造成抓取力接近摩擦錐約束邊界，增大了接觸滑移可能性.②最大內(nèi)力可減少相對(duì)滑動(dòng)的可能性，但當(dāng)摩擦系數(shù)較小時(shí)，接觸力的微小偏差可能使得內(nèi)力越大，反而穩(wěn)定性越差.因此，過(guò)大或過(guò)小的抓取內(nèi)力都是不合適的.一些學(xué)者在人手兩指精度抓取物體實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，手指施加的抓取內(nèi)力往往比約束物體所需最小內(nèi)力多出一個(gè)安全余量，為保證對(duì)物體的穩(wěn)定抓取，該余量約為最小內(nèi)力的50%［5］，該結(jié)論為機(jī)器人多指手抓取內(nèi)力的確定提供了另一種思路.

多指抓取規(guī)劃還應(yīng)考慮多指手的自身運(yùn)動(dòng)學(xué)約束.研究者在確定預(yù)抓取位形時(shí)一般按運(yùn)動(dòng)靈巧性指標(biāo)或最小關(guān)節(jié)力矩指標(biāo)進(jìn)行規(guī)劃［6-8］，但往往僅考慮某一方面，然而一個(gè)好的多指抓取規(guī)劃需要綜合考慮多個(gè)抓取性能指標(biāo).

基于以上分析，本文借鑒人手抓取經(jīng)驗(yàn)，提出接觸安全裕度的概念并用于內(nèi)力規(guī)劃，以獲取多指手穩(wěn)定、安全地抓取物體的接觸力.通過(guò)將物體相對(duì)手掌的位姿參數(shù)作為變量，確定了接觸力與多指手關(guān)節(jié)力矩之間的映射關(guān)系.綜合考慮轉(zhuǎn)角位置度和相對(duì)承載能力作為優(yōu)化指標(biāo)，最終得到衡量多指手抓取性能的多目標(biāo)優(yōu)化模型.利用多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法獲得了目標(biāo)函數(shù)的非劣解集，從而實(shí)現(xiàn)了完整的多指手抓取規(guī)劃.

1 多指抓取的規(guī)劃模型

1.1 靜力平衡方程

圖1 多指抓取物體模型

設(shè)有n 個(gè)手指抓取一物體，見(jiàn)圖1.假設(shè)手指i的關(guān)節(jié)數(shù)為mi; θi，τi∈Rmi分別表示手指i 的關(guān)節(jié)向量和關(guān)節(jié)力矩向量.并設(shè)指尖與物體之間的接觸模型為有摩擦點(diǎn)接觸.p 為手掌參考坐標(biāo)系，si為手指i 的基坐標(biāo)系，o 為與物體固連的坐標(biāo)系，原點(diǎn)與物體質(zhì)心重合.在手指i 與物體的接觸點(diǎn)處，建立與物體固連的接觸坐標(biāo)系ci，原點(diǎn)與接觸點(diǎn)重合，z 軸指向接觸點(diǎn)處表面內(nèi)法矢方向.cfi為手指i的指尖坐標(biāo)系，若忽略手指指尖輪廓，則cfi的坐標(biāo)系原點(diǎn)與接觸點(diǎn)重合.fci={fcix，fciy，fciz}T∈R3為物體在接觸點(diǎn)i 處所受的指尖接觸力，其中fcix和fciy為接觸力的切向分量，fciz為法向分量.

作用在物體上的任何力系總可以合成為一個(gè)作用于某直線的集中力和繞該直線的力矩，這種組合稱之為力螺旋，可表示為Fe={fe，τe}T.指尖對(duì)物體的作用可以看作是手指施加于接觸點(diǎn)的力與物體參考點(diǎn)合力螺旋之間的一種映射［9］.若物手系統(tǒng)是靜止的或運(yùn)動(dòng)速度較慢，則接觸力形成的合力螺旋與外力螺旋滿足靜力平衡方程:

式中，G=［G1，G2，…，Gm］∈R6×3m為抓取矩陣;fc∈R3m為接觸力向量.若接觸點(diǎn)相對(duì)于物體坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)由goci=(poci，Roci)∈SE(3)描述，則單接觸點(diǎn)的抓取映射矩陣Gi由下式確定:

