黃晉英，潘宏俠，畢世華，崔寶珍

(1.中北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，山西 太原030051;2.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081)

近年來，信息熵作為故障模式識(shí)別的特征參量越來越得到工程界的重視［1］。信號(hào)的信息熵［2］是指信號(hào)中所含的平均信息量，隨著先驗(yàn)概率的增加而減少，但卻隨著后驗(yàn)概率的增加而增加，反映了信號(hào)中所含信息的復(fù)雜程度。齒輪箱的振動(dòng)信號(hào)在結(jié)構(gòu)特性一定時(shí)，其信息熵維持在一定水平，當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生故障時(shí)，測(cè)試信號(hào)所含信息的復(fù)雜程度發(fā)生變化，其信息熵也發(fā)生變化，不同故障模式下，信息熵的值不同，采用信息熵可以實(shí)現(xiàn)對(duì)設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)特征的描述和評(píng)價(jià)，區(qū)分故障。研究者將信息熵思想和不同信號(hào)分析方法相結(jié)合，建立了多種信息熵特征指標(biāo)用于工程信號(hào)分析和系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷［3］，如功率譜熵、小波能量譜熵［4］、奇異譜熵［5］、希爾伯特－黃變換熵［6］、EMD 時(shí)頻熵［7］、關(guān)聯(lián)距離熵、renyi 熵［8］等。本文提出的雙譜熵模型，是在雙譜域內(nèi)建立的信息熵特征參量。

在研究信息熵理論的基礎(chǔ)上，建立了振動(dòng)信號(hào)的雙譜熵模型，并針對(duì)實(shí)驗(yàn)室齒輪箱的4 種典型故障狀態(tài)，對(duì)其振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行了雙譜分析，計(jì)算了雙譜熵特征參量，建立BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了故障模式識(shí)別，識(shí)別結(jié)果表明，利用雙譜熵特征參量進(jìn)行故障模式識(shí)別，在測(cè)點(diǎn)數(shù)量少的情況下能獲得較高的診斷精度。

1 雙譜熵模型的建立

1.1 雙譜

設(shè)隨機(jī)過程{x(n)}在任意n，n + m1，…，n +mk－1時(shí)刻的k 維隨機(jī)矢量

則三階累積量為

三階累積量的Fourier 變換，即為信號(hào)的雙譜。若三階累積量C3x(m1，m2)絕對(duì)可和，即

則雙譜表示為［9－10］

雙譜為對(duì)稱矩陣，是雙周期函數(shù)，其周期為2π，三維圖形通常呈“釘床”形［11］。

1.2 信號(hào)的信息熵

信息熵理論研究信息的定量描述方法，從平均意義上表征信號(hào)總體信息測(cè)度，計(jì)算公式如下:

式中:X={x1，x2，…，xn}為離散信號(hào)，從廣義的角度來講，可以是任意域的信號(hào)，其幅值出現(xiàn)的概率Pi=P(xi)，i=1，2，…，n，且

1.3 齒輪箱振動(dòng)信號(hào)雙譜熵模型的建立

測(cè)試得到的振動(dòng)信號(hào)幅值通常在一定范圍內(nèi)連續(xù)分布，不可能按照幅值點(diǎn)一一計(jì)算概率，因此，基于信號(hào)能量在某分析域子空間的分布概率來建立信息熵。

1.3.1 子空間分布概率［12］

設(shè)S 為隨機(jī)信號(hào)X 的特征空間，S1，S2，…，SN是其正交特征子空間，是S 的一個(gè)完全劃分，則:

為信號(hào)X 在正交特征劃分子空間SN下的子空間分布概率。式中:E(·)為能量函數(shù);N 為子空間的個(gè)數(shù)。顯然，PSi表征的是特征子空間Si能量所占整個(gè)信號(hào)特征空間能量的比例。

1.3.2 子空間分布概率概念下的信息熵

根據(jù)信息熵理論，可得到子空間分布概率概念下的信息熵

上述表征的是信號(hào)能量在各特征子空間之間分配的均勻程度，如果信號(hào)在某一特征子空間出現(xiàn)突變，其相應(yīng)的子空間概率也會(huì)發(fā)生變化，從而導(dǎo)致信息熵變化。當(dāng)各子空間能量相等時(shí)，信息熵HS(X)=ln N，因此HS(X)∈(0，ln N)，將(7)式標(biāo)準(zhǔn)化得

1.3.3 雙譜熵計(jì)算模型

由時(shí)域信號(hào)計(jì)算得到的雙譜是雙頻率的三維矩陣，在進(jìn)行子空間劃分時(shí)要考慮兩維頻率的劃分，即將f1軸劃分為N1組，將f2軸劃分為N2組，此時(shí)劃分出的總特征子空間數(shù)為N1N2，各子空間若用Sij來表示，則各特征子空間在S 下的子空間概率可表示為

