吳允剛，唐振民

(南京理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京210094)

基于量化量測(cè)的估計(jì)是當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn)之一，得到了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注。量化是指實(shí)際系統(tǒng)中把信號(hào)在幅度域上連續(xù)取值變換為幅度域上離散取值的過(guò)程，對(duì)傳感器本身而言，量化水平即表征著儀器的分辨率。早期的研究工作可以追溯到1970年，Curry［1-2］、Clements［3］等提出了量化量測(cè)下基于最優(yōu)條件均值估計(jì)的近似Kalman 濾波器，因該算法需要計(jì)算高維數(shù)值積分而限制了其應(yīng)用。隨著計(jì)算機(jī)性能的提高，2000～2005年間出現(xiàn)了大量的以文獻(xiàn)［4 -7］為代表的通過(guò)近似數(shù)值計(jì)算方法來(lái)解決這一問題的成果。2007年，Moschitta［8］研究了量化量測(cè)下，克拉美-羅下界(CRLB)與量化間隔、測(cè)量誤差之間的關(guān)系。Sun［9］研究了量化量測(cè)下傳感器網(wǎng)絡(luò)中能量約束下的參數(shù)優(yōu)化問題。2008年，Djuric 等［10］給出了量化量測(cè)下無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的CRLB 計(jì)算公式。Duan 等［11］針對(duì)某典型的空中交通管制ATC 系統(tǒng)，基于UT 變換的思想研究了量化量測(cè)下最小均方誤差(MMSE)意義下的狀態(tài)估計(jì)問題。2010年，Zhou 等［12］研究了在量化量測(cè)下純方位系統(tǒng)中的狀態(tài)估計(jì)。Balkan 等［13］研究了量化量測(cè)下無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)參數(shù)優(yōu)化問題，提出了通過(guò)加入適當(dāng)?shù)倪^(guò)程噪聲來(lái)提高系統(tǒng)的最優(yōu)估計(jì)性能。

上述學(xué)者的研究成果為進(jìn)一步研究量化量測(cè)下的估計(jì)問題奠定了理論基礎(chǔ)。目前，針對(duì)量化量測(cè)估計(jì)的研究大多集中于濾波器的設(shè)計(jì)、以及傳感器網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)優(yōu)化等問題，而對(duì)量化水平與估計(jì)誤差之間的關(guān)系研究文獻(xiàn)相對(duì)較少。如何設(shè)計(jì)一種估計(jì)算法能夠在滿足估計(jì)精度的前提下盡可能容許盡可能低的量化水平，是值得探討的問題。誤差協(xié)方差分配(ECA)理論為解決該問題提供了必要的理論基礎(chǔ)。ECA 理論的核心思想是將給定的滿足實(shí)際工程期望指標(biāo)的濾波誤差上界包含在穩(wěn)態(tài)估計(jì)誤差方差中。文獻(xiàn)［14］研究了系統(tǒng)模型噪聲一定時(shí)，在誤差方差上界約束下，系統(tǒng)能夠容許的最大量測(cè)強(qiáng)度噪聲的滿意濾波問題。

本文研究了量化量測(cè)下一種當(dāng)前估計(jì)型穩(wěn)態(tài)滿意濾波器的設(shè)計(jì)問題。該濾波器在滿足指定的估計(jì)誤差方差上界約束下，容許系統(tǒng)有盡可能低的量化水平。其工程意義在于:在滿足估計(jì)誤差方差精度的前提下，確定盡可能低的量化水平，降低傳感器的分辨率，從而可以相應(yīng)降低傳感器成本。

1 問題描述

量化量測(cè)下離散線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

式中:Xk為n 維k 時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài);Yk為量化前的測(cè)量值;Zqk為量化后的測(cè)量值，Zqk為標(biāo)量;A 和C為適維矩陣且A 可逆;wk是n 維零均值方差為Q的高斯白噪聲;υk是零均值方差為R 的高斯白噪聲;Γ 為量化函數(shù)。

2 量化量測(cè)下當(dāng)前型穩(wěn)態(tài)濾波器及其性質(zhì)

2.1 量化策略

采用文獻(xiàn)［9］的量化策略。設(shè)傳感器能夠測(cè)量的幅值范圍［U1，U2］，記U = U2- U1，量化水平lq(lq=2b，b 為比特位數(shù))。可得到lq個(gè)量化點(diǎn){aj∈［U1，U2］，j =1，2，…，lq}.U1=a1＜a2＜… ＜alq= U2，aj+1- aj= δ = U/(lq- 1).若Yk∈［aj，aj+1)，則對(duì)于Yk，P{Zqk=aj}=1 -p，P{Zqk=aj+1}=p，這里p=(Yk-aj)/δ.

若設(shè)量化誤差εq=Zqk-Yk，則

故Zqk是Yk的無(wú)偏估計(jì)，且量化誤差方差的上界為1/4δ2.

為方便問題討論，假設(shè)εq是與υk不相關(guān)的白噪聲，且用量化誤差方差上界1/4δ2作為量化誤差方差。記Rq=U2/4(lq-1)2.