1.2 摩擦約束條件

為了保證物體與指尖在接觸點(diǎn)處不出現(xiàn)滑動(dòng)，必須使接觸力處于接觸點(diǎn)摩擦錐內(nèi)部，即切向分量小于或等于法向分量fciz與摩擦系數(shù)μ 的乘積，同時(shí)，接觸力的法向分量具有單向性特點(diǎn)，因此滿足有摩擦點(diǎn)接觸模型的摩擦錐約束條件為

1.3 接觸力規(guī)劃

設(shè)接觸布局和物體所受外力螺旋已知，由于多指抓取映射矩陣G 一般為非滿秩矩陣，則接觸力為

式中，G+為G 的M-P 廣義逆;fcp=－G+Fe為平衡物體所受外力螺旋的操作力分量;fch=(I－G+G)λ為內(nèi)力.對(duì)于確定的外力螺旋，操作力分量可直接求出，而由于內(nèi)力具有不確定性，因此如何確定內(nèi)力對(duì)抓取性能具有關(guān)鍵作用.一般規(guī)劃方法多以能量最小作為優(yōu)化目標(biāo)，而某些情況下這種優(yōu)化得到的接觸力正好在摩擦錐邊界上，一旦有外擾作用或控制誤差，規(guī)劃的抓取將失效［10］.為避免這種情況的出現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)通過(guò)調(diào)整摩擦錐約束條件可以保證接觸力處于摩擦錐內(nèi)部.定義ρi∈［0，1］為i 接觸點(diǎn)處的接觸安全裕度，其意義可由下式表示:

式中，ρi表示接觸力偏離約束邊界的相對(duì)程度，當(dāng)ρi=0，表明接觸點(diǎn)i 處的接觸力正處于摩擦錐的邊界上，此時(shí)接觸點(diǎn)處于滑移的臨界狀態(tài)，稍有外擾，接觸穩(wěn)定性即被破壞;當(dāng)ρi=1，表明接觸點(diǎn)i 處沒(méi)有滑移趨勢(shì)，此時(shí)該接觸點(diǎn)最穩(wěn)定.通過(guò)引入接觸安全裕度概念，摩擦錐約束條件修正為

則滿足式(1)和式(6)的最小內(nèi)力規(guī)劃模型可概括為

式中，Q 為權(quán)重矩陣(一般為對(duì)角矩陣)，和各手指的指尖抓取能力有關(guān).優(yōu)化后的內(nèi)力fch*就是具有接觸安全裕度ρ 的最優(yōu)內(nèi)力，相應(yīng)的接觸力為

1.4 關(guān)節(jié)空間性能規(guī)劃

當(dāng)被抓取物體的接觸點(diǎn)布局及抓取力分配確定后，由于接觸點(diǎn)的約束，各手指與物體形成若干運(yùn)動(dòng)閉鏈.當(dāng)物體在手掌坐標(biāo)系中的位姿變化時(shí)，各手指的抓取位形也相應(yīng)變化，因而分配到各手指關(guān)節(jié)上的驅(qū)動(dòng)力矩也將重新分配.因此，可通過(guò)物體位姿參數(shù)建立接觸力到手指關(guān)節(jié)空間的映射.

設(shè)第i 個(gè)接觸坐標(biāo)系相對(duì)于手指基坐標(biāo)系的位姿為gsici=(psici，Rsici)，fsici為接觸力矢量在手指基坐標(biāo)系中的表示，則有

考慮到剛體變換性質(zhì)，有

即

式中

設(shè)Ji為手指i 的雅可比矩陣.聯(lián)立式(9)～(12)可得多指手抓取物體時(shí)關(guān)節(jié)空間力矩與接觸力的映射關(guān)系:

式(12)、(13)描述了多指手關(guān)節(jié)力矩與物體位姿以及手指位形之間的關(guān)系，因此通過(guò)對(duì)物體位姿的規(guī)劃可以優(yōu)化多指手關(guān)節(jié)空間中的抓取性能.

