☉山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 孫先進(jìn)

解排列組合問(wèn)題的“幾先幾后”

☉山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 孫先進(jìn)

學(xué)生在求解排列組合問(wèn)題時(shí)，最常犯的錯(cuò)誤是分類、分步不清，重復(fù)或遺漏計(jì)數(shù)等，且這些錯(cuò)誤的發(fā)生不易被檢驗(yàn)出來(lái)，造成這種現(xiàn)象的原因是對(duì)解決排列組合問(wèn)題的相關(guān)策略沒(méi)有理解到位，下面提出幾種策略，供參考.

一、先考慮分類，后考慮分步

對(duì)排列組合問(wèn)題的設(shè)置，經(jīng)常伴有一些約束條件，解決這類問(wèn)題應(yīng)先按元素性質(zhì)進(jìn)行分類，再按事情發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步處理.

例1 如圖1，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有____種.（用數(shù)字作答）

解析：由題意可分兩類：

二、先考慮順序后考慮計(jì)算

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是解決此部分內(nèi)容的重要工具，元素是否重復(fù)，有無(wú)順序，是判斷一個(gè)問(wèn)題的解決是用計(jì)數(shù)原理還是用排列組合數(shù)公式的依據(jù).

例2 已知正五棱柱ABCDEA′B′C′D′E′（如圖2），現(xiàn)從10個(gè)頂點(diǎn)中任意取5個(gè)頂點(diǎn)，則可組成多少個(gè)不同的四棱錐？

錯(cuò)解：（1） 第一步，從A、B、C、D、E中任意取4個(gè)點(diǎn)組成四棱錐的底面，有5種不同的方法；

（2）第二步，從A′、B′、C′、D′、E′中任意取1個(gè)點(diǎn)組成四棱錐的頂點(diǎn)，有5種不同的方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有N＝5×5＝25（種）.

同理，從A′、B′、C′、D′、E′中任意取4個(gè)點(diǎn)組成四棱錐的底面，從A、B、C、D、E中任意取1個(gè)點(diǎn)組成四棱錐的頂點(diǎn)，也有25個(gè).

所以共有50個(gè)不同的四棱錐.

剖析：四棱錐的特點(diǎn)是其中底面四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)，另一點(diǎn)不在平面內(nèi)即可.而錯(cuò)解中忽略了例如A、B、A′、B′，A、C、C′、A′，A、B、E′、C′等也在同一平面內(nèi)的情況.

正解：在錯(cuò)解的基礎(chǔ)上，另外還有以ABA′B′為底面，從C、D、E、C′、D′、E′中任取一點(diǎn)為頂點(diǎn)，有6個(gè)四棱錐.同理，以BCB′C′、CDC′D′、DED′E′、AEA′E′為底面分別有6個(gè)四棱錐，則共有30個(gè)四棱錐；以ACC′A′為底面，從B、E、D、B′、E′、D′中任取一點(diǎn)為頂點(diǎn)，有6個(gè)四棱錐，同理，以BDD′B′、CEE′C′、DAA′D′、EBB′E′為底面分別有6個(gè)四棱錐，則共有30個(gè)四棱錐；以ABE′C′為底面，從C、D、E、A′、B′、D′中任取一點(diǎn)為頂點(diǎn)，有6個(gè)四棱錐.同理，以BCD′A′、CDE′B′、DEA′C′、EAB′D′、A′B′EC、B′C′DA、C′D′EB、D′E′AC、E′A′BD為底面分別有6個(gè)四棱錐，則共有60個(gè)四棱錐.所以共有N=25+25+30+30+60=170（個(gè)）.

共有170個(gè)不同的四棱錐.

三、先考慮定性，后考慮定量

當(dāng)題目的條件比較籠統(tǒng)、不明確時(shí)，一般應(yīng)先分好明確的類別或者步驟，再用相應(yīng)的原理解決.

例3 從5名男生和4名女生中任選3人，要求至少有男生和女生各一人的選法有（ ）種.

A.70 B.140 C.84 D.35

剖析：事實(shí)上，不妨設(shè)5名男生分別為甲、乙、丙、丁、戊，4名女生分別為A、B、C、D.當(dāng)先分別選1名男生和1名女生時(shí)，選到了男甲女A，再在剩下的7人中任選1人時(shí)，選到了男乙，從而選到三人的一種方式為男甲女A男乙.當(dāng)先分別選1名男生和1名女生時(shí)，若選到了男乙女A，再在剩下的7人中任選1人時(shí)，選到了男甲，這時(shí)選到三人的一種方式為男甲女A男乙.這兩種方式是同一種選法，因此，上述解法中有重復(fù)現(xiàn)象，從而是錯(cuò)誤的.要想正確解答該題，關(guān)鍵在于應(yīng)對(duì)題設(shè)條件“至少有男生和女生各一人”給出具體的分類，明確到底有幾名男生，幾名女生.

正解：完成事件分為兩類：選1名男生、2名女生和選2名男生、1名女生.

四、先考慮特殊，后考慮一般

某些排列組合問(wèn)題中帶有特殊元素或特殊位置的排列組合題，對(duì)此類問(wèn)題的處理一般應(yīng)先考慮特殊情況，本著特殊者優(yōu)先的原則處理.

例4 用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）.

A．324 B．328 C．360 D．648

解析：因?yàn)椤?”是特殊元素，它不能排在最前面，所以分兩種情況考慮.

因此由分類計(jì)數(shù)原理，符合題意的偶數(shù)共有72+256=328（個(gè)）.故選擇B.

對(duì)于受限制的特殊元素（或位置）的排列組合問(wèn)題，要先安排“特殊”元素（或位置），再安排其他沒(méi)有限制的元素或位置.因此特殊元素（位置）用優(yōu)先法.

例5 某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有________種．

五、先考慮組合，后考慮排列

對(duì)于排列組合的混合問(wèn)題，一般采取先選出元素即分組，再進(jìn)行排列的原則解決問(wèn)題.

例6 將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的方法有_______種.

解析：這是一個(gè)排列組合的混合問(wèn)題.因恰有一個(gè)空盒，所以必有一個(gè)盒子要放2個(gè)球.故可分兩步進(jìn)行.第一步，先分組.從4個(gè)球中任選2個(gè)球，有種選法，從4個(gè)盒子中選出3個(gè)，有種選法.

第二步，進(jìn)行排列.把選出的2個(gè)球視為一個(gè)元素，與其余的2個(gè)球共3個(gè)元素對(duì)選出的3個(gè)盒子作全排列，有種排法.

六、先考慮總體，后考慮個(gè)體

例7 在某種信息傳輸過(guò)程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為（ ）.

A.10 B.11 C.12 D.15

解析：此題用直接法進(jìn)行分類求解較為復(fù)雜，故想到排除法，先求出與0110有三個(gè)位置或四個(gè)位置上的數(shù)字相同的排法，再用允許數(shù)字重復(fù)的總排列數(shù)相減即可.用0和1進(jìn)行排列，允許數(shù)字重復(fù)共有16種排法，因?yàn)榕c0110有三個(gè)位置上的數(shù)字相同的排法有四種：1110、0010、0100、0111，與0110有四個(gè)位置上的數(shù)字相同的只有一種排法，所以與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)有16-4-1=11（種）.故選擇B.

有些問(wèn)題從正面直接考慮比較復(fù)雜，而從它的反面往往比較容易思考時(shí)，可以先求出它的反面，再?gòu)恼w中排除.因此至少或至多問(wèn)題應(yīng)采用排除法.