逄煥平， 董滿生， 侯超群

（合肥工業(yè)大學(xué) 交 通運(yùn)輸工程學(xué)院，安徽 合 肥 230009）

早在19世紀(jì)，很多學(xué)者就對(duì)橋梁在移動(dòng)列車車輛荷載作用下的車橋耦合振動(dòng)分析進(jìn)行了研究［1－3］。

文獻(xiàn)［4］解決了2個(gè)基本問題，即常力在梁上的運(yùn)動(dòng)和諧振力在梁上的運(yùn)動(dòng)。

文獻(xiàn)［5］對(duì)結(jié)構(gòu)在移動(dòng)車輛荷載作用下車橋耦合振動(dòng)問題作了大量的解析研究。

文獻(xiàn)［6］推導(dǎo)了用于車橋耦合振動(dòng)分析的通用車橋耦合單元，基于紐馬克有限差分法對(duì)耦合方程進(jìn)行離散，采用迭代的方法進(jìn)行求解。

文獻(xiàn)［7］提出了由移動(dòng)車輪單元、彈簧阻尼單元、集中質(zhì)量單元和剛性連接建立復(fù)雜車輛模型的方法，其給出的用于車橋耦合分析的車輛模型的特征矩陣為對(duì)稱矩陣。

本文對(duì)車橋耦合單元進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，得到了車橋耦合的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，并就其求解過程進(jìn)行了討論，其方法可以推廣到其他復(fù)雜橋梁及車輛模型中，具有非常好的實(shí)用性［8］。

本文對(duì)一經(jīng)典模型進(jìn)行了計(jì)算分析，與文獻(xiàn)［6，9－10］比較，可以看出本文計(jì)算方法非常精確。

1 車橋耦合單元的推導(dǎo)

本文采用的車橋耦合計(jì)算模型如圖1所示，假定車輛模型的質(zhì)量矩陣為Mv，阻尼矩陣為Cv，剛度矩陣為Kv，則車輛的運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，F(xiàn)v可分為2部分，一部分是作用在車輛模型上的外荷載Fe，另一部分是車橋之間的相互作用力Fc，即Fv＝Fe＋Fc。

由圖1可知，所有車輛模型的節(jié)點(diǎn)可分為2部分，一部分是不與橋梁直接接觸的車體部分，其對(duì)應(yīng)的自由度用yu表示，另外一部分是與橋梁直 接接觸的車輪部分，其對(duì)應(yīng)的自由度用yw表示。

圖1 車橋耦合單元示意圖

假定作用在車輪和車體上的外荷載分別用Few和Feu表示，車輪與梁單元之間的接觸力用fc表示，則對(duì)（1）式重新分組排列，可得：

yw與第s個(gè)梁單元的節(jié)點(diǎn)位移之間可通過厄米特插值函數(shù)相互轉(zhuǎn)換，計(jì)算如下：

對(duì)（3）式時(shí)間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，有Nwi（i＝1，2，…，n）為第i個(gè)車輪節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)位置的厄米特插值函數(shù)向量，其計(jì)算如下：

其中

將（3）～（5）式代入（2）式，可得：

（9）式即為車橋耦合的運(yùn)動(dòng)方程［11］。

2 車橋耦合的狀態(tài)空間法

有車橋相互作用的梁單元運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，mb、cb、kb為 第s個(gè)梁單元的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；為作用在第s個(gè)梁單元的外荷載向量，則將（10）式與（9）式迭加，可得車橋耦合單元的運(yùn)動(dòng)方程為：

其中

（12）式中的矩陣MVBI、CVBI、KVBI是時(shí)變的，整個(gè)系統(tǒng)的模態(tài)矩陣也是隨時(shí)間變化的。為簡化計(jì)算，假定不考慮車橋相互作用時(shí)的系統(tǒng)M、C、K的模態(tài)矩陣為Φ，頻率向量為ω，令 ［dyu］T＝Φq，則可將（12）式轉(zhuǎn)換到模態(tài)空間為：

其中

（13）式可進(jìn)一步改寫為：

對(duì)于復(fù)雜模型，其模態(tài)矩陣Φ可以通過大型通用軟件ANSYS計(jì)算得到，通過ANSYS導(dǎo)出的模態(tài)矩陣是經(jīng)過正交化處理的，其中ΦTMΦ是單位陣，ΦTKΦ是對(duì)角元素為ω2的對(duì)角矩陣，若采用阻尼比為ζ的比例阻尼，則ΦTCΦ是2ζω的對(duì)角矩陣。

注意到上面的方程實(shí)際上是變質(zhì)量、變剛度、變阻尼的系統(tǒng)，為方便求解，令z＝［q］T，將其轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間方程為：

