吳 杰，周勝男

(1.華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣州 510641;2.廣東省汽車工程重點實驗室，廣州 510641)

改善動力總成懸置系統(tǒng)的性能，既可以降低動力總成本身的振動，又能降低其傳遞到車架或車身上的反力以及車內(nèi)噪聲。目前，國內(nèi)外研究者主要采用確定性方法對懸置系統(tǒng)進行分析和設計［1-3］，即假定懸置系統(tǒng)參數(shù)(例如，懸置剛度和安裝位置等)為確定值。但是，在懸置的制造、安裝和使用過程中，懸置剛度不可避免地存在一定程度的偏差或波動。進行動力總成剛體振動模態(tài)的頻率配置和解耦布置是動力總成懸置系統(tǒng)設計的基本任務［1，3］，頻率和解耦率的計算方法詳見文獻［3］。當懸置剛度存在不確定性時，在設計階段準確預測懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率的變化特征，對分析和提高懸置系統(tǒng)性能的穩(wěn)健性有重要意義。

基于試驗設計方法，Qatu［4］計算分析了懸置剛度的變化對動力總成懸置系統(tǒng)頻率配置的影響;Sirafi和Chang［5］仿真研究了橡膠懸置剛度和副車架剛度的變化對懸置系統(tǒng)解耦率的影響;翁建生等［6］考慮了懸置系統(tǒng)的穩(wěn)健性要求，提出了懸置系統(tǒng)模糊多目標優(yōu)化方法;吳杰等［7］將懸置剛度、安裝位置和角度當作正態(tài)隨機變量，對懸置系統(tǒng)的解耦率進行了穩(wěn)健性優(yōu)化設計。盡管通過實驗可以近似得到一些不確定參數(shù)的統(tǒng)計特性，但Ben-Haim［8］指出:小的隨機參數(shù)統(tǒng)計特性誤差會造成較大的系統(tǒng)穩(wěn)健性分析偏差。與得到不確定參數(shù)真實的統(tǒng)計特性相比，獲得不確定參數(shù)的變化范圍通常比較容易［9-10］。Jiang 等［12］把結(jié)構(gòu)載荷、彈性模量或泊松比等非設計參數(shù)當作區(qū)間參數(shù)，提出了一種區(qū)間規(guī)劃方法，但沒有考慮最優(yōu)設計變量的波動問題。

文中采用區(qū)間數(shù)描述懸置剛度變化的不確定性。提出了計算懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率變化范圍的改進區(qū)間截斷方法。考慮到最優(yōu)設計變量的波動問題，提出了區(qū)間型穩(wěn)健優(yōu)化方法，對懸置系統(tǒng)的解耦率和頻率進行了穩(wěn)健性優(yōu)化。

1 頻率和解耦率的區(qū)間分析方法

1.1 計算函數(shù)值精確變化區(qū)間的組合方法

區(qū)間分析方法有廣泛的工程實際背景。例如，在結(jié)構(gòu)設計中，零件的尺寸要求為x(名義值)，容差為±Δx，則加工出來的零件實際尺寸必然在［x-Δx，x+Δx］范圍內(nèi)變化，稱x為區(qū)間參數(shù)，Δx稱為區(qū)間參數(shù)的半徑。

若區(qū)間值函數(shù)f(，，…，)是每個區(qū)間變量的單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)的精確變化區(qū)間可以由其在所有區(qū)間變量左右端點處的組合而計算得到［11］。

令=［，］=［)，］，i=1，2，…，n，則當區(qū)間變量取端點值時，f的所有可能取值為:

其中，Ei=L，R，i=1，2，…，n，m=1，2，…，2n。

函數(shù)f的精確變化區(qū)間為:

通過靈敏度分析可知，當懸置剛度在其名義值附近波動±1%～±5%時，懸置系統(tǒng)的六階固有頻率和各方向解耦率均為各懸置剛度參數(shù)的單調(diào)函數(shù)。因此，可以采用組合方法求得固有頻率和解耦率的精確變化范圍。當變量較多時，組合方法的計算效率較低。