故(1)式所描述的系統(tǒng)可改寫成如下形式

2.2 量化策略下當(dāng)前型穩(wěn)態(tài)濾波器

對(duì)于(3)式所描述的系統(tǒng)，當(dāng)前估計(jì)型穩(wěn)態(tài)濾波器為

式中K 為待定定常濾波增益。估計(jì)誤差系統(tǒng)Σe:

估計(jì)誤差的協(xié)方差陣滿足:

其相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差協(xié)方差定義為

穩(wěn)態(tài)誤差協(xié)方差P 滿足

下面首先討論當(dāng)前型穩(wěn)態(tài)濾波器估計(jì)誤差協(xié)方差陣P 的性質(zhì)，定義函數(shù)

引理1［14］量化量測(cè)下，若存在濾波增益K 使誤差系統(tǒng)Σe漸近穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣變量L 的不等式

有正定解，且若濾波增益K 使誤差系統(tǒng)Σe漸近穩(wěn)定，則相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)協(xié)方差陣P 滿足

式中，Ω(K)={L|Φ(L，K)＜0，L ＞0}.

根據(jù)文獻(xiàn)［14］，由于(9)式是矩陣變量L 線性不等式，所以Ω(K)凸矩陣集，Ω(K)的下確界P 可以通過(guò)min{trace(L)|L∈Ω(K)}求得。

下面給出量化量測(cè)下，當(dāng)前估計(jì)型穩(wěn)態(tài)濾波方差與量化水平的關(guān)系。

定理1 量化量測(cè)下，當(dāng)隨機(jī)測(cè)量噪聲R 固定時(shí)，誤差系統(tǒng)Σe的當(dāng)前估計(jì)型穩(wěn)態(tài)濾波方差陣P是量化水平lq的單調(diào)遞減函數(shù)，即若0 ＜lq1＜lq2，則P1≥P2，其中Pi(i=1，2)是相應(yīng)于lqi(i =1，2)的穩(wěn)態(tài)濾波方差陣。

證明1 記Pi相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)濾波增益為Ki，i=1，2.則對(duì)P2和K2，有

由于lq1＜lq2，所以

因此有

而P2是相應(yīng)量化水平lq2的穩(wěn)態(tài)濾波方差陣，由引理1 則對(duì)如下不等式的任意解(，K)

均有P2＜.若(11)式取等號(hào)，則P1為相應(yīng)于量化水平為lq2的穩(wěn)態(tài)濾波方差陣，由于穩(wěn)態(tài)濾波方差陣的唯一性可知，P1=P2.若(11)式等號(hào)不成立，則(P1，K1)是Φ(，K)＜0 的一組解，因此P2＜P1.綜上述，P1≥P2.

利用Schur 補(bǔ)分解定理可以給出定理1 的LMI形式。

定理2 若P，K 是系統(tǒng)(3)式的穩(wěn)態(tài)濾波方差陣及濾波增益，則(P，K)是如下

LMI-1:

約束極大值問題max{trace(M)}的極值點(diǎn)。式中

證明2 記M=P-1，N=MK，則Φ(P，K)＜0，P ＞0 等價(jià)于

由Schur 補(bǔ)引理可知，(13)式的矩陣不等式有解，等價(jià)于(12)式有解。由定理1 可知

故(P，K)是max{trace(M)}的極值點(diǎn)。證畢。

3 誤差方差約束下的容許量化水平

本節(jié)討論當(dāng)給定誤差方差上界指標(biāo)，即當(dāng)diag(P)＜σ2(σ2為給定的方差上界常數(shù))時(shí)，能夠容許的最小量化水平。當(dāng)在連續(xù)測(cè)量下(不經(jīng)過(guò)量化處理)，即lq→+∞時(shí)(此時(shí)Rq→0)，考慮下列LMI 約束極大值問題。

LMI-2:

式中:

設(shè)M0是上面優(yōu)化問題的最優(yōu)解，則P0是穩(wěn)態(tài)濾波的誤差方差陣。對(duì)于滿足diag(P0)＜σ2的方差上界指標(biāo)σ2，在一定的量化水平下，總存在一種定常濾波增益，使濾波誤差方差陣滿足diag(P)＜σ2.由定理2 可知，要獲得方差約束diag(P)＜σ2下濾波器能容許的最低量化水平，就應(yīng)要求滿足diag(P)＜σ2的所有濾波方差陣中非對(duì)角元素取盡可能大數(shù)值的矩陣。

下面給出量化量測(cè)誤差方差約束下容許量化水平的濾波器設(shè)計(jì)方法。

LMI-3:

式中:P1與P0有相同的非對(duì)角元素，且diag(P1)=σ2.