對(duì)于機(jī)器人多指手精度抓取而言，首先希望其用最小的關(guān)節(jié)力矩實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定抓取物體，即具有最大的輸出潛力，以實(shí)現(xiàn)多指手抓取性能的最大化.其次，指尖抓取的突出優(yōu)點(diǎn)是可對(duì)物體進(jìn)行靈巧操作，因此操作靈活性也是衡量其抓取性能的一個(gè)重要指標(biāo).本文主要考慮多指預(yù)抓取階段，因此將多指手的轉(zhuǎn)角位置度和相對(duì)承載能力作為優(yōu)化性能指標(biāo)，分別建立其目標(biāo)函數(shù)［7-8］，即

式中，θijmax和θijmin分別為手指i 的關(guān)節(jié)j 的最大和最小轉(zhuǎn)角;θijm=(θijmin+θijmax)/2 為手指i 的關(guān)節(jié)j的轉(zhuǎn)動(dòng)中間位置;τij為手指i 的關(guān)節(jié)j 的輸出力矩，τijmax為其最大輸出力矩.

2 多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化模型

式(14)表示的多指抓取規(guī)劃模型由于性能指標(biāo)的多樣性，其本質(zhì)上是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題.各目標(biāo)之間通常相互制約，所以多目標(biāo)優(yōu)化命題一般不存在唯一的全局最優(yōu)解.實(shí)際上多目標(biāo)優(yōu)化命題往往是如何尋求非劣解集及其在非劣解前沿的分布過(guò)程，最后決策者在其中選取一個(gè)最滿意解.則多指抓取的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題模型可歸納為

式中，x = { xpo，ypo，zpo，α，β，γ}T為決策矢量;Lh(·)為多指手的正運(yùn)動(dòng)學(xué); xmin，xmax表示物體位姿參數(shù)的變化范圍.

2.2 多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

目前有多種不同算法用于求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，基于種群搜索的粒子群優(yōu)化算法由于其易實(shí)現(xiàn)、計(jì)算高效、不要求目標(biāo)函數(shù)可微，以及基于種群的特點(diǎn)，使其非常適用于多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域.許多研究者成功地將基于粒子群的多目標(biāo)優(yōu)化算法應(yīng)用于各種領(lǐng)域［11-13］.本文采用基于擁擠因子和擾動(dòng)算子的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法［14］來(lái)求解多指抓取規(guī)劃問(wèn)題，該算法被證明相對(duì)其他多目標(biāo)優(yōu)化算法，能夠更好地逼近非劣解前沿.算法流程如下:

①初始化粒子群.確定種群規(guī)模N，隨機(jī)產(chǎn)生每個(gè)粒子的位置xi，初始化粒子速度vi=0，i =1，2，…，N.

②計(jì)算初始種群適應(yīng)度，篩選粒子群中的非劣解放入領(lǐng)導(dǎo)集，將領(lǐng)導(dǎo)集放入ε-支配文檔.

③計(jì)算領(lǐng)導(dǎo)集中的每個(gè)粒子的擁擠因子.

④初始化迭代代數(shù)g =0，確定最大迭代次數(shù)gmax.

⑤進(jìn)入迭代循環(huán).

a)從領(lǐng)導(dǎo)集中隨機(jī)選取一個(gè)粒子作為當(dāng)前全局最優(yōu)gbest，更新每個(gè)粒子的速度，即

式中，w 為慣性權(quán)重，取(0.1，0.5)之間的隨機(jī)數(shù);c1，c2為學(xué)習(xí)因子，取(1.5，2.0)之間的隨機(jī)數(shù);r1，r2為(0.0，1.0)之間的隨機(jī)數(shù).

b)更新每個(gè)粒子的位置

c)更新pibest.

d)計(jì)算領(lǐng)導(dǎo)集中粒子的擁擠因子，并按降序排列，更新領(lǐng)導(dǎo)集，更新ε-支配文檔，g=g+1.

e)若g≤gmax，返回⑤，否則輸出ε-支配文檔.

⑥結(jié)束程序.

