余啟友

(福建省廈門市華僑中學(xué)，福建順昌361005)

作業(yè)講評是數(shù)學(xué)教師每天必做的常規(guī)工作。常見教師在臺(tái)上講得大汗淋漓，但效果差強(qiáng)人意。如何讓作業(yè)講評更有效?是值得研究的問題。本學(xué)期筆者在一次作業(yè)講評時(shí)，由于未能及時(shí)解疑，從而引發(fā)全班學(xué)生課后的激烈討論，并積極參與了問題解決的探究活動(dòng)。真是“不憤不啟，不悱不發(fā)”。

1 錯(cuò)解展示

教師:誰對誰錯(cuò)了呢?(學(xué)生思索中，一時(shí)回答不上)

教師:回到課本再看看定義。

學(xué)生3:我認(rèn)為第二位同學(xué)是對的。因?yàn)閰⒖即鸢甘沁@么說的。原因我說不出來。

教師:究竟誰對誰錯(cuò)了呢?請同學(xué)們回去查閱相關(guān)資料，下一節(jié)再討論。結(jié)果一下課，學(xué)生就分成好幾個(gè)小組在激烈爭論，并圍上來要老師評判。筆者看到學(xué)生的求知欲被激起，不愿意失去讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。就推說自己也不知道……終于到了下一節(jié)課。

2 百家爭鳴

教師:上一節(jié)作業(yè)誰對誰錯(cuò)了呢?有哪位同學(xué)已有答案了?

學(xué)生5:我查閱了高一學(xué)過的平面向量的正交分解及坐標(biāo)定義:“在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底。對于平面內(nèi)的一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得。這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x、y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x，y)”。這里強(qiáng)調(diào)了表示向量的坐標(biāo)必須是由單位正交基底生成的。所以我認(rèn)為第一個(gè)同學(xué)是對的。

學(xué)生6:好象……不要垂直條件。請看高一必修4習(xí)題2。3B組第4題:"設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(x，y)叫做向量的在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)……”。

學(xué)生7:我認(rèn)為垂直和單位條件都可以不要。我看了課本閱讀與思考《向量概念的推廣與應(yīng)用》，并上網(wǎng)查了n維歐氏空間的基底與坐標(biāo)定義:“若n維線性空間中任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都可以作為線性空間的一個(gè)基。設(shè)向可由基向量組表示出，則x1，x2，…，xn稱為向量的坐標(biāo)，記為(x1，x2，…，xn)”。因此我覺得向量的坐標(biāo)不必是由單位正交基底生成，可以由任何基底生成的。所以第二個(gè)同學(xué)是對的。

學(xué)生8:我支持!什么是坐標(biāo)?我查了現(xiàn)代漢語詞典坐標(biāo)的定義:“能夠確定一個(gè)點(diǎn)在空間的位置的一個(gè)或一組數(shù)，叫做這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)”。所以我也認(rèn)為第二個(gè)同學(xué)是對的。

3 水落石出

教師:同學(xué)們說得非常好，真理越辯越明。請同學(xué)們重新審題:求→在基底下的坐標(biāo)。發(fā)現(xiàn)什么問題?(學(xué)生思索中…，突然一學(xué)生叫喊起來)

學(xué)生9:哦，我明白了!我們之前將基向量下的坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)混淆了。

教師:非常好，誰能告訴我這兩者有什么區(qū)別與聯(lián)系?