其中

（18）式的變質(zhì)量、變剛度、變阻尼系統(tǒng)可以通過Matlab的系統(tǒng)仿真模塊進(jìn)行求解，直接得到物理坐標(biāo)系下各個(gè)點(diǎn)的位移及速度響應(yīng)。計(jì)算步驟如下：

（1）t＝0時(shí)，給出初始值z0，判斷車輛在橋梁上的位置，計(jì)算系統(tǒng)矩陣A、B、C和輸入向量u。

（2）令tsim＝［t，t＋Δt，t＋2Δt］，利用lsim 求解Δt時(shí)刻的值，即

（3）令t＝t＋Δt，判斷車輛在橋梁上的位置，如果車輛已經(jīng)完全移出橋梁，則停止計(jì)算；如果車輛沒有完全移出橋梁，取步驟（2）中計(jì)算結(jié)果z的第2列，作為下一步計(jì)算的初始值z0，并重新計(jì)算系統(tǒng)矩陣A、B、C和輸入向量u，轉(zhuǎn)到步驟（2）繼續(xù)計(jì)算。

3 算例驗(yàn)證

算例1 圖2所示簡支梁長L＝25m，梁的彈性模量E＝2.87×109N／m2，梁的慣性矩I＝2.9m4，梁的質(zhì)量密度m＝2 303kg／m。

本文計(jì)算了簡支梁在移動(dòng)力、移動(dòng)質(zhì)量和移動(dòng)彈簧質(zhì)量3種模型作用下的響應(yīng)，其中參數(shù)如下：

車輛的移動(dòng)速度v＝27.78m／s［6－9］。

圖2 簡支梁的車橋耦合參數(shù)圖

車輛以27.78m／s速度在簡支梁上移動(dòng)，經(jīng)過計(jì)算可得到梁跨中點(diǎn)的豎向位移、速度和加速度圖，如圖3所示。所得結(jié)果與文獻(xiàn)［6，9－10］的結(jié)果非常吻合，說明本文方法非常有效。

從圖3可以看出，3種不同車輛模型行經(jīng)橋梁時(shí)，所引起的橋梁響應(yīng)還是有細(xì)微差別的。圖4所示為移動(dòng)彈簧質(zhì)量行經(jīng)橋梁時(shí)簧上質(zhì)量的豎向位移、速度和加速度響應(yīng)圖。

圖3 3種車輛模型作用下的豎向位移、豎向速度和豎向加速度圖

圖4 簧上質(zhì)量的豎向位移、豎向速度和豎向加速度圖

算例2 圖5所示為文獻(xiàn)［12］中的一個(gè)算例，該算例為20m＋25m＋60m＋45m的連續(xù)梁橋，梁的EI＝9.92×1010N·m2，梁的線質(zhì)量密度ρm＝11 400kg／m。移動(dòng)車輛參數(shù)為：Mv＝31 700kg，Mw＝3 000kg，kv＝9 120 000N／m，cv＝86 000N／m。

本算例中，車輛的移動(dòng)速度分別為30、60、90m／s。

圖9 連續(xù)梁車橋耦合振動(dòng)分析示意圖

如圖6～圖7所示，隨著速度增加，無論是橋梁響應(yīng)還是車輛響應(yīng)均有明顯的增加，特別是速度從60m／s增加到90m／s時(shí)，75m處最大豎向位移增加了35%左右，車輛移動(dòng)速度對(duì)車輛的影響非常明顯，其間簧上質(zhì)量位移增加了80%，加速度增加了2.5倍左右。這種車橋耦合振動(dòng)引起的動(dòng)力效應(yīng)對(duì)橋梁的響應(yīng)以及行車的舒適性都有著巨大的影響，因此，在橋梁設(shè)計(jì)時(shí)必須考慮移動(dòng)車輛荷載的移動(dòng)效果。

圖6 梁75m處在不同移動(dòng)速度時(shí)豎向位移與加速度圖

圖7 車輛簧上質(zhì)量不同移動(dòng)速度時(shí)豎向位移和加速度圖

4 結(jié)束語

本文將時(shí)變的線性動(dòng)力系統(tǒng)分解成時(shí)變的線性動(dòng)力系統(tǒng)和時(shí)不變的線性動(dòng)力系統(tǒng)的疊加，利用時(shí)不變的線性動(dòng)力系統(tǒng)的模態(tài)矩陣降低分析的維數(shù)，同時(shí)利用狀態(tài)空間理論建立了車橋耦合振動(dòng)有限元法分析的狀態(tài)空間法。

該方法具有很高的計(jì)算效率和精度，借助于ANSYS和Matlab可以非常方便地應(yīng)用于復(fù)雜橋梁及車輛模型分析計(jì)算中。

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