記R*q為上述問題的最優(yōu)解，則容許的量化的比特?cái)?shù)和量化水平為

其中round{·}為取整函數(shù)。

算法流程圖如圖1所示。由于該算法每步都是求解凸優(yōu)化問題，一般經(jīng)幾次循環(huán)便可獲得滿意的結(jié)果。

圖1 誤差方差約束下容許的量化水平算法流程Fig.1 Algorithm flowchart for allowable quantization level under constraint of error variance

4 算例

4.1 航空交通管制系統(tǒng)(ATC)

考慮一個(gè)典型的ATC 系統(tǒng)。從獲取的目標(biāo)高度的量化信息中估計(jì)目標(biāo)的高度和上升/下降速度。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

目標(biāo)位置量化值為Zqk=Γ(Yk).

假設(shè)探測(cè)設(shè)備的探測(cè)范圍為［50 m，10 000 m］，設(shè)一探測(cè)設(shè)備量化器的量化水平lq0=210.

wk是均值為0，方差的高斯白噪聲。υk是均值為0，方差R =(50 m)2的高斯白噪聲。

根據(jù)定理1 使用MATLAB-LMI 軟件求出lq0=210時(shí)的穩(wěn)態(tài)濾波誤差方差陣和濾波增益

令lq0→∞，其余變量保持不變。求得連續(xù)量測(cè)下的穩(wěn)態(tài)濾波誤差方差陣及濾波增益:

為了做比較，選取濾波誤差方差陣的上界指標(biāo)為1.2，2，3，4，5，6，7，8 倍的對(duì)角元素，即σ2i=i ×diag{Pkal}，(i =1.2，2，3，4，5，6，7，8)，根據(jù)所設(shè)計(jì)的濾波方法，分別得到上述方差約束下的穩(wěn)態(tài)濾波誤差方差陣、增益和容許的量化水平。圖2和圖3分別為不同方差約束下的容許量化水平和比特位數(shù)。從圖中可以看出，當(dāng)方差約束指標(biāo)增大時(shí)，系統(tǒng)容許的量化比特位數(shù)減小，能夠降低傳感器的分辨率，從而可以相應(yīng)降低傳感器成本。如當(dāng)方差約束指標(biāo)擴(kuò)大為初始方差指標(biāo)Pkal的8 倍時(shí)，容許的量化比特位數(shù)從10 位減少到5 位。表1為不同方差約束下的穩(wěn)態(tài)濾波方差值，可以看出，文本給出的濾波器所得到的穩(wěn)態(tài)濾波方差隨著方差約束指標(biāo)的增大而增大，并且滿足相應(yīng)的方差上界指標(biāo)約束。

圖2 不同方差約束下的容許量化水平Fig.2 Allowable quantization level corresponding to different constraints of variance

圖3 不同方差約束下的容許比特位數(shù)Fig.3 Allowable quantization bits corresponding to different constraints of variance

表1 不同方差約束下的穩(wěn)態(tài)濾波方差Tab.1 Steady state error covariance corresponding to different constraints of variance

4.2 基于傳感器網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)

考慮由10 個(gè)傳感器構(gòu)成的目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)，目標(biāo)的動(dòng)態(tài)方程同(13)式，各傳感器的測(cè)量方程為

各傳感器測(cè)量誤差方差為Ri∈［40 m2，90 m2］.可求出連續(xù)量測(cè)下穩(wěn)態(tài)濾波誤差協(xié)方差陣

表2為各傳感器在不同方差約束下的容許量化比特位數(shù)，當(dāng)方差約束指標(biāo)增大時(shí)各傳感器相應(yīng)的容許量化比特位數(shù)減小。從表中可以發(fā)現(xiàn)，由于各傳感器測(cè)量誤差方差的差異，致使各傳感器的容許量化比特位數(shù)并不相同。圖4為不同方差約束下的位置濾波方差值，可以看出，位置估計(jì)誤差方差在迭代20 步左右進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值，同時(shí)該穩(wěn)態(tài)值滿足相應(yīng)的方差上界指標(biāo)約束。

表2 不同方差約束下的容許量化比特位數(shù)Tab.2 Allowable bits of sensors corresponding to different constraints of variance

圖4 不同方差約束下的位置估計(jì)誤差方差Fig.4 Filtering error variance of altitude corresponding to different constraints of variance

由此可見，在濾波穩(wěn)定下，當(dāng)給定濾波誤差方差陣的上界時(shí)，且探測(cè)器測(cè)量誤差確定時(shí)，便可以得到容許的探測(cè)器量化水平的下界，從而給探測(cè)設(shè)備量化器的設(shè)計(jì)提供有益的參考。

5 結(jié)論

在實(shí)際工程中，由于技術(shù)和成本的制約，不可能無(wú)止境地提高系統(tǒng)的量化水平來(lái)提升傳感器分辨率或選擇高分辨率的傳感器。探討如何選取傳感器的量化水平，具有重要的理論研究意義和工程應(yīng)用價(jià)值。本文通過(guò)研究量化水平與當(dāng)前估計(jì)型穩(wěn)態(tài)濾波方差的關(guān)系，提出了一種在給定濾波誤差方差陣的上界時(shí)計(jì)算所容許的量化水平下界的迭代算法。通過(guò)實(shí)例的數(shù)值仿真，驗(yàn)證了該算法的可行性。

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