學(xué)生10:區(qū)別是:基向量下的坐標(biāo)對基向量只要求不共線或不共面，而直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)必須要求基向量是單位正交基底。

學(xué)生11:聯(lián)系是:只有當(dāng)基向量與坐標(biāo)軸同向且是單位向量時(shí)，基向量下的坐標(biāo)才等于直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

教師:很好，討論到現(xiàn)在我們可以肯定，上一節(jié)第二位同學(xué)的解答是對的。第一位同學(xué)錯(cuò)在將求基向量下的坐標(biāo)當(dāng)成求直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

4 拓展練習(xí)

教師:通過今天學(xué)習(xí)，讓我們明確了:空間的一個(gè)“坐標(biāo)系”可以由一個(gè)定點(diǎn)，三個(gè)不共面的向量，以及數(shù)乘向量和向量加法這兩個(gè)運(yùn)算給出。在這樣的“坐標(biāo)系”中，幾何元素及其關(guān)系不但可以得到定性刻畫，而且還能定量地表示。另外，我們可以根據(jù)面臨問題的具體條件，根據(jù)解決問題的需要(自由地)選擇“坐標(biāo)系”，并且還可以在同一個(gè)平面上選擇多個(gè)“坐標(biāo)系”［2］。

同時(shí)還應(yīng)了解:空間點(diǎn)的坐標(biāo)除了可以用距離來確定外，還可以用距離與角來確定。如今后將學(xué)習(xí)的極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)等。

5 教學(xué)啟示

如何有效講評數(shù)學(xué)作業(yè)呢?其實(shí)孔子在《論語·述而》中早已告訴我們:“不憤不啟，不悱不發(fā)，舉一隅，不以三隅反，則不復(fù)也?！薄皯崱本褪菍W(xué)生對某一問題正在積極思考，急于解決而又尚未搞通時(shí)的矛盾心理狀態(tài)。這時(shí)教師應(yīng)對學(xué)生思考問題的方法適時(shí)給以指導(dǎo)，以幫助學(xué)生開啟思路，這就是“啟”?！般笔菍W(xué)生對某一問題已經(jīng)有一段時(shí)間的思考，但尚未考慮成熟，處于想說又難以表達(dá)的另一種矛盾心理狀態(tài)。這時(shí)教師應(yīng)幫助學(xué)生明確思路，弄清事物的本質(zhì)屬性，然后用比較準(zhǔn)確的語言表達(dá)出來，這就是“發(fā)”。“舉一隅，不以三隅反，則不復(fù)也。”舉出一個(gè)角為例來告訴學(xué)習(xí)的人，而他不能推斷其他三個(gè)角如何，就不用再教他了。因?yàn)樗挥眯乃伎肌?/p>

數(shù)學(xué)作業(yè)講評是課堂教學(xué)的有機(jī)組成部分，是師生交流的平臺(tái)。通過數(shù)學(xué)作業(yè)講評，交流學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，把學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的想法、創(chuàng)見、存在的錯(cuò)誤作為教學(xué)的資源，為矯正學(xué)生自己的學(xué)習(xí)缺陷服務(wù)，鞏固、充實(shí)、完善和強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識技能，促使知識再整理、再綜合、再運(yùn)用;學(xué)生通過自查錯(cuò)誤，能培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)主體的自我發(fā)展;學(xué)生在辨析糾錯(cuò)的過程中，能以數(shù)學(xué)概念定理為依據(jù)，修補(bǔ)認(rèn)知上的缺陷，形成正確的認(rèn)知;通過講評活動(dòng)，提煉學(xué)生的思想方法及個(gè)性想法，使學(xué)生對所學(xué)知識融會(huì)貫通，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力［3］。

［1］課程標(biāo)教材研究所.數(shù)學(xué)選修2－1［M］.北京:人民教育出版社2010，10.

［2］課程標(biāo)教材研究所.數(shù)學(xué)必修4教師教學(xué)用書［M］.北京:人民教育出版社，2010.

［3］任升錄，等.數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計(jì)與評價(jià)［M］.上海:人民教育出版社，2009.

［4］Paul R Burden，David M Byrd.Methods for Effective Teaching:Meeting the Needs of All Students［M］.Beijing:Pearson Education(Beijing)office，2008.

［5］Clarke D J，Keitel C，Shimizu Y.Mathematics Classrooms in Twelve Countries:The Insider’s Perspective［M］.Rotterdam:Sense Publishers，2006.