■天津市第四十五中學(xué) 王 娜

淺談向量在幾何教學(xué)中的應(yīng)用

■天津市第四十五中學(xué) 王 娜

2006年，天津市高中全面進(jìn)入了新課程改革。對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科來(lái)說(shuō)，新課改后加入了很多內(nèi)容，給數(shù)學(xué)教學(xué)增加了新的挑戰(zhàn)。有一些教師，他們習(xí)慣了老課本，用慣了老的教學(xué)方法，面對(duì)新的知識(shí)不免有些排斥，比如幾何中向量的應(yīng)用。其實(shí)，用向量方法解決幾何問(wèn)題比用傳統(tǒng)的方法要簡(jiǎn)單得多，也為學(xué)生解決幾何問(wèn)題提供了行之有效的新方法。

一、在幾何教學(xué)中引入向量的好處

向量知識(shí)在中學(xué)有著非常重要的地位和價(jià)值，它的工具性特點(diǎn)在數(shù)學(xué)教學(xué)的許多分支都有體現(xiàn)。幾何中向量的引入將使數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”思想得到新的解析，為在數(shù)學(xué)中貫徹“數(shù)形結(jié)合”思想提供了一種嶄新的方法。

向量具有兩種特性：一是“數(shù)”的形式，利用一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)既可表示向量大小，又可以表示向量的方向的性質(zhì)；二是“形”的狀態(tài)，利用一條有向線(xiàn)段來(lái)表示一個(gè)向量的性質(zhì)。這兩種特性聯(lián)系密切，可以利用簡(jiǎn)單的運(yùn)算進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化?？梢哉f(shuō)，向量是聯(lián)系代數(shù)關(guān)系與幾何圖形的最佳紐帶，它可以使圖形量化，使圖形間關(guān)系代數(shù)化，使分析思路和解題步驟變得簡(jiǎn)潔、嚴(yán)密，使學(xué)生從復(fù)雜的圖形分析中解脫出來(lái)，只需要研究這些圖形間存在的向量關(guān)系，就可以得出準(zhǔn)確的結(jié)論。

二、平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

平面向量在平面幾何中的應(yīng)用是以平面幾何的基本圖形（三角形、平行四邊形、梯形等）為背景，重點(diǎn)考察平面向量的幾何運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算和幾何圖形的性質(zhì)。例如，在平行四邊形ABCD中，EF在對(duì)角線(xiàn)BD上，并且BE=FD，求證四邊形AECF是平行四邊形。以前，教師教學(xué)生證明這道題時(shí)要用到平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的判定定理，不僅方法繁瑣，而且學(xué)生也不容易掌握知識(shí)。如果用向量證明，僅需要用向量加法運(yùn)算及交換律即可，方法簡(jiǎn)單，同時(shí)提高了解題速度。教師在教學(xué)生用平面向量解決平面幾何問(wèn)題時(shí)要注意以下三點(diǎn)。

1.明確向量回路是向量解幾何問(wèn)題區(qū)別于其他解題方法的本質(zhì)特點(diǎn)，所謂向量回路是指向量加法的三角形法則。也就是說(shuō)，向量與三角形都存在首尾相接的閉合回路，而三角形是最基本、最重要的幾何圖形，從這個(gè)意義上我們就不難看出向量回路在向量解幾何問(wèn)題中的重要性了。

2.平面向量解平面幾何題是把幾何的基本元素歸結(jié)為向量，然后通過(guò)向量的運(yùn)算和討論，從而得到幾何結(jié)論，因此，用向量法解幾何題時(shí)，要把向量的代數(shù)表示式的幾何意義時(shí)時(shí)放在心中。

3.弄清用平面向量解決平面幾何問(wèn)題的三個(gè)步驟：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)換為向量問(wèn)題；通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系；把運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系。

三、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

用空間向量處理立體幾何問(wèn)題，可以為學(xué)生提供新的視角，開(kāi)拓新的思路。在空間直角坐標(biāo)系中引入空間向量，可以為解決三維圖形的形狀、大小及位置關(guān)系等幾何問(wèn)題增加一種理想的代數(shù)工具，從而提高學(xué)生的空間想象能力和學(xué)習(xí)效率。

從運(yùn)用向量解題的方法和未運(yùn)用向量的解題方法的比較中，可以看到向量解題的優(yōu)勢(shì)就在于運(yùn)用向量公式的簡(jiǎn)單變形就解決了一個(gè)通過(guò)繁瑣解析幾何分析方能解決的問(wèn)題。同樣，這一思想也是對(duì)笛卡爾“變實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再變數(shù)學(xué)問(wèn)題為方程問(wèn)題，然后只需求解方程便可使問(wèn)題得以解決”這一數(shù)學(xué)思想的完美體現(xiàn)。

立體幾何的計(jì)算和證明常常涉及兩大問(wèn)題：一是位置關(guān)系，它主要包括線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直，線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行；二是度量問(wèn)題，它主要包括點(diǎn)到線(xiàn)、點(diǎn)到面的距離，線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面所成角度等。通過(guò)空間直角坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算，由于學(xué)生對(duì)于代數(shù)運(yùn)算相對(duì)較熟悉，因此用向量的方法進(jìn)行計(jì)算或證明就變得更簡(jiǎn)便。這里主要是用向量證明線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面垂直及計(jì)算線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角和二面角。用傳統(tǒng)的方法解決這些問(wèn)題，學(xué)生需要背多個(gè)定理，而且還要有極強(qiáng)的空間想象力。尤其是找二面角的平面角，利用三垂線(xiàn)法找二面角的平面有時(shí)需要作三條輔助線(xiàn)，好多學(xué)生不能掌握這種方法，因此也就計(jì)算不了角的大小，面對(duì)考試中的這個(gè)難點(diǎn)就選擇放棄。如今學(xué)習(xí)了空間向量，只要學(xué)生能理解直線(xiàn)的方向向量、平面的法向量的定義，會(huì)用公式，就能把線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、二面角計(jì)算出來(lái)。雖然向量法計(jì)算量比較大，但大部分學(xué)生都能掌握這種方法，也增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的信心。

在教學(xué)中，只要教師在堅(jiān)持廣泛應(yīng)用向量方法的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生掌握向量的思想方法，并借助于向量，運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)、審美的觀點(diǎn)，進(jìn)行縱橫聯(lián)系、廣泛聯(lián)想，將各部分的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行合理重組和整合，充分展示應(yīng)用向量的過(guò)程，體現(xiàn)向量法解題的簡(jiǎn)單美和結(jié)構(gòu)美，就能充分體現(xiàn)“向量”在提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力方面的教學(xué)價(jià)值。

（責(zé)任編輯 韓大勇）