梁曉東， 汪忠明

（1.深圳奧意建筑工程設(shè)計有限公司，廣東 深 圳 518031；2.合肥工業(yè)大學 土 木與水利工程學院，安徽 合 肥 230009）

制造可控形狀、尺寸和間距的納米尺度有序圖案在納米科學和工程中扮演著越來越重要的角色。圖案質(zhì)量直接影響著納米設(shè)備的性能和可靠性，由于固體表面形態(tài)失穩(wěn)對納米結(jié)構(gòu)自組裝生長起關(guān)鍵性作用，因此受到了廣泛研究［1－7］。自組裝的過程是由于不同類型能量的相互競爭進而使得系統(tǒng)總自由能趨于最小的結(jié)果。

近年來，靜電場誘導的表面失穩(wěn)已經(jīng)被觀察和分析，表面形態(tài)改變機制主要分為2類：① 電介質(zhì)的體流動［8－9］，其中高聚物電介質(zhì)層受到電場的作用，高于玻璃態(tài)轉(zhuǎn)化溫度時，經(jīng)歷表面失穩(wěn)進而演化成島；② 導電材料的表面擴散［7，10－11］，其中滿足表面擴散方程。利用電場控制納米島自組裝進而制造納米結(jié)構(gòu)不僅方便［10］，而且在調(diào)節(jié)納米島尺寸、形狀和位置上卓有成效［8，12］。

上述研究只考慮了靜電場的作用，本文考慮導電介質(zhì)在應力場和靜電場耦合作用下的表面形態(tài)失穩(wěn)。當彈性模量的大小與電應力相當時，電應力的影響顯得重要。本文研究了電－力耦合場下彈性導電體表面的形態(tài)失穩(wěn)，利用線性攝動分析，得到了臨界失穩(wěn)波長，解釋了電場和泊松比對表面穩(wěn)定性的影響。

1 基本方程

考慮電場下在x1方向受均勻單向遠場拉應力σ0的半無限大彈性體，電場方向與未擾動導電體平表面垂直，如圖1所示。導電體初始占據(jù)空間－∞≤x2≤0，表面固定電勢為V，另一電極固定電勢為0，h0代表電極與未擾動平表面之間的距離，為簡單起見，考慮平面應變系統(tǒng)。