3 算例分析

以圖2所示的三指手抓取圓球模型為例，每個(gè)手指結(jié)構(gòu)相同，各有3 個(gè)自由度，其運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)如表1所示，手指在手掌中的布局如圖3所示，手掌坐標(biāo)系原點(diǎn)位于三指基座圍成的三角形中心處，物體坐標(biāo)系原點(diǎn)位于球心，圓球半徑r =30 mm，指尖與物體之間的摩擦系數(shù)μ=0.3.為方便分析，假設(shè)物體所受外力螺旋為純力矢量，且大小不變，為1 N，方向如圖2所示，則外力螺旋可表示為

圖2 三指手抓取圓球

圖3 手指在手掌中的布局

表1 手指D-H 參數(shù)

3.1 接觸力規(guī)劃結(jié)果與分析

三指指尖接觸點(diǎn)在圓球大圓上均勻分布，則抓取矩陣G 為

取接觸安全裕度ρ1=ρ2=ρ3=0.3，式(7)中的權(quán)重矩陣為單位陣.以外力螺旋的方向角δ1，δ2為變量，在Matlab 中編制由式(7)和(8)表示的優(yōu)化模型，輸出為規(guī)劃后的抓取接觸力隨外力螺旋方向變化的分布，如圖4所示.由于抓取的對(duì)稱性，僅給出δ2從－90°到90°的變化結(jié)果.可看出，若δ2固定，當(dāng)δ1=0 時(shí)，3 個(gè)接觸力的模都最小，因此在進(jìn)行具體抓取時(shí)，應(yīng)盡量選擇使外力螺旋方向在3 個(gè)接觸點(diǎn)決定的接觸面上.

圖4 ρi =0.3 時(shí)各指尖接觸力大小分布

圖5給出了各指尖的接觸安全裕度隨外力螺旋方向變化的情況.可看出，3 個(gè)接觸點(diǎn)的接觸安全裕度都大于等于0.3，接觸力處于摩擦錐內(nèi)部.進(jìn)一步計(jì)算可知接觸力與摩擦錐邊界的夾角至少為4.84°，說(shuō)明內(nèi)力的規(guī)劃可以允許一定擾動(dòng)的發(fā)生.若不設(shè)置接觸安全裕度，則在一些情況下規(guī)劃后的接觸力將處于摩擦錐邊界，一旦有外部擾動(dòng)或控制誤差，抓取將變得不穩(wěn)定甚至失效.

3.2 關(guān)節(jié)空間內(nèi)的多目標(biāo)優(yōu)化

設(shè)物體所受外力螺旋Fe為純力矢量，方向?yàn)棣?=30°，δ2=60°，大小為5 N.利用內(nèi)力規(guī)劃模型獲得的各接觸力如表2所示.

圖5 ρi =0.3 時(shí)各指尖接觸安全裕度分布

表2 接觸力規(guī)劃結(jié)果 N

假定手指各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)能力相同，且τmax=0.8 N·m.優(yōu)化變量為物體位姿參數(shù)，優(yōu)化目標(biāo)是使多指手的相對(duì)承載能力和轉(zhuǎn)角位置度最大.多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置為:粒子群規(guī)模N=100，最大迭代次數(shù)gmax=200，ε=0.05.圖6為最終得到的非劣解前沿曲線.可看出利用該多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法可有效地求得非劣解前沿，且分布較均勻.

圖6 非劣解前沿

此外，相對(duì)承載能力與轉(zhuǎn)角位置度互相制約，因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，只能根據(jù)抓取任務(wù)的要求選取不同的性能指標(biāo).通過(guò)將非劣解集保存為專家知識(shí)庫(kù)，可方便地獲取不同性能指標(biāo)組合下的最優(yōu)抓取規(guī)劃.表3為若干優(yōu)化結(jié)果，可看出，相比初始位姿，優(yōu)化后的相對(duì)承載能力和轉(zhuǎn)角位置度都有明顯改善.

表3 位姿優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

本文借鑒人手抓取經(jīng)驗(yàn)，提出了接觸安全裕度的概念，并建立了非線性優(yōu)化模型以求取最優(yōu)安全內(nèi)力以及接觸力.以物體位姿參數(shù)作為變量，確定了接觸力與多指手關(guān)節(jié)力矩的關(guān)系，并將多指手的抓取規(guī)劃問(wèn)題歸結(jié)為由多指手關(guān)節(jié)空間內(nèi)的相對(duì)承載能力和轉(zhuǎn)角位置度為優(yōu)化目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題.以三指手抓取系統(tǒng)為例進(jìn)行了數(shù)值求解，探討了外力螺旋的方向變化對(duì)接觸力和接觸安全裕度的影響.首次嘗試?yán)枚嗄繕?biāo)粒子群優(yōu)化算法，對(duì)多指抓取進(jìn)行規(guī)劃，所求得的非劣解前沿可作為預(yù)抓取位形規(guī)劃依據(jù).