1.2 計算函數(shù)值近似變化區(qū)間的區(qū)間截斷方法

當 Δ1≤t，Δ2≤t時，

當 Δ1＞t，Δ2＞t時，

當 Δ1≤t，Δ2＞t時，

當 Δ1＞t，Δ2≤t時，

然而，上述方法畢竟是建立在假設“允許的函數(shù)近似區(qū)間值的最大相對偏差為2t”之上的。當函數(shù)精確區(qū)間值的相對不確定量與t接近時，文獻［11］中t的取值方法是正確的，例如文獻［11］的10桿結(jié)構(gòu)中，當各桿的截面積有±1%的誤差時(此時t=δmax=0.01)，各桿應力的精確區(qū)間值的相對不確定量均在0.01附近波動，計算精度很高。

但很多實際問題中，函數(shù)精確區(qū)間值的相對不確定量可能遠大于t(與t不在一個數(shù)量級)，此時文獻［11］中的t的取值方法將失效。對動力總成懸置系統(tǒng)而言，當懸置剛度在其各自區(qū)間內(nèi)變化時，某些方向解耦率的變化區(qū)間的相對不確定量遠大于懸置剛度變化的百分比(即相對不確定量δ)，因此，必須改進文獻［11］中t的取值方法。

假設各懸置剛度參數(shù)變化區(qū)間的相對不確定量均為δ，δ取值為1%～5%。在此，針對頻率和解耦率給出不同的t值取值方法:

(1)動力總成懸置系統(tǒng)各頻率區(qū)間值的相對不確定量與t相差不大，仍采用區(qū)間截斷式(3)至式(6)進行預估區(qū)間值的修正，為提高計算精度，取t=δ/2;

(2)由于某些方向上解耦率區(qū)間值的相對不確定量遠大于t，因此，用k(t)(t的某種函數(shù))取代t。計算解耦率變化區(qū)間時，針對不同的懸置剛度變化百分比，用最小二乘法得到k(t)的最佳取值:

當 Δ1≤t，Δ2≤t時，

當 Δ1＞t，Δ2＞t時，

當 Δ1≤t，Δ2＞t時，

當 Δ1＞t，Δ2≤t時，

其中，k(t)為t的函數(shù)，t=δ。

當k(t)取不同形式的函數(shù)時，采用最小二乘法擬合近似區(qū)間值和精確區(qū)間值，可以發(fā)現(xiàn)，當k(t)為有理分式，并且分子和分母分別為t的一次函數(shù)和二次函數(shù)時，即k(t)=(k0t+k1)/(t2+k2t+k3)時，擬合效果最好。根據(jù)懸置系統(tǒng)的初始剛度，圖1給出了k(t)的擬合效果，擬合得到的參數(shù)為:k0=-0.001 693，k1=0.010 27，k2=0.000 481 8，k3=-2.369E-6。

圖1 k(t)的擬合效果Fig.1 Fitting result of k(t)

2 解耦率的區(qū)間可靠度

假設解耦率的近似區(qū)間值用［，］表示，其要求的安全變化區(qū)間值用［，］表示，在數(shù)據(jù)不全的情況下，一般假設解耦率是均勻分布在區(qū)間［，］上的。從物理意義上理解，若［］與［］有交叉，則該懸置系統(tǒng)在一定程度上可以滿足各方向解耦率的變化區(qū)間的要求，用R度量這種“滿足程度”，用1-R度量“不滿足程度”，并定義R為區(qū)間可靠度。

當［，］完全屬于［］時，R=1;當［，］完全位于［］之外時，R=0;當［，xE］與［，］有交叉時，按下式計算R［11］:

3 頻率的區(qū)間概率度

當懸置剛度為區(qū)間參數(shù)時，懸置系統(tǒng)頻率必然有一定的變化區(qū)間，在此，用區(qū)間概率度來度量頻率約束條件的滿足程度。區(qū)間概率度表征一個區(qū)間數(shù)大于另一個區(qū)間數(shù)的“程度”。

定義區(qū)間概率度［12］:

由式(12)可知，0≤PAI≤BI≤1。例如，設第i個約束條件為≤gi(xI)≤，寫成概率度約束條件為≥α_R，且≥α_L，其中，和分別是第i個頻率約束的上、下界;α_L和α_R分別為滿足約束條件i的指定的左、右區(qū)間概率度。

4 頻率和解耦率的區(qū)間優(yōu)化模型

發(fā)動機在整車中的安裝位置限制較嚴格，一般不改變懸置的安裝位置和角度。因此選擇四個懸置的剛度為優(yōu)化設計參數(shù)。

假設剛度的不確定性由其名義值變化±1%～±5%表征，具體數(shù)值與制造工藝水平及使用工況有關(guān)。為了使懸置系統(tǒng)的頻率和解耦率更加穩(wěn)健，在優(yōu)化設計時，應綜合考慮各種不確定因素對優(yōu)化結(jié)果可能產(chǎn)生的影響。為此提出區(qū)間優(yōu)化方法，考慮最優(yōu)設計參數(shù)發(fā)生波動時進行穩(wěn)健優(yōu)化設計，而不僅僅是考慮非設計參數(shù)的不確定性［12］。

提出懸置系統(tǒng)解耦率的區(qū)間優(yōu)化模型為:

其中，當剛度參數(shù)在其名義值附近波動時，為各解耦率的變化范圍，和分別為dRatio的左、右約束界限，mid()和δ()分別為的中點和相對不確定量，wi和vi為權(quán)重;Frei(i=1，2，…，6)是懸置系統(tǒng)的6個固有頻率，是各固有頻率的變化區(qū)間，和和分別為Frei的左、右約束界限;6個固有頻率的約束界限分別為:6 ～12 Hz，6 ～12 Hz，8 ～10 Hz，6 ～15 Hz，9 ～11 Hz和6～15 Hz;和(i=1，2，…，6)分別表示給定的滿足約束條件i的左、右區(qū)間概率度;stiffi(i=1，…，12)是剛度設計變量和分別為stiff的左、右約束界限，此處假設stiffi可以在其初值附近變化±25%。

為方便對比，下面給出確定性優(yōu)化模型:

可以看出，區(qū)間優(yōu)化模型不但要使懸置系統(tǒng)在各個方向具有盡量高的解耦率，并且當最優(yōu)剛度參數(shù)發(fā)生波動時，還要保證解耦率變化區(qū)間的半徑最小，使得各解耦率盡可能的穩(wěn)健。而確定性優(yōu)化方法只能保證得到各方向最大的解耦率，當最優(yōu)剛度參數(shù)發(fā)生波動時，不能保證解耦率的穩(wěn)健性。

在區(qū)間優(yōu)化迭代過程中，每得到一組設計參數(shù)值，便假設該組設計參數(shù)在其名義值附件發(fā)生一定程度的波動(±1%～±5%)，利用提出的改進區(qū)間截斷方法進行頻率和解耦率的區(qū)間分析，進而計算優(yōu)化目標值和約束條件值。當然，由于每次迭代時剛度參數(shù)的不同，區(qū)間截斷方法中的k(t)也不同。文中嘗試在每次優(yōu)化迭代時，使用由初始剛度參數(shù)經(jīng)最小二乘法擬合得到的k(t)中的最優(yōu)系數(shù)。雖然每次迭代中由該組系數(shù)計算的解耦率的近似區(qū)間值與精確區(qū)間值有一定偏差，但由式(13)可以看出，優(yōu)化目標是使得解耦率的名義值最大以及解耦率區(qū)間值的寬度最小。因此，優(yōu)化迭代的搜索方向受每次迭代時解耦率區(qū)間值的計算精度的影響很小，可以忽略不計。