雙譜熵可表示為

2 齒輪箱故障模式識(shí)別實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)對(duì)象為JZQ250 二級(jí)傳動(dòng)減速器，傳動(dòng)比10.35，共有2 對(duì)斜齒輪和6 個(gè)滾動(dòng)軸承，其傳動(dòng)簡圖如圖1所示。

圖1 齒輪箱傳動(dòng)簡圖Fig.1 Transmission of gearbox

輸入軸齒輪Z1齒數(shù)為30;中間軸齒輪Z2和Z1嚙合，齒數(shù)為69;Z3與輸出軸齒輪Z4嚙合，齒數(shù)分別為18 和81;1、2、5、6 號(hào)軸承型號(hào)相同，滾子數(shù)為6;3 號(hào)和4 號(hào)軸承滾子數(shù)為8.振動(dòng)信號(hào)通過安裝在減速器箱體上軸承座處的6 個(gè)壓電式加速度傳感器獲得的，實(shí)驗(yàn)設(shè)置4 種工況:正常、Z2斷齒、中間軸2號(hào)軸承外圈和內(nèi)圈點(diǎn)蝕故障。通過變頻器調(diào)節(jié)齒輪箱輸入軸轉(zhuǎn)速設(shè)置為900、1 200 和1 500 r/min，工作過程中利用抱閘給系統(tǒng)加小負(fù)載。輸入軸轉(zhuǎn)速為1 200 r/min 時(shí)，齒輪箱各特征頻率如表1所示。

表1 齒輪箱特征頻率Tab.1 Characteristic frequency of gearbox

2.1 雙譜分析

圖2～圖5為1 200 r/min 時(shí)測(cè)點(diǎn)4 振動(dòng)信號(hào)的雙譜三維瀑布圖。從雙譜圖上看，正常工況下僅在轉(zhuǎn)頻處出現(xiàn)最大峰值;斷齒故障除在轉(zhuǎn)頻附近出現(xiàn)峰值帶外，還出現(xiàn)了頻率耦合現(xiàn)象，耦合頻率約為(45，150)和(150，45)，是轉(zhuǎn)頻的倍頻調(diào)制齒輪嚙合頻率的結(jié)果。兩種軸承故障的雙譜分布差異比較明顯，內(nèi)圈故障的特征峰值比較豐富，主要分布在300 Hz 以內(nèi)，300 Hz 外也存在較明顯的峰值，而外圈故障頻帶僅分布在300 Hz 以內(nèi)。信號(hào)的雙譜可以明顯區(qū)分上述4 種工況。

圖2 正常工況雙譜瀑布圖Fig.2 Bispectrum waterfall in normal state

圖3 斷齒故障雙譜瀑布圖Fig.3 Bispectrum waterfall of gear fault

圖4 軸承內(nèi)圈故障雙譜瀑布圖Fig.4 Bispectrum waterfall under bearing’s inner race fault

圖5 軸承外圈故障雙譜瀑布圖Fig.5 Bispectrum waterfall under bearing’s outer race fault

2.2 雙譜熵特征提取與分析

2.2.1 全頻域的雙譜熵特征

根據(jù)文中所建立的雙譜熵模型，在0～500 Hz頻帶內(nèi)計(jì)算測(cè)試信號(hào)的雙譜熵，選取測(cè)點(diǎn)4、5 的計(jì)算結(jié)果作為故障模式識(shí)別的特征向量。3 種轉(zhuǎn)速下各取5 個(gè)測(cè)試樣本，4 種工況共取60 個(gè)樣本進(jìn)行分析計(jì)算，圖6～圖8為測(cè)點(diǎn)4、5 雙譜熵分布散點(diǎn)圖。從圖中可以看出，正常工況下，信號(hào)不確定因素較少，復(fù)雜度小，信息熵?cái)?shù)值較小，隨著系統(tǒng)發(fā)生故障，振動(dòng)信號(hào)的不確定性增大，復(fù)雜度提高，信息熵增大，信息熵的大小反映了各種故障引起齒輪箱振動(dòng)特性變化的程度。測(cè)點(diǎn)4 的雙譜熵基本能夠識(shí)別上述4 種故障，測(cè)點(diǎn)5 離故障部位比測(cè)點(diǎn)4 近，其特征參量的離散度大，與測(cè)點(diǎn)4 相比分辨故障的能力較差，無法分辨兩種軸承故障。但上述兩測(cè)點(diǎn)均能判斷出齒輪箱是否發(fā)生故障，從其他4 個(gè)測(cè)點(diǎn)的散點(diǎn)圖中也可以得到相同的結(jié)論，分辨能力要比這兩個(gè)測(cè)點(diǎn)差。

圖6 測(cè)點(diǎn)4 雙譜熵散點(diǎn)圖Fig.6 Bispectrum entropy scatter gram for point No.4

圖7 測(cè)點(diǎn)4、5 雙譜熵散點(diǎn)圖Fig.7 Bispectrum entropy scatter gram for point No.4 ＆ No.5

