劉 巍，欒衛(wèi)中，孟慶華

（1.松遼流域水資源保護局，吉林 長春 130021；2.大唐長春第二熱電有限責任公司，吉林 長春 130021；3.松遼水利委員會綜合服務(wù)中心，吉林 長春 130021）

數(shù)學科學在流域水環(huán)境監(jiān)測中的應(yīng)用研究

劉 巍1，欒衛(wèi)中2，孟慶華3

（1.松遼流域水資源保護局，吉林 長春 130021；2.大唐長春第二熱電有限責任公司，吉林 長春 130021；3.松遼水利委員會綜合服務(wù)中心，吉林 長春 130021）

本文選擇了數(shù)學科學有關(guān)門類，如：線性代數(shù)、集合論、概率論、模糊數(shù)學等，與監(jiān)測科學進行跨學科地交叉研究，從理論與實踐的結(jié)合上證明，數(shù)學就是監(jiān)測學的方法論基礎(chǔ)。在應(yīng)用技術(shù)方面有創(chuàng)新，對流域水環(huán)境監(jiān)測而言，價值巨大，意義深遠。

數(shù)學科學；水環(huán)境；監(jiān)測；應(yīng)用研究

數(shù)學涉及一切事物，關(guān)聯(lián)所有領(lǐng)域，特別是水環(huán)境監(jiān)測學中，如果沒有數(shù)學科學的應(yīng)用，就沒有質(zhì)量，沒有價值。因為水環(huán)境監(jiān)測本身就是用量化的概念去研究、掌握環(huán)境質(zhì)量現(xiàn)狀、變化規(guī)律及發(fā)展趨勢，所以，數(shù)學科學就是它的方法論基礎(chǔ)。大量科技文獻證明：有下列一些數(shù)學科學門類，在水環(huán)境監(jiān)測學中必不可少，非用不可。當然是選擇運用。

1 線性代數(shù)

在水環(huán)境監(jiān)測中的點位設(shè)計、質(zhì)量評價、預測預報及監(jiān)測管理中，有很多問題歸結(jié)到求解一個線性方程的問題，常用的數(shù)學知識有：“行列式”、“向量”與“向量空間的概念”、“矩陣”概念等等。

1.1 行列式及其性質(zhì)

線性方程組求解時，往往要用到“行列式”這個數(shù)學工具。其要求是：

1）對于給定的2個二元線性方程所構(gòu)成的線性方程組：

經(jīng)消元法及“交差相乘相減”處理后，可得二行二列式，即：

2）對于含有n個n元線性方程的方程組，即：

3）行列式有如下性質(zhì)：

某一行的各元素是二項之和，則可將行列式改成兩個行列式之和：

任一行（或列）中各元素與其代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式的值，任一行（或列）的元素與另一行（或列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于0：

1.2 向量概念

在解析幾何中關(guān)于向量概念的基礎(chǔ)，根據(jù)水環(huán)境監(jiān)測問題的需要，及其他重要的環(huán)境問題一樣，往往需要用更多的“量”來刻畫同一現(xiàn)象或問題，而超過三維空間就無法給予幾何描述，為此，定義：把n個數(shù)寫成一個有序的數(shù)組（a1，a2，…，am），則稱此數(shù)組為 n 維空間的一個 n 維向量，并用a表示。

向量組的線性相關(guān)性判斷是：

1）如果向量組a1，a2，…，an中有一部分與向量線性相關(guān)，則全組也線性相關(guān)。

2）如果向量組 a1，a2，…，an線性無關(guān)，則其中任一部分向量也線性無關(guān)。

3）如果在 m（m＞1）個向量 a1，a2，…，am中有一個是零向量，則這m個向量線性相關(guān)。

1.3 矩陣概念

矩陣概念在水環(huán)境監(jiān)測的布點、數(shù)據(jù)分析、質(zhì)量評價中用的很多，尤其是聚類分析，是一個有力的工具。矩陣的定義為：由m×n個數(shù)按一定次序排列的有m行n列的表，即：

稱為矩陣，其中aij為矩陣的元素。

矩陣的運算要點是：

1）加法：若矩陣A的行數(shù)分列數(shù)分別與矩陣B相同，即：

2）乘數(shù)：設(shè)有

3）乘法：只有矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)時，才有矩陣的乘法。設(shè)有：

4）交換律：A+B=B+A

5）結(jié)合律：A+（B+C）=（A+B）+C

2 集合論

集合（集）是近代數(shù)學最基本的概念，凡具有某一同性質(zhì)的可以互相區(qū)別的事物的全體被當作一個整體來考慮時，就是一個集合。如，自然環(huán)境質(zhì)量和社會環(huán)境質(zhì)量構(gòu)成的集合就是整體環(huán)境質(zhì)量；如水體、空氣、固體廢棄物、生物等環(huán)境要素的環(huán)境質(zhì)量所構(gòu)成的集合就是自然環(huán)境質(zhì)量；化學污染、物理污染、生物污染所構(gòu)成的集合就是環(huán)境污染……構(gòu)成集合的事物叫做集合元素，給定一個集合時，必須說清元素的特征，即給出判別的準則。元素和集合的表示方法常用的是A={0，1，2，…，m}，表示集合A是0和前m個自然數(shù)所組成，其有m+1個元素；B={1，2，3，…，m}表示B是由自然數(shù)組成的集合。一般稱A為有限集合，B為無限集合，集合的初等運算性質(zhì)有：冪等律，A∪A=A，A∩A=A；排中律，A∩A=φ；交換律，A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律，A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C，A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；分配律，A∪（B∪C）＝（A∪B）∩（A∩C），A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）；吸收律，A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A；空集性質(zhì)，A∩φ，A∪φ＝A。