5 算例

圖2為具有4個懸置的某轎車橫置動力總成懸置系統(tǒng)。

圖2 動力總成懸置系統(tǒng)的六自由度模型Fig.2 6DOF model of a powertrain mounting system

動力總成坐標系G0-XYZ的原點G0位于動力總成質(zhì)心，Y軸平行于發(fā)動機曲軸軸線方向并指向發(fā)動機前端，X軸水平指向汽車后方，Z軸垂直曲軸向上。每個懸置簡化成沿其三個彈性主軸方向具有剛度和阻尼的元件［1，3］，懸置的三個彈性主軸分別用ui，vi和wi表示(i=1，2，…，n，n為懸置個數(shù))。動力總成重量為 215 kg，表1給出了動力總成的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積，表2給出了懸置的初始靜剛度，一般為經(jīng)驗值。假設式(14)中所有頻率約束條件的左、右區(qū)間概率度均要求為1.0。

表1 動力總成在GCS中的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積(kg·m2)Tab.1 Inertia properties of the powertrain in the GCS(kg·m2)

表2 懸置的靜剛度(N/mm)Tab.2 Static stiffness of each mount(N/mm)

表3和表4分別給出了優(yōu)化前的懸置系統(tǒng)頻率和解耦率的區(qū)間分析結(jié)果。由表3可知，用文中提出的改進區(qū)間截斷方法計算得到的頻率的近似區(qū)間值精度很高，經(jīng)計算，最大的相對誤差僅為0.043%;而由文獻［11］中方法計算的區(qū)間值普遍寬于本文方法得到的區(qū)間值，最大相對偏差為2.54%。

由表4可知，由本文方法計算的解耦率近似區(qū)間值的計算精度較好，經(jīng)計算，最大的三個相對誤差分別為11.33%、10.82% 和 7.83%，其它的相對誤差均在6%以下;而由文獻［11］中方法計算的區(qū)間值的最大的三個相對誤差分別為50.68%、47.04%和27.68%。這表明，文中提出的區(qū)間分析方法精度較文獻［11］中的方法有較大程度地提高?？梢钥闯?，優(yōu)化前懸置系統(tǒng)的解耦率較低，并且區(qū)間半徑較大，表明該懸置系統(tǒng)性能的穩(wěn)健性較差，需進行懸置剛度的優(yōu)化匹配。

優(yōu)化結(jié)束后，表5、表6分別給出了當確定性優(yōu)化最優(yōu)剛度和區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值波動時，解耦率和頻率的變化區(qū)間。從表5可知，區(qū)間優(yōu)化和確定性優(yōu)化均可較大程度地提高懸置系統(tǒng)的解耦率;區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值處的解耦率稍低于確定性優(yōu)化，這是因為在區(qū)間優(yōu)化模型中考慮了解耦率的穩(wěn)健性要求，所以不可避免地導致解耦率稍有降低，兩者是不可兼得的。但是，從表6可知，在區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值處的各階頻率變化區(qū)間的上界大多小于確定性優(yōu)化，從而可以提高各頻率約束條件的區(qū)間概率度，即穩(wěn)健性。

表3 優(yōu)化前懸置系統(tǒng)固有頻率的區(qū)間分析結(jié)果(Hz)Tab.3 Variation intervals of the initial frequencies of the powertrain mounting system(Hz)

表4 優(yōu)化前懸置系統(tǒng)解耦率的區(qū)間分析結(jié)果(%)Tab.4 Variation intervals of the initial decoupling ratios of the powertrain mounting system(%)

表5 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)解耦率的變化區(qū)間(%)Tab.5 Variation intervals of the decoupling ratios after optimization(%)

表6 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)固有頻率的變化區(qū)間(Hz)Tab.6 Variation intervals of the frequencies after optimization(Hz)