圖8 測(cè)點(diǎn)5 雙譜熵散點(diǎn)圖Fig.8 Bispectrum entropy scatter gram for point No.5

2.2.2 頻域分段雙譜熵特征

在0～500 Hz 頻帶內(nèi)，將信號(hào)雙譜分為8 個(gè)頻段，即(0～62.5 Hz，0～500 Hz)，(62.5～125 Hz，0～500 Hz)，…，(537.5～500 Hz，0～500 Hz)，計(jì)算各頻段的雙譜熵，作為故障模式識(shí)別的特征向量，仍以測(cè)點(diǎn)4 為例，4 種工況共60 個(gè)樣本進(jìn)行分析計(jì)算，圖9～圖12 為測(cè)點(diǎn)4 的8 個(gè)頻段內(nèi)的雙譜熵分布圖。從圖中可以看出，各種工況下，后4 個(gè)頻段的熵值位于不同的熵帶，變化都很穩(wěn)定，如正常工況0.3～0.55，齒輪故障0.7～0.9，軸承內(nèi)圈故障0.85～1.05，軸承外圈故障0.45～0.95，軸承外圈故障工況下熵帶的分散性最大。采用后4 個(gè)頻段的雙譜熵可識(shí)別是否存在故障。前4 個(gè)頻段的雙譜熵在其熵帶范圍內(nèi)呈一定規(guī)律變化，不同工況的變化規(guī)律不同，可識(shí)別出故障的類型。

圖9 正常工況測(cè)點(diǎn)4 雙譜熵變化曲線Fig.9 Bispectrum entropy varying curve for point No.4 in normal state

圖10 齒輪故障工況測(cè)點(diǎn)4 雙譜熵變化曲線Fig.10 Bispectrum entropy varying curve for point No.4 in gear’s fault

2.3 基于雙譜熵特征和BP 網(wǎng)絡(luò)故障模式識(shí)別

圖11 軸承內(nèi)圈故障工況測(cè)點(diǎn)4 雙譜熵變化曲線Fig.11 Bispectrum entropy varying curve for point No.4 in bearing’s inner race fault

圖12 軸承外圈故障工況測(cè)點(diǎn)4 雙譜熵變化曲線Fig.12 Bispectrum entropy curve for point No.4 in bearing’s outer race fault

以測(cè)點(diǎn)4、5 的雙譜熵特征參量為輸入，建立2 ×5 ×4 的3 層BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)1;同時(shí)以測(cè)點(diǎn)4 的8 頻段雙譜熵特征參量為輸入，建立8 ×5 ×4 的3 層BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)2，分別進(jìn)行故障模式識(shí)別，訓(xùn)練樣本為48 個(gè)，測(cè)試樣本為12 個(gè)，兩網(wǎng)絡(luò)均以較快速度收斂到目標(biāo)精度0.000 1，圖13 為兩網(wǎng)絡(luò)的誤差—迭代次數(shù)曲線。經(jīng)測(cè)試樣本進(jìn)行測(cè)試，兩網(wǎng)絡(luò)均能正確識(shí)別本文中所列的4 種典型故障模式，表2為網(wǎng)絡(luò)在各種工況下的理想輸出，表3為網(wǎng)絡(luò)1 的實(shí)際輸出結(jié)果。從表2和表3中可以看出，網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出與理想輸出存在誤差，最大誤差為0.012 126，均方誤差為0.002 806，若將識(shí)別誤差閾值設(shè)置為0.05，則上述網(wǎng)絡(luò)的識(shí)別率為100%.以上診斷結(jié)果表明，利用雙譜熵作為特征參量進(jìn)行故障模式識(shí)別，特征向量個(gè)數(shù)少，網(wǎng)絡(luò)簡單，不管是單測(cè)點(diǎn)還是多測(cè)點(diǎn)，均能獲得較高的診斷精度。

圖13 網(wǎng)絡(luò)1 和網(wǎng)絡(luò)2 的收斂曲線Fig.13 Convergence curves of neural network 1 and 2

表2 測(cè)試樣本的理想輸出Tab.2 Desired output of test samples

表3 測(cè)試樣本的實(shí)際輸出Tab.3 Output of test samples

4 結(jié)論

本文在雙譜域內(nèi)提取振動(dòng)信號(hào)的故障特征參量，以解決齒輪箱振動(dòng)信號(hào)復(fù)雜，敏感故障特征參量較難獲得的問題。

根據(jù)振動(dòng)信號(hào)的特點(diǎn)，在子空間分布概率下研究振動(dòng)信號(hào)的信息熵，提出基于子空間分布概率的雙譜熵模型和基于雙譜熵特征參量的故障模式識(shí)別方法。經(jīng)建立BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識(shí)別驗(yàn)證，文中所提出的雙譜熵特征參量對(duì)齒輪、軸承故障均比較敏感，用較少的測(cè)點(diǎn)可獲得較高的診斷精度。

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