圖1 電－力耦合場下二維導電體表面的未擾動和擾動

在彈性體表面與電極之間沒有自由電荷，電場強度E滿足Maxwell方程，該方程為：

其中，E＝E1＾x1＋E2＾x2；E1，E2分別為x1、x2方向電場強度分量；ε為x2＞0空間介質(zhì)的介電常數(shù)。

上電極處電場邊界條件為：

在空氣與彈性體表面界面處，電場強度的切向分量連續(xù)性要求為：

其中，n為彈性體表面單位法向量。

由于彈性平衡的建立遠比表面原子擴散快得多，因此可以認為靜力平衡總是成立的。本文采用線彈性理論，可得應力平衡方程為：

其中，μ為剪切模量；ν為泊松比；δij為克羅內(nèi)克符號；εij＝（ui，j＋uj，i）／2為應變張量分量；ui為位移分量，i＝1，2，3。

遠場單向均勻拉應力σ0滿足：

在x2方向位移邊界條件為：

空氣與彈性體表面界面處有：

其中，ni為單位法向量n的分量；ti為表面單位切向量t的分量。

根據(jù)文獻［13］的方法，無蒸氣沉積時表面化學勢為μ的擴散方程為：

其中，Ds為表面擴散系數(shù)；Ω為偏摩爾體積；δ為表面擴散層厚度；R為氣體常數(shù)；T為絕對溫度；為表面拉普拉斯算符。

電場下固體表面化學勢［10－11］的表達式為：

其中，μ0為無應力態(tài)平表面的化學勢；γ為固體表面能；κ為平均曲率；Uelastic為彈性應變能密度；Uelectric為電場能密度。

2 線性穩(wěn)定性分析

未擾動平表面時彈性體表面電場強度和所受應力為：

其中，（－）表示無任何表面擾動時的基態(tài)?，F(xiàn)擾動為：

其中，ω為增長率；k1為x1方向的擾動波數(shù)。本文假定擾動幅度遠小于空間波長，即k1H?1，表面法向和切向單位向量分別為：

將（14）～（17）式代入（1）式并聯(lián)合邊界條件（2）～（3）式，可得：

從而，固體表面近似到一階的靜電能密度為：

平衡方程（4）式用位移改寫為：

將（16）～（17）式代入（23）式，同時利用邊界條件（7）～（9）式，得到近似一階的攝動解為：

此時，固體表面應變能密度近似到一階為：

最終，固體表面演化方程（10）式經(jīng)整理變形為：

3 失穩(wěn)模式

本文引入特征長度尺度L來度量擾動波長，引入特征時間尺度τ來表征擾動在特征長度尺度L上增長的快慢程度，兩者被定義為：

選取如下無量綱化變量，即對（30）式無量綱化，通常k1h0?1，即?1，所以coth）≈1，則（30）式變?yōu)椋?/p>

由（33）式可以看出，表面能總是抑制表面失穩(wěn)。當σE＝0，（33）式退化為典型的 ATG［1－3］失穩(wěn)，此時拉應力σ0促進表面失穩(wěn)，臨界波數(shù)＝［L（1－ν）／γμ］。當σ0＝0時，（33）式變?yōu)椋?/p>

此時，若ν≥1／3，顯然電應力σE促進表面失穩(wěn)；如果ν＜1／3，則取決于方程（34）等號右邊大括號中后兩項的相對大小，即

對于導電金屬，剪切模量在10GPa數(shù)量級，而電應力σE＝εE20／2，為了避免空氣中高壓對電介質(zhì)的擊穿，對于真空為（10－5～10－7）×1.33×102Pa數(shù)量級下所能達到的超高壓E0達到109V／m數(shù)量級時［11］，σE數(shù)量級為106Pa（ε＝8.85×10－12C2／（N·m2）），因此g（σE，μ，ν）?1，該結(jié)果表明靜電場也總是促進金屬導電體表面失穩(wěn)，與文獻［7］結(jié)果一致。對于（33）式中的耦合項2LσE［σ0（1－ν）－μ］／γμ，由于金屬導電體通常在100MPa數(shù)量級屈服，因此此項通常也為負值，表示促進表面失穩(wěn)。

由方程（33）可得與w＊的關(guān)系式，本文取h0＝600nm，E0＝109V／m，γ＝1J／m2，μ＝40×109Pa，σ0＝100×106Pa，σE＝4×106Pa，ν＝0.3，表面失穩(wěn)增長率與失穩(wěn)波數(shù)的關(guān)系如圖2所示。

圖2 擾動增長率ω＊隨擾動波數(shù)的變化

圖2反映了擾動增長率隨擾動波數(shù)的變化態(tài)勢，表明導電體表面在拉應力和電應力的共同作用下會在x1方向失穩(wěn)，拉應力和電應力均促進表面失穩(wěn)，兩者與表面能（抑制表面失穩(wěn)）競爭，最終能量趨于最小，形成周期性的圖案。利用這種機制可以調(diào)控生成納米圖案。

4 結(jié)束語

本文研究了二維彈性導電體在電場和應力場耦合作用下的表面穩(wěn)定性問題，利用攝動分析對表面由擴散導致的失穩(wěn)模式和失穩(wěn)波長進行了推導，得出了表面失穩(wěn)是應變能、表面能和靜電能3種能量競爭的結(jié)果，表面能總是抑制表面失穩(wěn)，而應變能和靜電能促進表面失穩(wěn)，利用這種物理機制可以調(diào)控生成周期性納米圖案，為工程應用提供理論指導和參考。

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