3 概率論

概率論是數(shù)理統(tǒng)計學——數(shù)學科學的重要分支學科的基礎(chǔ)，關(guān)于概率論的基本理論，在水環(huán)境監(jiān)測中用得十分普遍。如果說統(tǒng)計學是從樣本到總體的“推理學”，那么，概率論就是從總體到樣本的“推理學”。在通常的水環(huán)境監(jiān)測中要具備的概率論知識有：

3.1 排列與組合概念

在n個不同元素中任選r個（不許重復，r≤n）按一定順序排成一列，稱為選排列，其排列總數(shù)為：

另有全排列、可重復的排列、同物排列等，分別表示為：

從n個不同元素中任取r個（不許重復，r≤n）不計順序構(gòu)成一組，稱為從n個不同元素中取r個的一個組合，組合數(shù)為：

3.2 隨機試驗和隨機事件概念

概率論中的這一概念與集合論中的集合有許多相似之處，隨機試驗的全體基本事件組成的集合即為“基本事件空間”，隨機事件可稱為該空間的一個子集，隨機事件之間的關(guān)系及事件的運算和集合論中的子集相同，并、交、差、補等基本相似。若事件A發(fā)生必然導致B發(fā)生，則稱事件A包含于事件B，記為A?B或B?A；若B?A且A?B，則為A事件與B事件相等，記為A=B；同理，和、積、差分別記為：A+B（或 A∪B）、AB（或 A∩B）、A-B；互不相容事件記為A∩B=φ；對應(yīng)事件記為B=A。

3.3 概率的定義

若隨機事件A在n次試驗中出現(xiàn)K次，則稱K為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率，記為fn（A）=，若隨機試驗的基本事件空間僅含有限個基本事件，而且基本事件出現(xiàn)的可能性相等，則稱為古典型試驗。A的概率為：P（A）=。

3.4 隨機變量與分布函數(shù)概念

定義：如果每次試驗的結(jié)果可以用一個ξ來表示，而且對任何實數(shù)X，“ξ＜X”有著確定的概率，則稱ξ是隨機變量，依試驗結(jié)果的不同性質(zhì)，又可分為離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量。

1）離散型隨機變量最重要的分布規(guī)律有。

卜阿松分布：ξ-P（λ）。

2）連續(xù)隨機變量的主要分布。

均勻分布：

3.5 隨機變量的數(shù)學特征

4 模糊數(shù)學

模糊數(shù)學是用數(shù)學方法研究和處理具有“模糊性”現(xiàn)象的數(shù)學。在水環(huán)境監(jiān)測中，常常要用模糊數(shù)學方法進行聚類分析（即模糊聚類），其要點是：

1）設(shè)U是需要被分類的對象全體（集合），即因素集。R為相似矩陣，R的元素rij應(yīng)滿足：0≤rij≤1。

設(shè)被分類的對象Uj由一組數(shù)據(jù)Xi1，Xi2，……，Xim來表示。ri1表示Ui和U1的相似程度構(gòu)成相似矩陣R。

2）聚類。能夠進行聚類分析的模糊矩陣R必須是等價矩陣。即需同時滿足自反性、對稱性和傳遞性。所以，需采用傳遞閉包的方法對矩陣R進行改造。

模糊矩陣相乘表示了兩個模糊關(guān)系合成，有：

當R2n=Rn時，矩陣Rn則具有傳遞性并滿足等價關(guān)系，其中，模糊矩陣的乘法與普通矩陣乘法相比較，運算過程一樣，對具有等價關(guān)系的矩陣R采用取入截集的方法將模糊矩陣變?yōu)槠胀ㄟ壿嬀仃嚕M行聚類。當入取值從1降到0時，分類由細變粗，逐步歸并，形成一個動態(tài)的聚類圖。

5 數(shù)學模型在水環(huán)境監(jiān)測中的應(yīng)用

所謂數(shù)學模型系指使用數(shù)學符號、函數(shù)和關(guān)系式等，抽象地表示其有關(guān)主題、程序或系統(tǒng)。

水環(huán)境數(shù)學模型以仿真、副近客觀實際為目標，以地面水環(huán)境為重點，以完善的理論和方法，突出實際應(yīng)用為特點。這里必須強調(diào)的是：

1）在地表水體模型中，全面、系統(tǒng)地建立水庫、湖泊中有機污染物和富營養(yǎng)化物質(zhì)總磷、三氮、重金屬三態(tài)（溶解態(tài)、懸浮態(tài)、底泥態(tài)）遷移轉(zhuǎn)化模型，考慮到分子擴散、系統(tǒng)擴散，底泥、水溫和生物對濃度的影響，建立了總磷遷移轉(zhuǎn)化的三維水動力——水質(zhì)——生態(tài)——水溫耦合模型；還建立了地表水——地下水聯(lián)合水質(zhì)模型。

2）在地下水模型中吸收了國內(nèi)外最新研究成果，加強了海水入侵，熱遷移及非飽和帶的污染物質(zhì)遷移問題。

3）隨著水環(huán)境問題的日益增多，在解決這些問題中，全面、系統(tǒng)、深入定量化地進行水資源和水質(zhì)模擬、預測、管理研究成為關(guān)注焦點。水環(huán)境數(shù)學模型在近20～30年內(nèi)已經(jīng)發(fā)展成為一門重要的學科，在科研、生產(chǎn)、工程等領(lǐng)域均起到重要的指導作用，還被應(yīng)用于水污染治理與規(guī)劃之中。

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2012-03-16