本文所提出的規(guī)劃方法不受被抓物體輪廓和多指手結(jié)構(gòu)的限制，對(duì)于其他多指抓取系統(tǒng)的規(guī)劃具有一定的參考意義.

References)

［1］Kerr J，Roth B.Analysis of multifingered hands［J］.The International Journal of Robotics Research，1986，4(3):3-17.

［2］李家煒，胡海鷹，王濱，等.多指抓取內(nèi)力的簡(jiǎn)單算法［J］.自然科學(xué)進(jìn)展，2005，15(6):733-738.

Li Jiawei，Hu Haiying，Wang Bin，et al.A simple algorithm for internal force of multi-fingered robot hands grasping ［J］.Progress in Natural Science，2005，15(6):733-738.(in Chinese)

［3］劉慶運(yùn)，岑豫皖，謝能剛，等.基于抓取穩(wěn)定性的手指接觸力規(guī)劃算法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46(7): 57-62.

Liu Qingyun，Cen Yuwan，Xie Nenggang，et al.Optimization algorithm for contact forces based on grasping stability ［J］.Journal of Mechanical Engineering，2010，46(7): 57-62.(in Chinese)

［4］王濱，李家煒，劉宏.機(jī)器人多指手的優(yōu)化抓取力計(jì)算［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版，2008，38(1):178-182.

Wang Bin，Li Jiawei，Liu Hong.Optimal grasping force computation for multi-fingered robot hand ［J］.Journal of Jilin University: Engineering and Technology Edition，2008，38(1):178-182.(in Chinese)

［5］Johansson R S，Riso R，Hager C，et al.Somatosensory control of precision grip during unpredictable pulling loads-Ⅰ.changes in load force amplitude［J］.Experimental Brain Research，1992，89(1): 181-191.

［6］Bicchi A.On the closure properties of robotic grasping［J］.The International Journal of Robotics Research，1995，14(4): 319-334.

［7］李國(guó)順，張永德.基于抓取接近方向的機(jī)器人多指手的優(yōu)化抓?。跩］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2003，7(1):62-66.

Li Guoshun，Zhang Yongde.Optimal grasp of multifingered robot hands based on approach direction［J］.Electric Machines and Control，2003，7(1):62-66.(in Chinese)

［8］李繼婷.機(jī)器人靈巧手的抓持規(guī)劃［D］.北京: 北京航空航天大學(xué)，2004.

［9］理查德·摩雷，李澤湘，夏恩卡·薩恩特里.機(jī)器人操作的數(shù)學(xué)導(dǎo)論［M］.徐衛(wèi)良，等譯.北京: 機(jī)械工業(yè)出版社，1998.

［10］王國(guó)慶，張啟先，李大寨，等.基于抓持穩(wěn)定度的多指靈巧手抓持控制［J］.航空學(xué)報(bào)，1997，18(3):294-298.

Wang Guoqing，Zhang Qixian，Li Dazhai，et al.Grasping control of the dexterous hand based on the degree of stability of grasping［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，1997，18(3): 294-298.(in Chinese)

［11］Masehian E，Sedighizadeh D.Multi-objective robot motion planning using a particle swarm optimization model［J］.Journal of Zhejiang University—Science C: Computers ＆Electronics，2010，11(8):607-619.

［12］Marinaki M，Marinakis Y，Stavroulakis G E.Fuzzy control optimized by a multi-objective particle swarm optimization algorithm for vibration suppression of smart structures［J］.Structural and Multidisciplinary Optimization，2011，43(1): 29-42.

［13］孫光永，李光耀，陳濤，等.多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法在薄板沖壓成形中的應(yīng)用［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009，45(5): 153-159.

Sun Guangyong，Li Guangyao，Chen Tao，et al.Application of multi-objective particle swarm optimization in sheet metal forming［J］.Journal of Mechanical Engineering，2009，45(5):153-159.(in Chinese)

［14］Reyes-Sierra M，Coello Coello C A.Improving PSObased multi-objective optimization using crowding，mutation and ε-dominance ［C］//The Third International Conference on Evolutionary Multi-Criterion Optimization.Guanajuato，Mexico，2005: 505-519.