表7給出了在確定性優(yōu)化和區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值處，式(14)中各約束條件的左、右區(qū)間概率度?？梢钥闯?，當最優(yōu)剛度值有所波動時，在區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值處的各約束條件左、右區(qū)間概率度均要大于或等于確定性優(yōu)化，穩(wěn)健性有較大幅度的提高，在Roll和Pitch方向尤為明顯。

一般的，對沿Z軸(垂直方向)和Pitch方向(繞發(fā)動機曲軸扭轉(zhuǎn)方向)的解耦程度要求較高，其它方向解耦程度可適當放寬要求。假設要求Z軸和Pitch方向的解耦率高于90%，表8給出了優(yōu)化前后沿Z軸方向和Pitch方向的解耦率的區(qū)間可靠度。由表8可知，優(yōu)化前Z軸和Pitch方向解耦率的區(qū)間可靠度幾乎均為零。這表明該懸置系統(tǒng)剛度參數(shù)的匹配不合理，不能滿足沿Z軸方向和Pitch方向的解耦率要求。

表7 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)頻率約束的區(qū)間概率度Tab.7 Interval probability degrees of the constraints as the optimal design variables vary around their nominal values

由表8可知，區(qū)間優(yōu)化和確定性優(yōu)化都能使Z方向的區(qū)間可靠度達到1.0，解耦率都達到98%以上，并且相差很小，可以忽略不計。在Pitch方向，雖然區(qū)間優(yōu)化結(jié)果的區(qū)間可靠度稍低于確定性優(yōu)化，但從實際解耦率的變化區(qū)間來看，區(qū)間優(yōu)化較優(yōu)化前大幅度提高了該方向的解耦率，并且區(qū)間優(yōu)化對應的解耦率區(qū)間半徑要小于確定性優(yōu)化，從工程角度來看，區(qū)間優(yōu)化方法取得了較好地優(yōu)化效果。

表8 優(yōu)化前后懸置系統(tǒng)沿Z軸和Pitch方向解耦率的區(qū)間可靠度Tab.8 Interval reliabilities of the decoupling ratios in Z and Pitch directions as the stiffness parameters vary around their nominal values

另外，從表6也可以看出，在Roll和Pitch方向，確定性優(yōu)化結(jié)果對應的頻率變化區(qū)間的上界均超過了約束范圍，這意味著動力總成與其它部件可能產(chǎn)生共振。因此，區(qū)間優(yōu)化方法在保證不產(chǎn)生共振的情況下，稍微降低Pitch方向的解耦率是可以接受的。

6 結(jié)論

為使懸置系統(tǒng)的性能更加穩(wěn)健，提出了懸置系統(tǒng)解耦率和頻率的區(qū)間優(yōu)化方法，對某轎車懸置系統(tǒng)的懸置剛度進行了穩(wěn)健性優(yōu)化。具體結(jié)論有:

(1)提出的區(qū)間優(yōu)化方法能有效增大懸置系統(tǒng)各方向的解耦率，并提高解耦率的穩(wěn)健性。與確定性優(yōu)化方法相比較，區(qū)間優(yōu)化方法可以較大幅度地提高頻率的穩(wěn)健性;

(2)可根據(jù)具體問題中優(yōu)化目標和約束條件的相對重要程度給定約束條件的區(qū)間概率度，較確定性優(yōu)化方法更加靈活實用;

(3)區(qū)間優(yōu)化方法在設計階段綜合考慮各種不確定因素對優(yōu)化結(jié)果可能造成的影響，能得到抗噪能力較強的穩(wěn)健優(yōu)化方案。

(4)動力總成質(zhì)量和慣量參數(shù)也存在測量誤差，為更全面地對懸置系統(tǒng)進行不確定性分析和優(yōu)化，應該將它們也看作區(qū)間變量，這部分工作將另文介紹。

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